【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第5章-第1节-平面向量的概念及其线性运算

第五章第一节一、选择题1．下列命题中为假命题的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相同[答案]D[解析]由定义可知，A、B、C正确．由于共线的单位向量方向可以相同或相反，故D错误．2．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则()A．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0[答案]C[解析]解法1：由向量加法的平行四边形法则易知，eq\o(BA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的和向量过AC边上的中点，长度是AC边上的中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.解法2：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0.3．(2022·新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[答案]A[解析]如图，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).4．(文)下列命题中真命题是()①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a＋λ2b＝③a与b不共线⇔若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝④a与b不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝A．①③ B．②③C．①④ D．②④[答案]B(理)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－B．假如c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向[答案]D[解析]考查向量相等及向量平行的条件．∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ,1＝－λ))，∴k＝－1，λ＝－1.故选D．5．非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0[答案]A[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2.6．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．菱形[答案]C[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为梯形．故选C．二、填空题7．化简：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝________(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________[答案](1)eq\o(CB,\s\up6(→))(2)0[解析]运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)解法1：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.解法2：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.8．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝[答案]－eq\f(1,3)[解析]由已知得a＋λb＝－k(b－3a)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k,3k＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3),k＝\f(1,3))).9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的外形为________．[答案]直角三角形[解析]eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．三、解答题10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？[分析]运用向量共线的条件，确定是否存在实数k，使是d＝kC．[解析]d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d与c共线.一、选择题1．(2022·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))[答案]D[解析]本题考查了平面对量平行四边形法则，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋OC)＋(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OM,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).2．(文)已知P是△ABC所在平面内的一点，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P确定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上[答案]B[解析]本题考查平面对量的共线问题，由eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).则eq\o(CP,\s\up6(→))与eq\o(PA,\s\up6(→))为共线向量，又eq\o(CP,\s\up6(→))与eq\o(PA,\s\up6(→))有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B．(理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))()A．反向平行 B．同向平行C．相互垂直 D．既不平行也不垂直[答案]A[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，故选A．二、填空题3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是________．[答案]eq\f(2,3)[解析]由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(2,3).4．在△ABC中，点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋meq\o(AM,\s\up6(→))＝0，则实数m的值为______．[答案]－3[解析]由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0知M为△ABC的重心，设BC的中点为D，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，而eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故2eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)meq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴m＝－3.三、解答题5．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在一条直线上？[解析]设a－tb＝λ[a－eq\f(1,3)(a＋b)](λ∈R)，化简整理得(eq\f(2,3)λ－1)a＋(t－eq\f(1,