2024-2025学年陕西省高二上册第二次段考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年陕西省高二上学期第二次段考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝3，则a9＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（5分）抛物线y=1A．y=−12 B．y=−18 C．3．（5分）已知数列{an}是公比为﹣2的等比数列，且a2﹣a3＝6，则a1＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．（5分）若数列{an}的前四项依次为2，12，112，1112，则{an}的一个通项公式为（）A．an=10n−1+2 B．an＝（C．an=15．（5分）已知点P为椭圆x225+y216=1上的任意一点，OA．x2100+yC．4x2256．（5分）已知点M为双曲线C：x29−y216=1左支上的一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）已知a，b，c成等比数列，且a+b＝﹣6，b+c＝18，等差数列{bn}满足b3＝b，b9＝a，则当数列{bnbn+1bn+2}的前n项和取最小值时，n的值为（）A．5 B．7 C．6或7 D．5或78．（5分）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a13＝5，则数列{1an+an+1A．2n+1−12 B．2n−1−12 C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若直线（a﹣2）x+4y+a＝0与直线（a﹣2）x+（a2+2a+4）y﹣2＝0平行，则a的值可以是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．4（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn，下列各条件能推出数列{an}一定为等比数列的是（）A．anan+1=aB．an+1C．Sn＝tn（t≠0） D．Sn＝an+1﹣a（a≠0且a≠1）（多选）11．（6分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）A．若A的纵坐标为2，则|AF|＝3 B．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为4 C．若OA→⋅OB→D．若BB′垂直C的准线于点B′，且|BB′|＝2|OF|，则四边形OFBB′的周长为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）数列{an}满足anan+1＝2n+1，若a3＝1，则a1＝．13．（5分）已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若△14．（5分）近年来，随着新能源汽车的推广和智能化趋势的不断演进，尤其在新的电子电气架构下，汽车芯片迎来巨大的市场需求．为了满足日益增长的市场需求，某芯片生产公司于2022年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用较上一年增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An＜40万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，则该设备需更新的年份为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn．（1）若an＝2n﹣1，求S2n﹣1；（2）若an=1−416．（15分）已知等差数列{an}满足a3＞a2，a1+a3＝10，a1，a2﹣1，a3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an3n，求数列{bn17．（15分）已知圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和点M（1，﹣5）．（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的方程；（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程．18．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，{Sn}是公比为3的等比数列．（1）求Sn与an；（2）设bn＝anSn，求数列{bn}的前k项和Tk（k≥2）；（3）判断是否存在正整数s，t，r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由．19．（17分）给定椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，我们称椭圆x2a2+y2b2=a（1）椭圆E的方程；（2）P是椭圆E上一点（非顶点），直线AP与椭圆E的“伴随椭圆”交于G，H两点，直线BP与椭圆E的“伴随椭圆”交于M，N两点，证明：|GH|+|MN|为定值．

答案与试题解析题号12345678答案DABDCBDA一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝3，则a9＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算得解．解：由a3+a9＝2a6，a3＝5，a6＝3，则a9＝2a6﹣a3＝2×3﹣5＝1．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．2．（5分）抛物线y=1A．y=−12 B．y=−18 C．【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为1的抛物线，写出其准线方程y=−p解：抛物线y=12x2的标准方程为x焦准距p＝1，p∴抛物线y=12x故选：A．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何意义，特别注意方程是否标准形式，属基础题3．（5分）已知数列{an}是公比为﹣2的等比数列，且a2﹣a3＝6，则a1＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由等比数列通项公式即可求解．解：数列{an}是公比为﹣2的等比数列，得a2＝﹣2a1，a3＝4a1，由a2﹣a3＝6，得﹣6a1＝6，a1＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质，属于基础题．