【八年级下册数学北师大版】期末必刷 高频考点常考卷（培优）

【期末测试·培优】北师大版八年级下册数学高频考点常考卷（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；请将答案正确填写在答题卡上。2.本卷试题共三大题，共26小题，单选10题，填空8题，解答8题，限时100分钟，满分120分。一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（2022·全国·八年级期末）要使分式xx−2022有意义，则x的取值应满足（

A．x=2022 B．x>2022 C．x<2022 D．x≠20222．（2022·北京·八年级期末）已知a<b，下列不等式中，变形正确的是（

）A．a−3>b−3 B．3a−1>3b−1 C．a3>b3．（2022·山东烟台·八年级期末）若4a4−b−c2A．2a2−b+c B．2a2−b−c4．（2022·湖南长沙·八年级期末）计算的正确结果是（

）A．x B．2 C．2x−1 D．5．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（A．17cm B．19cm C．21cm D．23cm（第5题图） （第7题图）6．（2022·河北石家庄·八年级期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．7．（2021·宁夏中卫·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP'重合，如果AP=3，那么线段A．6 B．3 C．32 D．8．（2022·浙江宁波·八年级期末）某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设∠BAC=θ0°<θ<90°，现把长度相等的小棒依次摆放在射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A1开始，依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（

A．15°＜θ＜18° B．15°＜θ≤18° C．15°≤θ＜18° D．15°≤θ≤18°（第8题图） （第10题图）9．（2022·上海·八年级期末）甲、乙两人分别从距离目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2∶3，结果甲比乙提前20min到达目的地．设甲的速度为2xkm/h，则下面所列方程正确的是（

）A．＝＋2060 B．＝＋2060 C．63x＝102x＋2060 D．＝＋2010．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠D为锐角，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AF=FE．若AB=25，▱ABCD面积为300，则的长度为（

）A．30 B．15 C．40 D．20二、填空题（本题共8个小题，每题3分，共24分）11．（2021·山东烟台·期末）若代数式x2+mx+16通过变形可以写成(x+n)12．（2022·山东济南·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程组x−3y=4m+3x+5y=5的解满足x+y≤0，则整数m13．（2022·河南省第二实验中学八年级期末）不等式组2x≤8−x3x+2>214．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=2，则PD=______． （第14题图） （第15题图） （第16题图）15．（2021·吉林长春·八年级期末）如图，△ABC的周长为13cm，根据图中尺规作图的痕迹，直线DE分别与BC、AC交于D、E两点，若AE=2cm，则△ABD的周长为______16．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，使得AD⊥BC，则∠CAE=__________度．17．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，连接AD，，直线AD，相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF的最大值为__________．（第17题图）（第18题图）18．（2021·江西抚州·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B(−3，2)，点C(0，2)，点Р从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点О运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P,Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t=____________________时，以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形．三、解答题（本题共8个小题，19-24每题7分，25小题10分，26小题14分，共66分）19．（2021·重庆巫山·八年级期末）解方程组、不等式（组）：(1)3x−2y=19(2)x+2(3)x(4)x−320．（2022·全国·八年级期末）计算或化简求值.（1）计算：（x2＋2x＋3）（2x﹣5）；（2）因式分解：a4﹣1；（3）先化简，再求值：[（x﹣2y）2＋（x﹣2y）（x＋2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2.21．（2022·山东烟台·八年级期末）按要求计算。（1）先化简，再求值：，其中．（2）解方程：22．（2021·江苏淮安·八年级期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在方格纸中小正方形的顶点上．(1)利用格点，按下列要求画图：①过点画直线的平行线；②过点画直线的垂线；③将绕点顺时针旋转90°得；(2)求的面积．23．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如（图1），点为对角线上一点，连接，．（1）求证：；（2）如（图2），若，为线段上一点，且，连接，设，，求与的函数表达式；（3）在（2）的条件下，如（图3），点为线段上（不与点、点重合）任意一点，试判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由．24．（2021·河北承德·八年级期末）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？25．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，在轴上，点在轴上方，边交轴于点，点为边上一点，连接、，已知，．(1)求证：；(2)如图，连接，当为直角三角形时，请直接写出点A的坐标；(3)如图，过点作，且，当点在延长线上时，求点A的坐标．26．（2021·江西南昌·八年级期末）如图1，若是的中位线，则，解答下列问题：（1）如图2，点是边上一点，连接、①若，则；②若，，连接，则，，．（2）如图3，点是外一点，连接、，已知：，，，求的值；（3）如图4，点是正六边形内一点，连接、、，已知：，，，求的值．

