高考重难点题型归纳32讲下册（学生版）

高考重难点题型32讲（下册）第17讲数列递推求通项15类 5【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型 5【题型二】通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型 5【题型三】通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型” 6【题型四】累积法 6【题型五】周期数列 7【题型六】构造二阶等比数列型（待定系数型） 7【题型七】分式递推 8【题型八】构造二阶等差数列 8【题型九】前n项积型 9【题型十】特殊通项1：“和”型求通项 9【题型十一】特殊数列2：正负相间讨论型 10【题型十二】特殊数列3：奇偶讨论型 10【题型十三】特殊数列4：“求和公式换元”型 11【题型十四】特殊数列5：因式分解型求通项 12【题型十五】特殊数列6：其他几类特殊数列求通项 12【题型十六】压轴小题 13【题型一】求和思维基础：由sn求an的关系 16【题型二】错位相消法三种思维求法 16【题型三】分组求和法 17【题型四】求和难点1：裂项相消基础思维 17【题型五】求和难点2：函数型裂项相消 18【题型六】求和难点3：指数型裂项相消 19【题型七】求和难点4：指数等差型裂项相消 19【题型八】求和难点5：奇偶正负型裂项相消 20【题型九】求和难点6：裂项为“和”型以相消 21【题型十】求和难点7：指数型裂项为“和”以相消 21【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项 22【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消 23【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项 23【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和 24【题型十五】求和难点12：分段数列求和 24第19讲基本不等式16类 27【题型一】基础型 27【题型二】“1”的代换型 28【题型三】“和”与“积”互消型 28【题型四】以分母为主元构造型 29【题型五】构造分母：待定系数 29【题型六】分子含参型：分离分子型 30【题型七】反解代入型:消元法 30【题型八】因式分解型 31【题型九】均值用两次 31【题型十】换元型 32【题型十一】“和”与所求和系数不一致型 32【题型十二】“均值裂项”凑配型 33【题型十三】整体化同乘方程型 33【题型十四】三元最值型 34【题型十五】恒成立求参数型 34【题型十六】超难压轴小题 35第20讲立体几何中的轨迹问题6类 37【题型一】由动点保持平行性求轨迹 37【题型二】动点保持垂直性求轨迹 38【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹 39【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹 41【题型五】投影求轨迹 42【题型六】翻折与动点求轨迹（难点） 43第21讲立体几何截面问题10类 48【题型一】做截面的基本功：补全截面方法 48【题型二】截面形状的判断 50【题型三】平行关系确定截面 51【题型四】垂直关系确定的截面 52【题型五】求截面周长 53【题型六】求截面面积 53【题型七】球截面 54【题型八】截面分体积 55【题型九】不规则截面（曲线形截面） 55【题型十】截面最值 57第22讲外接球10类 62【题型一】长方体模板1：三线垂直型 62【题型二】长方体模板2：构造长方体3个模型 63【题型三】直棱柱模板：线面垂直（重点） 64【题型四】垂面型 64【题型五】万能模板：外心垂线相交型（难点） 65【题型六】特殊几何体：正三棱锥和正四面体 66【题型七】四棱锥 67【题型八】组合体外接球 67【题型九】球定义法 68【题型十】圆锥与圆柱外接球 69第23讲立体几何求角度、距离9类 72【题型一】求异面直线所成的角 72【题型二】求直线和平面所成角 73【题型三】求二面角的平面角 74【题型四】翻折中的角度 76【题型五】三种角度之间的相互关系 77【题型六】三种角度比大小 78【题型七】球中的角度 79【题型八】压轴小题中的角度题型 80【题型九】距离 82第24讲立体几何大题15类 85【题型一】平行1：四边形法证线面平行 85【题型二】平行2：中位线法证线面平行 86【题型三】平行3：做平行平面法证线面平行 88【题型四】平行4：难题--线面探索型 89【题型五】平行5：证面面平行 90【题型六】平行6：难题--面面平行探索性题型 91【题型七】垂直1：线面垂直 92【题型八】垂直2：面面垂直 94【题型九】垂直3：难题--垂直探索性题型 95【题型十】垂直4：难题--翻折中的垂直 96【题型十一】体积1：常规求法和等体积转化型 98【题型十二】体积2：难题--多面体割补型 98【题型十三】体积3：难题两部分体积比 100【题型十四】体积4：难题动点型 101【题型十五】体积5：难题--最值型 103第25讲圆锥小题压轴9类 109【题型一】第一定义及其应用 110【题型二】第二定义及应用 110【题型三】第三定义及其应用 111【题型四】焦点三角形与离心率 