2025年人民版八年级数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人民版八年级数学上册阶段测试试卷889考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、下列多项式能用平方差公式分解的因式有（）

（1）a+b(2)x-y(3)-m+n(4)-ab(5)-a+4A.2个B.3个C.4个D.5个2、一个三角形的两边长分别是3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A.3cmB.5cmC.8cmD.11cm3、如图所示，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路（M、N分别是AB、CD中点）．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了（）A.7米B.6米C.5米D.4米4、如图，在Rt鈻�ABC

中，隆脧B=90鈭�

以AC

为直径的圆恰好过点BAB=8BC=6

则阴影部分的面积是(

)

A.100娄脨鈭�24

B.100娄脨鈭�48

C.25娄脨鈭�24

D.25娄脨鈭�48

5、某班学生军训打靶，有m

人各中靶a

环，n

人各中靶b

环，那么所有中靶学生的平均环数是()．A.a+bm+n

B.am+bnm+n

C.12(am+bn)

D.12(am+bn)

6、用公式法解方程x2-2=-3x时，a，b，c的值依次是（）A.0，-2，-3B.1，3，-2C.1，-3，-2D.1，-2，-37、若（x+a）（x2-x-b）的乘积中不含x的二次项和一次项，则常数a、b的值为（）A.a=1，b=-1B.a=-1，b=1C.a=1，b=1D.a=-1，b=-18、如图，△ABC的三条内角平分线交于P点，PD、PE、PF分别垂直于AC、AB、BC于D、E、F，已知PD⊥PF，BC、CA长分别是6、8，则AB的长度是（）A.9B.10C.11D.129、甲、乙两人都去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买50千克的大米，乙每次够买50元的大米，这两人第一次够买大米时售价为每千克m元，第二次购买大米时售价为每千克n元（m≠n），若规定谁两次购买大米的平均单价低，谁的购买方式就合算，则（）A.甲的够买方式合算B.乙的够买方式合算C.甲、乙的够买方式同样合算D.不能判断谁的够买方式合算评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程2x+y+k=1的一个解，则直线y=kx+3不经过第____象限．11、2×4n×8n=26，则n=____．12、如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，面积和为100，则最大的半圆面积是____．13、把9个数按从小到大的顺序排列，其平均数是9，如果这组数中前5个数的平均数是8，后5个数的平均数是10，则这9个数的中位数是____．14、如图，把鈻�ABC

纸片沿DE

折叠，当点A

落在四边形BCDE

内部时，则隆脧A隆脧1隆脧2

之间的数量关系是______．15、分解因式，应用平方差公式：4a2-9b2=____．16、如果，那么代数式的值是____．17、如图为直角梯形纸片ABCD，E点在BC上，AD∥BC,∠C=90°，AD＝2，BC＝8，CD＝8.以AE为折线，将C折至BE上，使CD与AB交于F点，则BF=.评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)18、下列分式中；不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”．

①____②____③____④____⑤____．19、有意义的x的取值范围是x＞．____（判断对错）20、判断：÷===1（）21、水平的地面上有两根电线杆，测量两根电线杆之间的距离，只需测这两根电线杆入地点之间的距离即可。（）22、==；____．（判断对错）23、=-a-b；____．24、-a没有平方根．____．（判断对错）25、判断：只要是分式方程，一定出现增根.（）评卷人得分四、解答题(共2题，共12分)26、如图，在平面直角坐标系中，直线AB

与坐标轴分别交于AB

两点，已知点A

的坐标为(0,8)

点B

的坐标为(8,0)OCAD

均是鈻�OAB

的中线，OCAD

相交于点FOE隆脥AD

于G

交AB

于E

．

(1)

点C

的坐标为____；(2)

求证：鈻�AFO

≌鈻�OEB

(3)

求证：隆脧ADO=隆脧EDB

27、如图，直线y=kx+b

与双曲线y=6x(x>0)

相交于A(m,6)B(3,n)

两点．

(1)

直接写出：m=

_____，n=

_____；(2)

根据图象直接写出使不等式kx+b鈮�6x

成立的x

的取值范围是______________________；(3)

在y

轴上找一点P

使PA+PB

的值最小，求出P

点的坐标．评卷人得分五、综合题(共3题，共27分)28、如图，点D在反比例函数y=（k＞0）上；点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点；BA；BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；