【期末测试·培优】北师大版八年级下册数学高频考点常考卷（解析版）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；请将答案正确填写在答题卡上。2.本卷试题共三大题，共26小题，单选10题，填空8题，解答8题，限时100分钟，满分120分。一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（2022·全国·八年级期末）要使分式xx−2022有意义，则x的取值应满足（

A．x=2022 B．x>2022 C．x<2022 D．x≠2022【答案】D【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．【详解】解：由题意可得x−2022≠0，解得x≠2022，故选：D．【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．2．（2022·北京·八年级期末）已知a<b，下列不等式中，变形正确的是（

）A．a−3>b−3 B．3a−1>3b−1 C．a3>b【答案】D【分析】根据不等式的基本性质1、不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c；不等式的基本性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；不等式的基本性质3、不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．解答即可．【详解】解：A、不等式a＜b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a-3＜b-3，故选项错误，不符合题意；B、不等式a＜b的两边同时乘以3再减去1，不等式仍成立，即3a-1＜3b-1，故选项错误，不符合题意；C、不等式a＜b的两边同时除以3，不等式仍成立，即a3D、不等式a＜b的两边同时乘以-3，不等式的符号方向改变，即，故选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．3．（2022·山东烟台·八年级期末）若4a4−b−c2A．2a2−b+c B．2a2−b−c【答案】A【分析】直接运用平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】解：4故选：A．【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练运用平方差公式是解答此题的关键．4．（2022·湖南长沙·八年级期末）计算的正确结果是（

）A．x B．2 C．2x−1 D．【答案】B【分析】直接利用分式的加减运算的法则进行求解即可．【详解】解：===2．故选：B．【点睛】本题主要考查分式的加减，解答的关键是熟记分式的加减的法则并熟练运用．5．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（A．17cm B．19cm C．21cm D．23cm【答案】C【分析】先利用基本作图得到MN垂直平分AC，CE＝AE＝4cm，DA＝DC，然后利用等线段代换计算△ABC的周长．【详解】解：由作图得MN垂直平分AC，∴CE＝AE＝4cm，DA＝DC，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝13，∴AB+BD+DC＝13，即AB+BC＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+4+4＝21（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．6．（2022·河北石家庄·八年级期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．牢记相关的定义内容是解题的关键．7．（2021·宁夏中卫·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△绕点A逆时针旋转后与△ACP'重合，如果AP=3，那么线段PPA．6 B．3 C．32 D．【答案】C【分析】根据旋转的性质知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出，即△PAP'是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边P【详解】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△AC∴△ABP即线段AB旋转后到AC，∴旋转了90°，∴∠PAP'=∠∴PP故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理．掌握图形旋转前后的特征是解决本题的关键．8．（2022·浙江宁波·八年级期末）某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设∠BAC=θ0°<θ<90°，现把长度相等的小棒依次摆放在射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A1开始，依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（

A．15°＜θ＜18°B．15°＜θ≤18°C．15°≤θ＜18°D．15°≤θ≤18°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．【详解】解：∵A1A2=AA1，∴△A再根据三角形外交的性质，得∠A又∵小棒长度都相等，∴△A∴∠A∴∠B同理可得到∠A∠A∠A又∵只能摆放五根小棒，∴6θ≥90°5θ<90°解得，故选：C．【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．9．（2022·上海·八年级期末）甲、乙两人分别从距离目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2∶3，结果甲比乙提前20min到达目的地．设甲的速度为2xkm/h，则下面所列方程正确的是（

）A．＝＋2060 B．＝＋2060 C．63x＝102x＋2060 D．＝＋20【答案】B【分析】根据等量关系乙走10km用的时间＝甲走6km用的时间＋20min列方程即可．【详解】解：设甲的速度为2xkm/h，则乙的速度为3xkm/h．根据题意，得＝＋2060，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据关键描述语：甲比乙提前20min到达目的地，找到等量关系是解决问题的关键．10．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠D为锐角，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AF=FE．若AB=25，▱ABCD面积为300，则的长度为（

