2025年北师版七年级数学寒假预习 第04讲 整式的除法（2个知识点+4大考点举一反三+过关测试）

第04讲整式的除法模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算；

知识点1：单项式的除法法则单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点2：多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点一：单项式的除法运算例1.计算：(1)−3a7b4c÷9(3)6.4×105÷200；【变式1-1】计算：(1)8a3b5c÷【变式1-2】计算：(1)−3x23⋅1【变式1-3】计算：(1)−5a5b3c÷15a4b；考点二：多项式的除法运算例2计算．(1)7x2y3−8【变式2-1】计算：(1)23a5b【变式2-2】计算：(1)25mn2−6m【变式2-3】计算：(1)a3b5−3a考点三：整式的混合运算例3.计算：5ab2⋅−4a2(3)2x【变式3-1】计算：(1)3x2y2【变式3-2】计算−2ab22(3)x(x+2y)−(y−3x)(x+y)(4)(a+b+3)(a+b−3)【变式3-3】计算：(1)ab4b2−2ab÷2ab考点四：整式的化简求值例4.化简求值：(3x+2)(3x−2)−5x(x−1)−(2x−1)2，其中(2)xy+2xy−2−2x2【变式4-1】先化简，再求值：(xy−2)2−(2−xy)(2+xy)−2xy÷(−4xy)，其中x=3【变式4-2】先化简再求值：2a−b2−bb−4a+a÷−【变式4-3】先化简再求值(1)x+2yx−2y−x+4y(2)已知x2−2x=1，求一、单选题1．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一个长方形的面积是12a4b7，长是A．6a2b3 B．3a22．（23-24七年级下·浙江金华·期中）化简20xA．4x2−3xy+1 B．4x2−3xy3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若9a3m÷3a=3aA．3 B．4 C．5 D．64．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）计算：8x2yA．4x2y2 B．2x35．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若×4x2y2=−12xA．3y+4x B．3y−4x C．−3y+4x D．−3y−4x6．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若长方形的面积为4a2−6ab+2a，且一边长为2aA．4a−3b B．8a−6b C．4a−3b−1 D．8a−6b+2二、填空题7．（23-24七年级下·福建宁德·期中）计算：10a38．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）长方形的面积是ab2−2a29．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，A是一个多项式，小明在计算A+3x2时，错将“+”抄成了“÷”，运算结果得x2−3x−1，那么，原来算式三、解答题10．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）计算：(1)2x4y23x−411．（23-24七年级下·广西梧州·期中）计算：(1)−3a32−3a12．（23-24七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：a−3b2−a+ba−b第04讲整式的除法模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算；