（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）29、如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动同时点Q从C点出发；沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．

（1）当x为何值时；PQ∥BC；

（2）当，求的值；

（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．30、如图；正方形OABC的顶点O的坐标原点，点A的坐标为（4，3），点B的横坐标为1．

（1）求直线OA和AB的解析式；

（2）现有动点P、O分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点O沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．问当k为可值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

【解答】(1)a+b不能用平方差公式分解因式；(2)x-y=(x+y)(x-y)能用平方差公式分解因式；(3)-m+n=(n+m)(n-m)能用平方差公式分解因式；(4)-ab不能用平方差公式分解因式；(5)-a+4=(2+a)(2-a)能用平方差公式分解因式.

【分析】此题考查了公式法；熟练掌握公式法是解本题的关键.

故选B.2、C【分析】解：设第三边长为xcm；

则8-3＜x＜3+8；

5＜x＜11；

故选C．

根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜11；因此只有选项C符合．

本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．【解析】【答案】C3、B【分析】解：在直角梯形ABCD中；M；N分别是AB、CD的中点，所以MN是梯形的中位线；

∴MN=（AD+BC）÷2；又∵AD=11，BC=16，∴MN=13.5m．

过D点作BC的垂线交BC于点E；则AD=BE=11，DE=AB=12；

又∵BC=BE+CE=16；

∴CE=5，在直角三角形DEC中，DE2+EC2=CD2即122+52=CD2；

∴CD=13；则CN=6.5；

∴AM+MN+NC=6+13.5+6.5=26．

由勾股定理可知AB2+BC2=AC2即122+162=AC2；

∴AC=20；所以他们少走了6m；

故选B．

只要根据梯形中位线的性质和勾股定理求出小路的长度；再根据勾股定理求出AC的距离比较一下即可．

本题考查梯形中位线的性质和勾股定理的应用．【解析】【答案】B4、C【分析】解：隆脽Rt鈻�ABC

中隆脧B=90鈭�AB=8BC=6

隆脿AC=AB2+BC2=82+62=10

隆脿AC

为直径的圆的半径为5

隆脿S脪玫脫掳=S脭虏鈭�S鈻�ABC=25娄脨鈭�12隆脕6隆脕8=25娄脨鈭�24

．

故选：C

．

先根据勾股定理求出AC

的长，进而可得出以AC

为直径的圆的面积，再根据S脪玫脫掳=S脭虏鈭�S鈻�ABC

即可得出结论．

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【解析】C

5、B【分析】【分析】本题主要考查加权平均数，掌握得出射击环数的总数和加权平均数的定义是解题的关键.

求出该班所有学生射击的总环数，再根据平均数的定义计算可得【解答】解：根据题意知m

人射击的总环数为amn

人射击的总环数为bn

则该班打中a

环和b

环学生的平均环数是am+bnm+n

．故选B．【解析】B

6、B【分析】【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．【解析】【解答】解：整理得：x2+3x-2=0；

这里a=1，b=3；c=-2．

故选B．7、A【分析】【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出-1+a=0，-b-a=0，求出即可．【解析】【解答】解：（x+a）（x2-x-b）=x3-x2-bx+ax2-ax-ab

=x3+（-1+a）x2+（-b-a）x-ab；

∵（x+a）（x2-x-b）的乘积中不含x的二次项和一次项；

∴-1+a=0，-b-a=0；

∴a=1，b=-1；

故选A．8、B【分析】【分析】根据垂直定义求出∠PFC=∠PDC=∠FPD=90°，求出∠C=90°，由勾股定理求出AB即可．【解析】【解答】解：∵PD⊥AC；PF⊥BC，PF⊥PD；

∴∠PFC=∠PDC=∠FPD=90°；

∴∠C=90°；

∴由勾股定理得：AB===10；

故选B．9、B【分析】【解答】∵两人第一次购买大米时售价为每千克m元，第二次购买大米时售价为每千克n元（m≠n），∴甲共花（50m+50n）元，平均单价为=元；乙共花50+50=100元，平均单价为=元；∴﹣=＞0；∴乙的购买方式合算，故选B．

【分析】根据平均单价=分别求出甲、乙的平均单价，再相减即可得出结论．二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】【分析】求出方程组的解，代入二元一次方程，求出k的值，再根据一次函数的性质解答即可．【解析】【解答】解：解不等式组，得：；