）A．30 B．15 C．40 D．20【答案】B【分析】由题意先根据ASA证明△ADF≌△ECF，推出S△ABE=S▱ABCD=300，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF⊥【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC即AD//BE，AB//CD，∴∠DAF=∠E．在△ADF与△ECF中，∠DAF＝∴△ADF≌△ECF（ASA），∴S△∴S△∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠DAF=∠E，∴∠BAE=∠E，∴BE=AB=25，∵AF=FE，∴BF⊥AE．设AF=x，BF=y，∵∠D为锐角，∴∠DAB=180°-∠D是钝角，∴∠D＜∠DAB，∴12∠ABC＜12∴∠ABF＜∠BAF，∴AF＜BF，x＜y．则有x2+y2＝2即AF=15．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出S△ABE=二、填空题（本题共8个小题，每题3分，共24分）11．（2021·山东烟台·期末）若代数式x2+mx+16通过变形可以写成(x+n)【答案】±8【分析】根据题意，利用完全平方公式配方，进而确定出m的值即可．【详解】解：根据题意得：x2+mx+16=(x+n)2，整理得：x2+mx+16=x2+2nx+n2，∴m=2n，n2=16，解得：n=±4，m=2n=±8，故答案为：±8．【点睛】此题考查了完全平方式，利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（2022·山东济南·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程组x−3y=4m+3x+5y=5的解满足x+y≤0，则整数m【答案】-2【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y≤0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．【详解】解：x−3y=4m+3由①+②得，2x+2y=4m+8，整理得，x+y=2m+4，由x+y≤0得2m+4≤0，解得：m≤−2，所以整数m的最大值是-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查解二元一次方程和一元一次不等式，熟练利用加减法解二元一次方程是解题的关键．13．（2022·河南省第二实验中学八年级期末）不等式组2x≤8−x3x+2>2【答案】-3【分析】分别解出两个不等式的解集，表示在数轴上，再找到符合条件的整数解，最后求和即可.【详解】解：解不等式组不等式组2x≤8−x3x+2>2x−1，得将解集表示在数轴上如图，符合条件的整数是：-3，-2，-1，0，1，2，-3-2-1+0+1+2=-3故答案为：-3【点睛】本题考查解不等式组的整数解、有理数的加法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.14．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=2，则PD=______．【答案】【分析】直接利用角平分线的性质求解即可．【详解】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，∴PC=PD，∵PC=2，∴PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．15．（2021·吉林长春·八年级期末）如图，△ABC的周长为13cm，根据图中尺规作图的痕迹，直线DE分别与BC、AC交于D、E两点，若AE=2cm，则△ABD的周长为______【答案】9【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．【详解】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC，∵AB+BC+AC=13，AC=2AE=4，∴AB+BC=9，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=9，故答案为：9．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，使得AD⊥BC，则∠CAE=__________度．【答案】50【分析】根据旋转前后的图形全等，三角形的内角和为180°解答；【详解】解：由旋转的性质可得：∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AD⊥BC，∠B=40°，∴∠BAD=50°，∴∠CAE=50°，故答案为：50；【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理；掌握旋转的性质是解题关键．17．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，连接AD，，直线AD，相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF的最大值为__________．【答案】【分析】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=10，由旋转可知：△DCE≌△ACB，从而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB=102，在△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值为【详解】解：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，∠ACB=90º，∵AC=2，BC=22，∴AB=AC由旋转可知：△DCE≌△ACB，∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB，∴∠DCA=∠BCE，∵∠ADC=12(180º-∠ACD)，∠BEC=12(180º-∠∴∠ADC=∠BEC，∵∠DGC=∠EGF，∴∠DCG=∠EFG=90º，∴∠AFB=90º，∵H是AB的中点，∴FH=12AB∵∠ACB=90º，∴CH=12AB∴FH=CH=12AB=10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值102∴线段CF的最大值为10.故答案为：10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.18．（2021·江西抚州·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B(−3，2)，点C(0，2)，点Р从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点О运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P,Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t=____________________时，以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形．【答案】1或3或13【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=QA时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0<t<32时，3-2t=t；若32<t<4，2t-3=t；若【详解】解：∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2），∴OA=4，BC=3，BC//x轴，∵PC//AQ∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，若0<t<3PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1;若32PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；若4<t<16PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=195若t>16综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．故答案为1或3或13【点睛】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键．三、解答题（本题共8个小题，19-24每题7分，25小题10分，26小题14分，共66分）19．（2021·重庆巫山·八年级期末）解方程组、不等式（组）：(1)3x−2y=192x+y=1