知识点1：单项式的除法法则单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点2：多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点一：单项式的除法运算例1.计算：(1)−3a7b4c÷9(3)6.4×105÷200；【答案】(1)−(2)−4(3)3.2×(4)1【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方；（1）根据单项式除以单项式的法则计算即可；（2）根据单项式除以单项式的法则计算即可；（3）对原式变形，然后根据幂的运算法则计算即可；（4）先利用积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可．【详解】（1）解：原式==−1（2）解：原式==−4a（3）解：原式===3.2×10（4）解：原式=8==1【变式1-1】计算：(1)8a3b5c÷【答案】(1)−(2)32【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键；（1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可；（2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可；【详解】（1）解：8a（2）(−4xy)3【变式1-2】计算：(1)−3x(2)−2a【答案】(1)−12(2)2【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与单项式的除法法则是解答本题的关键．（1）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，然后算单项式与单项式的除法；（2）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，然后算单项式与单项式的除法；【详解】（1）−3=−27=−3=−12x（2）−2===2a【变式1-3】计算：(1)−5a5b3c÷15a4b；【答案】(1)−(2)6(3)2【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；（2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；（3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可．【详解】（1）−5（2）−（3）6=6=【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．考点二：多项式的除法运算例2计算．(1)7x2y3−8【答案】(1)7(2)2x−y−4【分析】本题考查的是多项式除以单项式，熟记运算法则是解本题的关键；（1）按照多项式除以单项式的运算法则计算即可；（2）按照多项式除以单项式的运算法则计算即可；【详解】（1）解：7=7=7（2）x==2x−y−4．【变式2-1】计算：(1)23a5b【答案】(1)6(2)6【分析】本题考查的是积的乘方运算，多项式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键；（1）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可；（2）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可；【详解】（1）解：2==6a（2）3==6【变式2-2】计算：(1)25mn2−6m【答案】(1)1(2)4【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．（1）用多形式的每一项分别与单项式相除即可（2）用多形式的每一项分别与单项式相除即可【详解】（1）原式==1（2）原式=2=4y【变式2-3】计算：(1)a3(2)2x2【答案】(1)a(2)−2y+4【分析】（1）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解．（2）先根据单项式乘以多项式计算括号内的，然后合并同类项，最后根据多项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】（1）解：a==ab（2）解：2x===−2y+4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．考点三：整式的混合运算例3.计算：(1)5ab2⋅−4a2(3)2x【答案】(1)10a(2)2(3)7【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得解；（2）根据整式的混合运算法则计算即可得出答案；（3）根据整式的混合运算法则计算即可得出答案．【详解】（1）解：5ab2（2）解：4x（3）解：2x【变式3-1】计算：(1)3x2y2【答案】(1)15x(2)−2a+4【分析】本题主要考查整式的去处：（1）原式先计算积的乘方，再进行单项式的乘除法运算即可答案；（2）原式先计算中括号内的，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可【详解】（1）解：3=9=−135=15xy（2）解：2a+b===−2a+4【变式3-2】计算(1)−2ab22(3)x(x+2y)−(y−3x)(x+y)(4)(a+b+3)(a+b−3)【答案】(1)−8(2)2(3)4(4)a【分析】本题考查了整式的混合运算；（1）先根据积的乘方以及单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可求解；（2）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解；（3）根据单项式乘以单项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解；（4）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：−2a=4=−8a（2）解：4=2a（3）解：x(x+2y)−(y−3x)(x+y)===4x（4）解：(a+b+3)(a+b−3)==【变式3-3】计算：(1)ab4b2−2ab÷2ab【答案】(1)2(2)3【分析】本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键：（1）先计算除法，再去括号；（2）首先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项求解．【详解】（1）解：ab==2（2）解：2a+3b=4=3考点四：整式的化简求值例4.化简求值：(1)(3x+2)(3x−2)−5x(x−1)−(2x−1)2，其中(2)xy+2xy−2−2x2【答案】(1)9x−5，-8(2)−xy，2【分析】考查了整式的混合运算-化简求值，以及完全平方公式；（1）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再把x的值代入即可；（2）利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：原式=9x=9x−5．当x=−13（2）原式=x=−x=−xy．当x=10，y=−125【变式4-1】先化简，再求值：(xy−2)2−(2−xy)(2+xy)−2xy÷(−4xy)，其中x=3【答案】−12【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先分别根据完全平方公式，平方差公式计算(xy−2)2和(2−xy)(2+xy)【详解】解：原式====−当x=3，y=2时，原式=−【变式4-2】先化简再求值：2a−b2−bb−4a+a÷−【答案】−8a−2，−1【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算计算括号内的，再根据多项式除以单项式计算，然后代入求值．【详解】解：原式=(4=(4=−8a−2当a=−18，b=4时，原式【变式4-3】先化简再求值(1)x+2yx−2y−x+4y(2)已知x2−2x=1，求【答案】(1)−5y−2x，3(2)2x2【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式的化简求值，根据乘法公式，整式的混合运算化简，代入求值即可，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键．（1）运用乘法公式化简，再代入求值即可；（2）运用乘法公式将代数式化简，再整体代入计算即可求解．【详解】（1）解：x+2y====−5y−2x，当x=1，y=−1时，原式（2）解：(x−1)(3x+1)−=3=3=2=2x∵x2∴原式=2×1−2=0．一、单选题1．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一个长方形的面积是12a4b7，长是A．6a2b3 B．3a2【答案】B【分析】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据长方形的宽等于面积除以长列出式子，再根据单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方法则计算即可得．【详解】解：由题意得：这个长方形的宽是12=12=3a故选：B．2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）化简20xA．4x2−3xy+1 B．4x2−3xy【答案】C【分析】此题考查了多项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握运算法则．根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．【详解】解：20=−4x故选：C．3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若9a3m÷3a=3aA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算，单项式除以单项式，先把原式变形为32ma3m÷3a=3a【详解】解：9a∴32∴32m∴32m−1∴2m−1=1，∴m=1，∴m+n=3，故选：A．4．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）计算：8x2yA．4x2y2 B．2x3【答案】C【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，熟知单项式除以单项式的计算法则是解题的关键．【详解】解：8x故选：C．5．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若×4x2y2=−12xA．3y+4x B．3y−4x C．−3y+4x D．−3y−4x【答案】C【分析】本题考查的是单项式除以多项式的运算，掌握运算法则是解本题的关键，根据乘法的意义，先列式再计算即可．【详解】解：由题意可得：所代表的整式是：−12x=−3y+4x，故选：C6．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若长方形的面积为4a2−6ab+2a，且一边长为2aA．4a−3b B．8a−6b C．4a−3b−1 D．8a−6b+2【答案】D【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用，根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为4a2−6ab+2a÷2a，根据多项式除法法则进行计算；长方形的周长【详解】解：∵长方形的面积为4a2−6ab+2a∴另一边长是：4a则其周长是：22a−3b+1故选：D．二、填空题7．（23-24七年级下·福建宁德·期中）计算：10a3【答案】2【分析】本题考查的是单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键，利用单项式除以单项式的运算法则计算即可．【详解】解：10a故答案为：28．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）长方形的面积是ab2−2a2【答案】b【分析】根据长方形的面积公式，多项式除以单项式即可计算．【详解】解：根据题意，长方形的长是ab故答案为：b2【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．9．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，A是一个多项式，小明在计算A+3x2时，错将“+”抄成了“÷”，运算结果得x2−3x−1，那么，原来算式【答案】3【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】解：由题意可知：A÷3x∴A==3∴A+3=3=3x【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是