把代入方程2x+y+k=1；得：k=-2；

∴直线y=-2x+3经过一；二、四；

∴不经过第三象限．

故答案为：三．11、略

【分析】【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．【解析】【解答】解：2×4n×8n=2×22n×23n=25n+1=26；

则5n+1=6；

解得：n=1．

故答案为：1．12、略

【分析】【分析】设三个半圆的半径从小到大依次为a，b、c，分别表示出三个半圆的面积，根据面积之和为100，然后求出最大半圆的面积．【解析】【解答】解：设三个半圆的半径从小到大依次为a，b；c；

则有：a2+b2=c2；

由题意得，πa2+πb2+πc2=100；

整理得：π（a2+b2+c2）=100；

∵a2+b2=c2；

∴π（c2+c2）=100；

则最大半圆的面积为：πc2=50．

故答案为：50．13、略

【分析】【分析】因为前5个数的和加上后5个数的和，恰好中间的数加了两次，再减去9个数的和刚好剩下的就是中间的数．【解析】【解答】解：∵9个数的和是：9×9=81；前5个数的和是：8×5=40，后5个数的和是：10×5=50；

∴这9个数的中位数是：40+50-81=9．

故答案为：9．14、隆脧1+隆脧2=2隆脧A【分析】解：连接AA隆盲

．

则鈻�A隆盲ED

即为折叠前的三角形；

由折叠的性质知：隆脧DAE=隆脧DA隆盲E

．

由三角形的外角性质知：

隆脧1=隆脧EAA隆盲+隆脧EA隆盲A隆脧2=隆脧DAA隆盲+隆脧DA隆盲A

则隆脧1+隆脧2=隆脧DAE+隆脧DA隆盲E=2隆脧DAE

即隆脧1+隆脧2=2隆脧A

．

故答案是：隆脧1+隆脧2=2隆脧A

．

可连接AA隆盲

分别在鈻�AEA隆盲鈻�ADA隆盲

中；利用三角形的外角性质表示出隆脧1隆脧2

两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．

此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．【解析】隆脧1+隆脧2=2隆脧A

15、略

【分析】【分析】根据平方差公式进行分解即可．【解析】【解答】解：原式=（2a+3b）（2a-3b）．

故答案为：（2a+3b）（2a-3b）．16、略

【分析】【分析】根据非负数的性质求得m、n的值，再进一步运用完全平方公式求解．【解析】【解答】解：∵；

∴m=3；n=2．

∴=（）2=5+2．

故答案为5+2．17、略

【分析】由题意得：EC′=EC=AD=2，∴BC′=BC-C′E-EC=4，∴AB==10，又∵△BC′F∽△BEA，∴BF/AB=BC′/BE，∴BF=．【解析】【答案】三、判断题(共8题，共16分)18、√【分析】【分析】①分子分母同时约去2；②分子分母没有公因式；③分子分母同时约去x-1；④分子分母同时约去1-x；⑤分子分母没有公因式．【解析】【解答】解：①=；

②是最简分式；

③==；

④=-1；

⑤是最简分式；

只有②⑤是最简分式．

故答案为：×，√，×，×，√．19、×【分析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x+5≥0，再解不等式即可．【解析】【解答】解：有意义则2x+5≥0；

解得：x≥-；

故答案为：×．20、×【分析】【解析】试题分析：根据二次根式的除法法则即可判断。÷故本题错误。考点：本题考查的是二次根式的除法【解析】【答案】错21、√【分析】【解析】试题分析：根据两平行线之间的距离的定义：两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离，即可判断。水平的地面与电线杆是垂直的，所以入地点的连线即两电线杆之间的垂线段，故本题正确。考点：本题考查的是两平行线之间的距离的定义【解析】【答案】对22、×【分析】【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．【解析】【解答】解：根据分式的基本性质得出：原式不正确；