112【题型五】定比分点 113【题型六】焦点三角形与四心 114【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质 114【题型八】切线与切点弦 115【题型九】多曲线 116第26讲轨迹求法8类 119【题型一】直接法求轨迹 119【题型二】相关点代入法 120【题型三】定义法 120【题型四】交轨法 121【题型五】参数法 122【题型六】立体几何中的轨迹 122【题型七】向量与轨迹 124【题型八】复数中的轨迹（新高考） 125第27讲圆锥曲线压轴大题10类 128【题型一】五个方程题型框架 128【题型二】直线设法 129【题型三】双变量直线核心理解 130【题型四】直线过定点 132【题型五】圆过定点 133【题型六】面积的几种求法 134【题型七】面积最值 135【题型八】定值 136【题型九】最值与范围 137【题型十】第六个方程的积累 138第28讲圆锥曲线点代入和非对称9类 142【题型一】基础型：韦达定理+点带入法 142【题型二】定比分点型：a=b 143【题型三】点带入型：抛物线独有的代入方法 144【题型四】非对称型：利用韦达定理构造“和积消去”型 145【题型五】切线 147【题型六】暴力计算型：求根公式 148【题型七】无韦达定理：点代入法 150【题型八】坐标运算 152【题型九】综合题 153第29讲离心率14类 158【题型一】判断横放竖放求参 158【题型二】直接法 159【题型三】补连另一焦点利用定义 160【题型四】余弦定理1：基础型 160【题型五】余弦定理2：勾股定理用两次 161【题型六】余弦定理3：余弦定理用两次 162【题型七】中点型 163【题型八】多曲线交点1：和抛物线 164【题型九】多曲线交点2：与圆 165【题型十】多曲线交点3：双曲线和椭圆 166【题型十一】双曲线特性1：渐近线 167【题型十二】双曲线特性2：内心 168【题型十三】难点1：借助向量构造 169【题型十四】难点2：小题大做型 170第30讲排列组合12类 174【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空 174【题型二】人坐座位模型2：染色（平面） 174【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）: 175【题型四】书架插书模型 177【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同 177【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同 178【题型七】相同元素排列模型1：数字化法 178【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等 180【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等 181【题型十】多事件限制重叠型 181【题型十一】多重限制分类讨论 182【题型十二】综合应用 183第31讲线性和非线性回归7类 188【题型一】线性回归 188【题型二】残差 190【题型三】剔除数据重新计算 192【题型四】非线性回归1：指数型 194【题型五】非线性回归2：反比例型 197【题型六】非线性回归3：对数型 200【题型七】非线性回归4：其他函数型 202第32讲概率压轴大题8类 212【题型一】马尔科夫链基础模型 212【题型二】马尔科夫链之传球模型 213【题型三】游走模式 215【题型四】药物试验模式 217【题型五】商场促销 219【题型六】证明概率、期望等不等式 221【题型七】摸球与射击模型 222【题型八】模拟压轴题选讲 224第17讲 数列递推求通项15类【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型【典例分析】已知数列an中，已知a12，，则a50等于（）A．2451B．2452C．2449D．2450【变式演练】1.已知数列a满足a2，an1a2n，则a（）n1n9A．510B．512C．1022D．10242.已知数列{an}满足a11，an1an+1nn11，n∈N*，求数列的通项公式an.3.数列中，1=0,+1− =+1+1且 =9，则=_________【题型二】通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型【典例分析】已知数列an满足：a113，(n1)an1nan2n1，nN*，则下列说法正确的是（）A．an1anB．an1anC．数列an的最小项为a3和a4D．数列an的最大项为a3和a4【变式演练】1.在数列a中，a12，an1anln11，则a（）n1nnA．a8B．2n1lnnC．1nlnnD．2nnlnn2.已知数列an满足a132，annn1an12nn.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，求满足Sn12的所有正整数n的取值集合.anan1*3.已知数列{an}满足a1＝1，an﹣an+1＝nN，则a10的值是（）n(n1)A．2B．1C．10D．