(2)x+2(3)x3(4)x−3【答案】(1)x=3y=−5；(2)x=3y=53；(3)x≥3【分析】（1）利用加减消元法进行解二元一次方程组即可；（2）先将两个二元一次方程进行化简，然后用加减消元法进行解二元一次方程组即可；（3）先去分母，然后再移项合并同类项，最后将系数化为1即可；（4）分别解两个一元一次不等式，然后找出两个解集的公共部分即可．【详解】(1)解：3x−2y=19①+②×2得：7x=21，解得：x=3，把x=3代入②得：2×3+y=1，解得：y=−5，∴方程组的解为x=3y=−5(2)x+2方程组可以化简为：2x+3y=11①①+②得：4x=12，解得：x=3，把x=3代入①得：2×3+3y=11，解得：y=5∴方程组的解为x=3y=(3)x去分母得：2x≥6−x+3，移项合并同类项可得：3x≥9，系数化为1得：x≥3；(4)x−3解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为：3＜x＜4．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式和不等式组，解不等式时，注意不等式两边同除以一个负数，不等号的方向要发生改变是解题的关键．22．（2022·全国·八年级期末）计算或化简求值.（1）计算：（x2＋2x＋3）（2x﹣5）；（2）因式分解：a4﹣1；（3）先化简，再求值：[（x﹣2y）2＋（x﹣2y）（x＋2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2【答案】(1)2x3−x2−4x−15；【分析】(1)利用多项式乘多项式的运算法则进行计算；(2)利用平方差公式进行分解，注意分解要彻底；(3)利用乘法公式和单项式乘多项式的运算法则，先计算括号里面的，然后再合并同类型进行化简，最后计算除法，再代入求值．【详解】解：(1)原式=2=2x(2)原式=(=(a(3)原式=(=(−2xy−2=−y−x，当时，原式=−(−2)−1．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，乘法公式的运用和多项式的混合运算是解题的关键．23．（2022·山东烟台·八年级期末）按要求计算。（1）先化简，再求值：，其中．（2）解方程：【答案】（1），；（2）无解．【分析】（1）先将括号里的式子进行通分运算，再进行因式分解，约分即可化简，再将的值代入化简之后的式子中进行运算即可求解；（2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再进行检验即可求解．【详解】（1）解：将代入得：（2）解：方程化为：方程两边同时乘以得：解得：检验：将代入∴是原方程的增根，原方程无解．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值和解分式方程，熟练掌握分式的加减乘除法则、因式分解和解分式方程的步骤是解答本题的关键．22．（2021·江苏淮安·八年级期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点、、在方格纸中小正方形的顶点上．(1)利用格点，按下列要求画图：①过点画直线的平行线；②过点画直线的垂线；③将绕点顺时针旋转90°得；(2)求的面积．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据所作图形求解即可．【详解】(1)解：∵AB为小正方形的对角线，∴CD为与AB同方向的正方形对角线，向下3格，再向左3格得点D，过C作射线CD，则CD∥AB；MN为另一方向的正方形对角线，则MN⊥CD，点B向左2格再向上2格得N，过B作直线BN，则MN⊥AB，将CB逆时针旋转90°，∵B是点C向左1,格，向下3格得到B，点C向上1格，向左3格的得B′，连结CB′，则CB′⊥CB，点A是点C向下2格得A，点C向左2格得A′连结CA′，A′B′，则△CA′B′是△ABC绕点C顺时针旋转90°的三角形如图所示即为所求；(2)解：由题意得．【点睛】本题主要考查了画平行线，画垂线，画旋转图形，求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．23．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如（图1），点为对角线上一点，连接，．（1）求证：；（2）如（图2），若，为线段上一点，且，连接，设，，求与的函数表达式；（3）在（2）的条件下，如（图3），点为线段上（不与点、点重合）任意一点，试判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析过程；（2）；（3）以、、为边的三角形是直角三角形【分析】（1）由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论；（2）由平行线的性质可求，，可得，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解；（3）分两种情况讨论，由勾股定理逆定理可求解．【详解】解：证明：（1）四边形是平行四边形，，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，；（3）设，当时，如图3，，，，，，，以、、为边的三角形是直角三角形；当时，过点作于，，，，，，，以、、为边的三角形是直角三角形；综上所述：以、、为边的三角形是直角三角形；【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．24．（2021·河北承德·八年级期末）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；（3）①w＝；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是元，元，根据“用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同”列出分式方程即可；（2）根据配套问题，设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含的代数式表示；（3）①根据“总费用不超过1800元”列不等式解答即可；②当时，，进而可得关于的函数关系式．【详解】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是元，元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，根据题意，得，则，答：购买水银体温计盒能和口罩刚好配套；（3）①由题意得：，，，此时，；若，则，综上所述：；②若该校八年级有900名学生，需要购买口罩：（支，水银体温计：（支，此时（盒，（盒，则（元．答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．【点睛】本题考查分式方程，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．25．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，在轴上，点在轴上方，边交轴于点，点为边上一点，连接、，已知，．(1)求证：；(2)如图，连接，当为直角三角形时，请直接写出点A的坐标；(3)如图，过点作，且，当点在延长线上时，求点A的坐标．【答案】(1)证明见解析；(2)A点的坐标为或；(3)【分析】（1）由等边三角形的性质证出，证明，由全等