即==错误；

故答案为：×．23、×【分析】【分析】先把分式的分子进行变形，再约去分子、分母的公因式，进行判断即可．【解析】【解答】解：∵==a+b；

∴=-a-b是错误的．

故答案为：×．24、×【分析】【分析】根据平方根的定义直接判断即可．【解析】【解答】解：当a≤0时；-a有平方根；当a＞0时，-a没有平方根．

故原说法错误．

故答案为：×．25、×【分析】【解析】试题分析：根据增根的定义即可判断.因为增根是使原方程的分母等于0的根，所以不是所有的分式方程都有增根，故本题错误.考点：本题考查的是分式方程的增根【解析】【答案】错四、解答题(共2题，共12分)26、解：（1）过C作CH⊥OA，

∵A（0.8），B（8，0），

∴OA=OB=8，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵OC是△OAB的中线，的中线，

OAB⊥∴OC45°，∴∠OAB=∠AOC,∴CA=CO,

AB,∠AOC=∠BOC=

∵CH⊥OA，∠HCO=∠HCO=45°，∴OH=CH=4点C的坐标（4,4）；∴∠HCO=45°，OH=AH=OA=4，∠AOF=∠OBE=45°，OA=OB,（2）证明：由（1）得OE⊥AD；

∵∠AGO=90°，∴∠OAF+∠AOG=90°，∴∠OAF=∠BOE,在△AFO和△OEB中，∠OAF=∠BOE,OA=OB,∠AOF=∠OBE,∴∴

△AFO≌△OEB；由（1）得∠DOF=∠DBE=45°，由（2）得△AFO≌△OEB，OF=BE,∵（3）证明：是△AD的中线；

∴OD=BD,在△ODF和△BDE中，OD=BD,∠DOF=∠DBE,OF=BE,∴△ODF≌△BDE；OAB∴∠ADO＝∠EDB．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具..在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．(1)(1)过C

作CH隆脥OA

利用已知条件和直角三角形的性质，求得OH=CH=4

即可求出点C

的坐标；(2)(2)在鈻�AFO

和鈻�OEB

中，利用已知以及角之间的关系，求得隆脧OAF=隆脧BOEOA=OB隆脧AOF=隆脧OBE

结论可证；(3)(3)可根据“SASSAS”证明鈻�ODF

≌鈻�BDE，结论可证．【解析】解：(1)(1)过CC作CHCH隆脥OAOA

隆脽A(0.8)隆脽A(0.8)B(8,0)B(8,0)

隆脿OA=OB=8隆脿OA=OB=8

隆脿隆脧OAB=隆脧OBA=45鈭�隆脿隆脧OAB=隆脧OBA=45^{circ}

隆脽OCOC是鈻�triangleOABOAB的中线，的中线，

OABOAB隆脥隆脿OC隆脿OC45鈭�

隆脿隆脧OAB=隆脧AOC

隆脿CA=CO

ABAB隆脧AOC=隆脧BOC=隆脧AOC=隆脧BOC=

隆脽CH隆脥OA隆脽CH隆脥OA隆脧HCO=隆脧HCO=45鈭�

隆脿OH=CH=4

点C

的坐标(4,4)

隆脿隆脧HCO=45鈭�隆脿隆脧HCO=45^{circ}OH=AH=12OA=4OH=AH=dfrac{1}{2}OA=4隆脧AOF=隆脧OBE=45鈭�OA=OB

(2)(2)证明：由(1)(1)得OE隆脥AD

隆脽隆脽隆脧AGO=90鈭�

隆脿隆脧OAF+隆脧AOG=90鈭�

隆脿隆脧OAF=隆脧BOE

在鈻�AFO

和鈻�OEB

中，隆脧OAF=隆脧BOEOA=OB隆脧AOF=隆脧OBE

隆脿隆脿隆脿

鈻�AFOtriangleAFO≌鈻�OEBtriangleOEB由(1)

得隆脧DOF=隆脧DBE=45鈭�

由(2)

得鈻�AFO

≌鈻�OEBOF=BE

隆脽(3)(3)证明：是鈻�ADAD的中线；

隆脿OD=BD

在鈻�ODF

和鈻�BDE

中，OD=BD隆脧DOF=隆脧DBEOF=BE

隆脿鈻�ODF

≌鈻�BDE

OABOAB隆脿隆脧ADO=隆脧EDB隆脿隆脧ADO=隆脧EDB．27、解：（1）1；2；

（2）1≤x≤2；

（3）由（1）知A（1，6），B（3，2）

则点A关于y的轴对称点C（-1，6），

设直线BC的解析式为y=kx+b

将点B、C坐标代入，得：

解得：

则直线BC的解析式为y=-x+5，

当x=0时，y=5，

∴点P的坐标为（0,5）.【分析】【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，能根据图象和两个点的坐标得出答案是解此题的关键，注意：数形结合思想的应用．(1)