4．（5分）若数列{an}的前四项依次为2，12，112，1112，则{an}的一个通项公式为（）A．an=10n−1+2 B．an＝（C．an=1【分析】通过规律即可求解．解：数列{an}的前四项依次为2，12，112，1112，∵2＝10﹣8，12＝100﹣88，112＝1000﹣888，1112＝10000﹣8888，∴{an}的一个通项公式为：an故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式、观察、归纳、总结等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）已知点P为椭圆x225+y216=1上的任意一点，OA．x2100+yC．4x225【分析】利用代入法求点M的轨迹方程即可．解：设P点坐标为（x0，y0），则x0设M（x，y），因为OM→=12OP→，所以（x，y）=12（x0，y0），即x0代入x0225故选：C．【点评】本题考查轨迹方程的求法，熟练掌握利用代入法求轨迹方程的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6．（5分）已知点M为双曲线C：x29−y216=1左支上的一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由双曲线的定义即可求解．解：由双曲线的标准方程可知a＝3，b＝4，c=a∵点M为双曲线C：x29−y216=1左支上的一点，∴|MF2|﹣|MF1|＝2a，故|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝2c﹣2a，∴|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝2c﹣2a＝10﹣6＝4．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．7．（5分）已知a，b，c成等比数列，且a+b＝﹣6，b+c＝18，等差数列{bn}满足b3＝b，b9＝a，则当数列{bnbn+1bn+2}的前n项和取最小值时，n的值为（）A．5 B．7 C．6或7 D．5或7【分析】由已知求出等差数列的通项公式，可得bnbn+1bn+2，再由数列的函数特性得答案．解：由a，b，c成等比数列，且a+b＝﹣6，b+c＝18，得公比q=b+ca+b=18−6=−3，则则b＝﹣9，b3＝b＝﹣9，b9＝a＝3，等差数列{bn}的公差d=b则bn＝b3+2（n﹣3）＝﹣9+2n﹣6＝2n﹣15，∴bnbn+1bn+2＝（2n﹣15）（2n﹣13）（2n﹣11），当n≤5时，bnbn+1bn+2＜0；当n≥8时，bnbn+1bn+2＞0，而b6b7b8＝（﹣3）×（﹣1）×1＝3＞0，b7b8b9＝（﹣1）×1×3＝﹣3＜0，b6b7b8+b7b8b9＝0．∴当n＝5或n＝7时，{bnbn+1bn+1}的前n项和最小．故选：D．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a13＝5，则数列{1an+an+1A．2n+1−12 B．2n−1−12 C．【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列{an}的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解．解：由题意可得an+12−an则an2=a12+2(n−1)，由a故an2=1+2(n−1)=2n−1则1=2n+1故Sn故选：A．【点评】本题考查新定义数列，考查裂项相消的求和，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若直线（a﹣2）x+4y+a＝0与直线（a﹣2）x+（a2+2a+4）y﹣2＝0平行，则a的值可以是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．4【分析】利用两直线平行，得出斜率相等，进而求解．解：因为直线（a﹣2）x+4y+a＝0与直线（a﹣2）x+（a2+2a+4）y﹣2＝0平行，由斜率相等得−a−2所以a﹣2＝0或a2+2a+4＝4，解得a＝2或0或﹣2，当a＝﹣2时两直线重合，舍去．故选：AB．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn，下列各条件能推出数列{an}一定为等比数列的是（）A．anan+1=aB．an+1C．Sn＝tn（t≠0） D．Sn＝an+1﹣a（a≠0且a≠1）【分析】根据等比数列的定义逐项判断即可．解：A项，an＝0满足条件，但{an}不是等比数列；B项，由等比数列的定义，知{an}是等比数列；C项，可得an＝t，{an}是公比为1的等比数列；D项，当n＝1时，a1＝S1＝a2﹣a，当n≥2时，由an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣a﹣（an﹣a）＝（a﹣1）an，n＝1符合，则an=(a−1)an故选：BCD．【点评】本题考查等比数列的判断，属于基础题．（多选）11．（6分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）A．若A的纵坐标为2，则|AF|＝3 B．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为4 C．若OA→⋅OB→D．若BB′垂直C的准线于点B′，且|BB′|＝2|OF|，则四边形OFBB′的周长为3+【分析】由点A纵坐标可得点A坐标，即可判断选项A错误；设直线AB方程，与抛物线方程联立，利用|AB|＝x1+x2+p表示|AB|，即可得到选项B正确；设直线AB方程，与抛物线方程联立，计算x1x2，y1y2，利用OA→⋅OB→=x1x2解：已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，则p＝2，F（1，0），准线方程l：x＝﹣1．对于A．由A的纵坐标为2，则A（1，2），故|AF|＝2，选项A错误．对于B．如图，设直线AB方程为：x＝my+1，由x=my+1y得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1则|AB|=x1+x2+p=4m选项B正确．对于C．如图，设直线AB方程为：x＝my+t，由x=my+ty得y2﹣4my﹣4t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1则OA→解得t＝2，即直线AB方程为：x＝my+2，恒过定点（2，0），选项C正确．对于D．如图，设点B在第四象限．由题意得，|OF|＝1，则|BB′|＝2|OF|＝2．