532192【题型三】通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”【典例分析】已知数列a满足a1，n(n1)an1aaa，则数列a的通项公式a____．n12nn1nnn【变式演练】1.已知数列{a}满足nan1(n1)a1(nN*),a2，则a______.nn320212.已知数列an中，a12，nan1anan1，nN*，则ann的取值范围是_____________．【题型四】累积法【典例分析】已知数列an满足(n1)an1ann，a12，则a31的值为___，a2021的值为_____.【变式演练】1.已知数列{an}满足an0,a11,n(an12an)2an.a（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列3n5的前n项和Sn.n2.已知数列an的前n项和为Sn,a11,Snn2annN*，则数列an的通项公式为___________.3.数列a满足：a1，aaan2a，则数列a的通项公式a___________.n1212nnnn【题型五】周期数列【典例分析】已知数列{a}满足a0,aan3，则an1n13an120173A．0B．3C．3D．2【变式演练】1.数列{a}中，a1，a3，an1aan1(n2,nN*)，那么a2019n12nA．1B．2C．3D．-32.在数列an中，若a11,a22，并有an=an1an1对n1且nN*恒成立；则a2020a2021_______________．3.设数列an满足a12，且对任意正整数n，总有an111an2an成立，则数列an的前2019项的乘积为A．1B．1C．2D．.32【题型六】构造二阶等比数列型（待定系数型）【典例分析】已知数列{an}满足：an12ann1(nN*)，a13.（1）证明数列bnann(nN*)是等比数列，并求数列{an}的通项；2 c an1an {c} n {S} S 1.（）设n aa，数列n的前项和为n，求证：nnn1【变式演练】1.数列{an}满足a12,an12an1则a6A．33

B．32

C．31

D．342.已知数列an中，a11，an3an14（nN且n2），则数列an通项公式an为（

）A．3n1 B．3n12 C．3n2 D．3n【题型七】分式递推【典例分析】2an*2在数列{a}中，a1，an1(nN)，则是这个数列的第________________项．n1an22019【变式演练】1.数列an满足：a11，且n2an1n1(nN*,n2)，则数列an的通项公式是an=_____．anan132.已知在数列a中，a1，an1an，则数列a的通项公式为a______.n132annn3.已知数列an满足a12,12an1(n2)．3an1an11（1）求数列an的通项公式;（2）设数列a的前n项和为S,用数学归纳法证明:Sn1lnn3.22【题型八】构造二阶等差数列【典例分析】1n1an*数列an满足：a1，且an1nN，则数列an的前n项和sn__________.33ann【变式演练】1.数列an满足a11，an1(an1)an0（nN*），则a2018__________．2.数列{an}中，a1，an12a2n，则a1n17A．15216B．15217C．16216D．162173.如果数列an满足a12，a21，且an1ananan1n2,nN*，则a12（）an1an1A．1B．1C．1D．1126111222【题型九】前n项积型【典例分析】已知数列an的前n项积为Tn，若对n2，nN，都有Tn1Tn12Tn2成立，且a11，a22，则数列an的前10项和为____．【变式演练】1.若数列an的前n项的积为1，则an_____________.n12.设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a11，且a2020a20211，a20201a202110，下列结论正确的是（多选题）A．S2020S2021B．a2020a202210C．数列Tn无最大值D．T2020是数列Tn中的最大值3.已知各项均不为零的数列an的前n项积Tn满足Tn1anan1an1，则Tn________，数列n的前Tnn项和Sn________．【题型十】特殊通项1：“和”型求通项【典例分析】已知数列{an}满足an＋an＋1＝1(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()2A．5B．7C．9D．13222【变式演练】1.知数列{an}满足：an1an4n3(nN*)，且a1=2，则an________________．2.已知数列an的前n项和为Sn，若Sn1Sn2n2nN*，且a1028，则a2A．－5B．－10C．12D．163.若数列an满足an2an1k（k为常数），则称数列an为等比和数列，k称为公比和，已知数列an是以3为an1an公比和的等比和数列，其中a11，a22，则a2019______.【题型十一】特殊数列2：正负相间讨论型【典例分析】已知数列an中，a11，an1an(1)nnnN*，则a20___________.【变式演练】1.已知数列an满足a11，anan1(1)nn2n…2，nN*，则a100___________.2.数列{a}满足a(1)na3n1，前16项和为540，则a.nn2n13.已知数列an满足an11nann，则an的前40项和为__________．