将点AB

坐标代入即可得；

(2)

由函数图象即可得；

(3)

作点A

关于x

轴的对称点C

连接BC

与x

轴的交点即为所求．【解答】解：(1)

把点(m,6)B(3,n)

分别代入y=6x(x>0)

得：m=1n=2

故答案为12

(2)

由函数图象可知，使kx+b鈮�geqslant6x

成立的x

的取值范围是1鈮�x鈮�2

故答案为1鈮�x鈮�2

(3)

见答案．【解析】解：(1)12

(2)1鈮�x鈮�2

(3)

由(1)

知A(1,6)B(3,2)

则点A

关于y

的轴对称点C(鈭�1,6)

设直线BC

的解析式为y=kx+b

将点BC

坐标代入，得：{3k+b=2鈭�k+b=6

解得：{k=鈭�1b=5

则直线BC

的解析式为y=鈭�x+5

当x=0

时，y=5

隆脿

点P

的坐标为(0,5)

．五、综合题(共3题，共27分)28、略

【分析】【分析】（1）过D作DG⊥x轴；交x轴于点G，由三角形ODC为等腰直角三角形，利用三线合一得到G为OC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DG与OG的长，确定出D坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；

（2）将B的横坐标1代入反比例解析式中求出y的值，确定出B的纵坐标，由折叠的性质得到△BOA′≌△BOA，即为BA与BA′的长相等，再利用AAS得出△OA′F≌△BFE，利用全等三角形对应边相等得到A′F=EF，由OE=EF+OF=4，得到A′F+OF=4，在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2=OF2，设OF=x，则A′F=4-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OF的长，进而得出F的坐标，设直线A′B的解析式为y=kx+b，将B与F的坐标代入求出k与b的值；即可确定出直线A′B的解析式；

（3）满足题意的P点有三个位置，如图所示，四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形；

过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，由题意得出△FA′O∽△OMA′，由相似得比例求出A′M与OM的长，确定出A′的坐标，根据平行四边形的对边相等得到A′P1=OA=1，确定出P1的坐标，由A′、A分别为P1P2、P1P3的中点，A（1，0），利用线段中点坐标公式求出P2与P3的坐标．【解析】【解答】解：（1）过D作DG⊥x轴；交x轴于点G；

∵△ODC为等腰直角三角形；

∴G为OC的中点；即DG为斜边上的中线；

∴DG=OG=OC=2；

∴D（2；2）；

代入反比例解析式得：2=；即k=4；

则反比例解析式为y=；

（2）∵点B是y=上一点；B的横坐标为1；

∴y==4；

∴B（1；4）；

由折叠可知：△BOA′≌△BOA；

∵OA=1；AB=4；

∴BE=A′O=1；OE=BA′=4；

又∵∠OAB=90°；∠A′FO=∠BFE；

∴∠BA′O=∠OEB=90°；

∴△OA′F≌△BFE（AAS）；

∴A′F=EF；

∵OE=EF+OF=4；

∴A′F+OF=4；

在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2=OF2；

设OF=x；则A′F=4-x；

∴12+（4-x）2=x2；

∴x=；

∴OF=，即F（0，）；

设直线BA′解析式为y=kx+b；

将B（1，4）与F（0，）坐标代入得：；

解得：；

则线BA′解析式为y=x+；

（3）如图所示：四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形；

过A′作A′M⊥x轴；交x轴于点M；

∵∠A′OM+∠A′OF=90°；∠A′OM+∠MA′O=90°；

∴∠A′OF=∠MA′O；

∵∠A′MO=∠FA′O=90°；

∴△FA′O∽△OMA′；

∴=，即=；

∴OM=，根据勾股定理得：OM=；

∴A′（-，）；

∵A′P1=OA=1；

∴P1（，）；

∵A′、A分别为P1P2、P1P3的中点；A（1，0）；

∴P2（-，），P3（，-）．29、略

【分析】【分析】（1）当PQ∥BC时；根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．

（2）我们先看当时能得出什么条件；由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．

（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两