由准线方程为x＝﹣1，得xB＝1，故B（1，﹣2），B'（﹣1，﹣2），则|BF|=2，|OB′|=(−1即四边形OFBB′的周长为5+5选项D错误．故选：BC．【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）数列{an}满足anan+1＝2n+1，若a3＝1，则a1＝35【分析】由递推关系与a3＝1，逐项逆推可得．解：由anan+1＝2n+1，可得n＝1时，a1a2＝3，n＝2时，a2a3＝5，由a3＝1，可得a2＝5，则a1=3故35【点评】本题考查数列的递推式和赋值法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．13．（5分）已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若△OPF的面积为【分析】根据题意可得点F到渐近线的距离为b，结合面积关系列式求解即可．解：设C的半焦距为c＞0，则F（c，0），渐近线方程为y=±bax，即bx故点F到渐近线的距离为|PF|=|bc|b2由题意可得S△OPF=1可得c2＝2（c2﹣a2），所以c2a2故2．【点评】本题考查双曲线的几何特征，属于中档题．14．（5分）近年来，随着新能源汽车的推广和智能化趋势的不断演进，尤其在新的电子电气架构下，汽车芯片迎来巨大的市场需求．为了满足日益增长的市场需求，某芯片生产公司于2022年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用较上一年增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An＜40万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，则该设备需更新的年份为2030．【分析】前6年的维修费用构成等差数列，第6年及之后每年的维修费用构成等比数列，分成两部分单独求和，最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用，与40作比较即可．解：设前n年的总维修费用为S，a1＝20，a6＝20+5×4＝40，则S6=6(a1当n≥7时，an所以a7=54aSn则An计算得A7=2307＜40故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为2022+9﹣1＝2030．故2030．【点评】本题主要考查数列的应用，考查运算求解能力，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn．（1）若an＝2n﹣1，求S2n﹣1；（2）若an=1−4【分析】（1）由等差数列前n项和公式即可求解；（2）由等比数列求和公式即可求解．解：（1）由an＝2n﹣1，得an+1﹣an＝2n+1﹣（2n﹣1）＝2，∴数列{an}是等差数列，∴S2n−1（2）∵an∴Sn【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和的求法，考查运算求解能力，是中档题．16．（15分）已知等差数列{an}满足a3＞a2，a1+a3＝10，a1，a2﹣1，a3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an3n，求数列{bn【分析】（1）根据等差、等比中项可得a1+a3＝10，a1a3＝16，结合题意解方程可得a1，a3，进而可得公差和通项；（2）由bn解：（1）等差数列{an}满足a3＞a2，a1+a3＝10，a1，a2﹣1，a3成等比数列，因为数列{an}为等差数列，则a1+a3＝2a2＝10，即a2＝5，又因为a1，a2﹣1，a3成等比数列，则a1联立方程a1+a3=10且a3＞a2＞a1，则a1=2a3所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．（2）由bn所以Tn【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17．（15分）已知圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和点M（1，﹣5）．（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的方程；（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程．【分析】（1）计算出圆心C到直线AB的距离，对直线AB的斜率是否存在进行分类讨论，在直线AB的斜率不存在时，直接检验即可；在直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线AB的方程；（2）求出以点M为圆心，半径为|ME|的圆的方程，将该圆方程与圆C的方程作差，即可得出直线EF的方程．解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝10，圆心为C（2，﹣1），半径为r=10所以圆心C到直线AB的距离为d=r当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1，此时圆心C到直线AB的距离为|2﹣1|＝1，符合题意；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y+5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣5＝0，由题意可得d=|2k+1−k−5|k2此时直线AB的方程为y+5=158(x−1)，即15x综上所述，直线AB的方程为x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；（2）因为|MC|=(2−1)2+所以以点M为圆心，|ME|为半径为圆的方程为（x﹣1）2+（y+5）2＝7，联立(x−1)2+(y+5)2即EF所在的直线方程为x+4y+12＝0．【点评】本题考查分类讨论的思想，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．18．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，{Sn}是公比为3的等比数列．（1）求Sn与an；（2）设bn＝anSn，求数列{bn}的前k项和Tk（k≥2）；（3）判断是否存在正整数s，t，r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合等比数列的通项公式及数列和与项的递推关系即可求解；（2）先求出bn，结合等比数列的求和公式即可求解；（3）结合等差数列的性质进行分析即可判断．解：（1）因为{Sn}是公比为3的等比数列，且S1＝a1＝3，所以Sn当n≥2时，an所以an（2）因为S所以bn当n≥2时，{bn}是公比为