【题型十二】特殊数列3：奇偶讨论型【典例分析】已知数列an的前n项和为Sn，且a11，2Snan1an，则S20A．200B．210C．400D．410【变式演练】1.已知数列an的首项a12，且满足anan12nnN*，则a20=________．1a,若a2.在数列an中，a1aaN*，an1为偶数nN*，则下列结论成立的是（2nn）2019an,若an为奇数A．存在正整数a，使得an为常数列B．存在正整数a，使得an为单调数列C．对任意的正整数a，集合annN*为有限集D．存在正整数a，使得任意的m、nN*，当mn时，aman3.已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；(2)求数列{an}的通项公式．【题型十三】特殊数列4：“求和公式换元”型【典例分析】已知数列an满足a12a23a3...nann2nnN*.求数列an的通项公式.2【变式演练】1.若数列an满足a112,a12a23a3nann2an,则a2017______．2.已知数列an满足a12a23a3 nan2n13n，nN，则an_________________．3.在数列an中，a11,a12a23a3nann21an1nN*.则数列an的通项公式an_____．【题型十四】特殊数列5：因式分解型求通项【典例分析】已知正项数列an的前n项和Sn满足Sn2n2n1Snn2n=0nN,(1)求数列an的通项公式;【变式演练】1.设a是首项为1的正项数列，且n1a21na2a 1a0n1,2,3, ，则a____，n n n n n 4an_____.2.已知数列an的各项均为正数，且满足an2n1an2n2n0.（1）求a1，a2及an的通项公式；（2）求数列2an的前n项和Sn.【题型十五】特殊数列6：其他几类特殊数列求通项【典例分析】已知正项数列an满足a11，4an22anan21an1nN.1n（）证明：数列a1是等比数列；11112（2）证明：nN.a2aa4a33n1【变式演练】1.在数列an中，a11，a23，an23an12ann1.（1）证明an1ann为等比数列；（2）求an.2.已知an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4．（1）证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式；3.设正数数列an的前n项和为Sn，且Sn11nN*，试求an，并用数学归纳法证明你的结an2an论.【题型十六】压轴小题【典例分析】1.已如数列an，a11，且anan1nn2，则a1a2a3 a2n2a2n1a2n_____，an______.2.已知数列an与bn满足b aba 2n1,b31n1nN*，且a12，则n1n n n1 n 2a2n__________．3.已知数列a是共有k个项的有限数列，且满足an1an1n(n2,…,k-1)，若a24，a51，anak0，则k_.4.已知数列{a}满足a2，且an2nan1(n2,nN*)，则a__________.n1an1n1n5.已知数列an满足an0,2an1an12an11ananan1anan1，且a113，则数列an的通项公式an__________．【课后练习】11.在数列{an}中，a1=1，an1an1(n≥2)，求数列{an}的通项公式.n2.已知数列{a}中，a5，nan1(n1)an，则该数列的通项a_______.n112nn3n3.已知数列a中，a1，an11ann1，则a（）n121an2020A．3B．2C．1D．1234.已知数列{an}中，a11，an12an3．（1）若bnan3，证明：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若cnnbn，求数列cn的前n项和Sn．an*ana1an1(nN)a5.已知数列2a1__________．满足1，n，则206.已知数列an中，a11,a22且an22an12，则an__________．an12an7.若是正项递增等比数列， 表示其前n项之积，且，则当取最小值时，n的值为_________.8.数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为9.已知数列an满足3a132a233a33nan2n1，则an的通项公式______．aa2b2,b14.10.数列an,bn满足n1nn,且a1bn16an6bn(1)证明:an12an为等比数列;(2)求an,bn的通项.11.已知数列an满足a12,a210,an2an12an,nN.(1)证明:数列an1an是等比数列;(2)求数列an的通项公式;第18讲 数列求和15类【题型一】求和思维基础：由sn求an的关系【典例分析】已知数列{an}的前n项和Sn2n12．（1）求{an}的通项公式；（2）记bnna1，求{bn}的前n项和Tn．n【变式演练】1.数列an的前n项和为Snn2n1（nN*），求an2.已知数列a的前n项和为S ，且满足Sn2n.n n n 2（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn1，求数列bn的前n项和Tn.anan1【题型二】错位相消法三种思维求法【典例分析】（新课标1理数17题）设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{an}的公比；（2）若a11，求数列{nan}的前n项和．【变式演练】1.已知数列an中，a11，an0，前n项和为Sn，若anSnSn1（nN*，且n2）.（1）求数列an的通项公式；（2）记c 3an，求数列c的前n项和T.n 2n1 n n2.（系数为负的，增加了计算难度）已知数列an的前n项和为Sn，且an13Sn.（1）求数列an的通项公式；（2）若bnlog2an1，求数列anbn的前n项和Tn.【题型三】分组求和法【典例分析】已知数列an的前n项和Sn2n2n，数列bn满足4log2bnan3.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设cnbn4，求数列cn的前n项和Tn.anan1【变式演练】1.设数列an满足a12，an1an34nnN*；（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.2.已知数列an的前n项和为Sn，an13annN*，且-3，S4，9a3成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn1nan1，求数列bn的前n项和Tn.nn1【题型四】求和难点1：裂项相消基础思维【典例分析】设数列an满足：a11，且2anan1an1（n2），a3a412.（1）求an的通项公式：（2）求数列1的前n项和.anan2【变式演练】11n*n*1.数列an中，a1，an2an1nN，数列bn满足bn2annN．22（1）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设cnlog2n2，求数列的前n项和Tn．anccnn12.在等差数列an中，a18，a23a4．（1）求数列an的通项公式；（2）设bnn124annN*，Tn为数列bn的前n项和，若Tn95，求n的值．3.已知an 是公差不为零的等差数列，a37，且a2,a4,a9成等比数列．（1）求an的通项公式；1（2）设bn anan1，求数列bn的前n项和Sn.f（n）【题型五】求和难点2：形如 pq 型函数型裂项相消【典例分析】等差数列an满足a13，a21，a51，a95成等比数列，数列bn满足b11，bn1bnan.（Ⅰ）求数列an，bn的通项公式；an（Ⅱ）数列的前n项和为Tn，证明Tn1.bnbn1【变式演练】an22an1an*1.数列an满足a11，a23且nN.an2an1an1an（1）设bnan，证明：数列bn是等差数列；an1an（2）设c an12，求数列c的前n项和为S.n anan1 n n2、已知各项均为正数的数列an前n项和为Sn，且a11,an1SnSn1(nN).（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）设bna23，求数列bn的前n项和Tn.a21n1【题型六】求和难点3：指数型裂项相消【典例分析】设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an12Sn1，nN*.（1）求通项公式an；（2）设bnannN*，数列b的前n项和为T，求证：T1.an1an114nnn【变式演练】1.已知数列an的前n项和为Sn,且an12Sn对一切正整数n恒成立.（1）求当a1为何值时,数列an是等比数列,并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，记数列bnan的前n项和为Tn，求Tn.(an11)(an1)2、已知等比数列an的前n项和为Sn，且S430，a2，a4的等差中项为10.（1）求数列an的通项公式；（2）求T2222n.nS1S2S2S3SnSn1【题型七】求和难点4：指数等差型裂项相消【典例分析】已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2,nN*，数列bn满足：b11,b21，且33bn24bn1bn0, nN*．（1）求证：数列bn1bn是等比数列；【变式演练】1.已知数列an满足：a11，an1n；数列bn是等比数列，并满足b12，且b11，b4，b1ann15成等差数列.（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若数列b的前n项和是S，数列c满足cnanan1，求证：ccc1.an2Sn2nnn12n3、设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0．已知b11，b22b31，(a2a6)b41，a4b2a5a3．（Ⅰ）求数列{a}，{b}的通项公式；（Ⅱ）设cn11，Scccc(nN*)．nnnn(n2)123nnbb11（ⅰ）求Sn；（ⅱ）证明(nN*)．kSk2(n1)2n1k1【题型八】求和难点5：奇偶正负型裂项相消【典例分析】已知正项等差数列an满足：Sn2a13a23 an3，其中Sn是数列an的前n项和.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn1n12an14n2an1，证明：b1b2L bn22nn12.【变式演练】1.设数列an的前n项和为Sn，且Sn12anSnnN*.（1）求S1、S2、S3的值；（2）求出Sn及数列an的通项公式；（3）设bn1n1n12anan1nN*，求数列bn的前n项和为Tn.2、已知数列an满足a11，nN*，a112a21nanan11.（1）求数列an的通项公式；（2）若b1n12n1，记数列b的前n项和S，求S.n nnnanan1【题型九】求和难点6：裂项为“和”型以相消【典例分析】已知数列an中，an0，a11，前n项和为Sn，且(Sn2Sn12)(SnSn1)2SnSn1(n2).（1）求证：数列an是等差数列；（2）设bn1n2n1，求数列bn的前2n项和T2n.anan1【变式演练】1.已知正项数列{a}的前n项和为S，且S1a21a.nnn2n2n（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{b}满足bn(1)n2n1，求数列{b}的前n项和T.n2Snnn2、已知递增的等差数列an的前n项和为Sn，S11，S2，S31，S4成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）已知bn(1)n(4n4)，求数列bn的前2n项和T2n.an1an2【题型十】求和难点7：指数型裂项为“和”以相消【典例分析】已知数列{an}满足an12an20，且a18.（1）证明：数列{an2}为等比数列；（2）设b(1)nan，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的nN*，mTn恒成立，求m的(2n1)(2n11)n取值范围.【变式演练】1.已知数列an满足a12,an12an2n1.（1）设bn2ann，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn；1nn24n22n（3）记c，求数列cn的前n项和Tn.nanan1【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项【典例分析】已知数列an的前项和满足2SnnannnN，且a23.a1n2是常数数列；（1）求证：数列n1（2）设bn1，Tn为数列bn的前n项和，求使Tn9成立的最小正整数n的值.anan1an1an20【变式演练】1.如图所示，在fxx的图像下有一系列正三角形△AnAn1BnnN*，记AnAn1Bn的边长为an，32anbn.（1）求数列an，bn的通项公式；11.（2）若数列c满足cn，证明：2bn1bnbn1bn1bnbn1c2c3cn2n2、在①a2，a3，a44成等差数列；②S1，S22，S3成等差数列；③an1Sn2中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列an中，前n项和为Sn，已知a12，且______.（1）求数列an通项公式；（2）数列bn的通项公式bn2n，nN*，求数列bn的前n项和Tn.an1an11【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消【典例分析】已知数列a满足a1，an1an，nN.21an（1）若1.①求数列an的通项公式；②证明：对nN，a1a2a3a2a3a4 anan1an2【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项

n(n5).【典例分析】已知数列an的前n项和为Sn，a12，且对任意正整数n，都有an13Sn2，数列bn满足bnlog2an．（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求证：1115n1．b2b2b24n12n【变式演练】1.已知数列a的前n项和为S，a1，且当n2时，SnSn1.nn122Sn11（1）求数列an的通项公式；（2）若bn21nan，证明：b22b32b42 bn2123.1an1n1*2、数列an中，a11，a2，且nN,n2.annan411*1令fnnN,n2，将fn用n表示，并求an通项公式；na(n1)an1n2令Tna12a22an2，求证：Tn76.【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和【典例分析】已知Sn为数列an的前n项和，S210，Snnn11an12nN*.（1）求数列an的通项公式；an*1（2）设bnnN，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn1.2n(n1)!2【题型十五】求和难点12：分段数列求和【典例分析】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为正项等比数列，且a13，b11，b3S212，a5a32b2.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；2(n为奇数），设{cn}的前n项和为Tn，求T2n.（2）若cnSnb(n为偶数)n【变式演练】1.已知an为等差数列，bn为等比数列，a1b11,a55a4a3,b54b4b3．（Ⅰ）求an和bn的通项公式；（Ⅱ）记a的前n项和为S，求证：SS 2S21nN*； n n n3an2bn,n为奇数,anan2求数列cn的前2n项和．（Ⅲ）对任意的正整数n，设cnan1,n为偶数.bn12.设an是等差数列，bn是等比数列.已知a11，b12，b22a2，b32a32.（1）求an和bn的通项公式；n2k(kN)，设数列cn的前n项和为Sn，求S2.（2）数列cn满足cna,n2kn【课后练习】1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.2.已知等差数列an中，2a1a312，a12a21a4.（1）求数列an的通项公式；1112（2）记数列an的前n项和为Sn，证明：L.S1S2Sn312n3.正项数列a的前n项和Sn满足：S2(n2n1)S(n2n)0(1)求数列a的通项公式a；nnnnn(2)n(n2)2an2{bn}nTnnN*Tn64.令b，数列的前项和为，证明：对于任意的∈，都有＜54.已知等比数列an的前n项和为Sn（Sn0），满足S1，S2，S3成等差数列，且a1a2a3.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn3an，求数列bn的前n项和Tn.an1an115.已知正项数列an满足：a11，an21Sn1Sn，其中Sn是数列an的前n项和．（1）求数列an的通项公式；（）设ban1，证明：bbb1．a2an12an143n12n（1）求数列{},,46.已知等差数列的公差为2，前项和为，且12成等比数列．{}的通项公式；2（）令，求数列的前项和．17.已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与an的等差中项．（1）求证：数列Sn2为等差数列；（2）设b (1)n，求b的前100项和T ．n an n 1008.已知an是公比q1的等比数列，且满足a2a312，a1a432，数列bn满足：abab...ab32n14n6.n1n121n（1）求数列an和bn的通项公式；bn21...cn11（2）令cn，求证：c1c2.bbabann1nn1n9.已知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列．（1）求和：a1C20a2C21a3C22，a1C30a2C31a3C32a4C33；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；（3）设q1，Sn是等比数列an的前n项和，求：S1Cn0S2Cn1S3Cn2S4Cn3 (1)nSn1Cnn．10.已知正项等比数列an满足a12，a3a7322，数列bn的前n项和为Snn2n，（Ⅰ）求an与bn的通项公式；an,n2k1,kN（Ⅱ）设cnb,n2k,kN，求数列cn的前2n项和T2n．n第19讲 基本不等式16类【题型一】基础型【典例分析】在下列函数中,最小值是2的是x2B.yx2(x0)πA.yC.ysinxcosx,x0,D.y7x7x2xx12【变式演练】1.已知关于x的不等式x25ax2a20a0的解集为x1,x2，则x1x2a的最小值是______．x1x2b4a2.若a、b都是正数，则11的最小值为().abA.5B.7C.9D.133.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使a21x恒成立的概率是（）a21A．1B．1C．2D．33234【题型二】“1”的代换型【典例分析】2xy7，则x+3y的最小值为__________已知x，y均为正实数，且6xy2【变式演练】1.已知a0，b0，321，则2a3b的最小值为（）baA．20B．24C．25D．282.已知a0，b0，3a41，则13b的最小值为（）baA．13B．19C．21D．273.已知正实数a，b满足a＋b＝1，则2a212b24的最小值为_____a b【题型三】“和”与“积”互消型【典例分析】xy都是正数，且满足x2yxy30，则xy_________已知、的最大值为．【变式演练】1.x0，y0，且4x2yxy0，则2xy的最小值为（已知）A．16B．84C．12D．64222.已知x0,y0，且2x9y6xy9，则2x9y的最小值为___________．3.已知x，y0，x2yxy60，则（多选题）A．xy的最大值为2B．x2y的最小值为4C．xy的最小值为3D．xy的最小值为432【题型四】以分母为主元构造型【典例分析】已知非负数x,y满足xy1，则19的最小值是（）x1y2A．3B．4C．10D．16【变式演练】1.121已知x>1,y>0，且，则x2y1的最小值为（）x1yA．9B．10C．11D．7262.bab14ab已知正数a、满足，则的最小值是（）1a1bA．1B．2C．4D．83.41设xy0，则x的最小值为（）xyxy3A．3B．2C．4D．10232【题型五】构造分母：待定系数【典例分析】已知正实数x，y满足4x3y4，则11的最小值为（）2x13y231C．11A．2B．22D．284232322【变式演练】1.x、y满足111，则xy的最小值为（知正实数）x3y2xy32332222232A．2B．C．D．55552.已知a0，b0，a2b1，则11取到最小值为．3a4ba3b【题型六】分子含参型：分离分子型【典例分析】若4xy0，则yx的最小值为___________.4xyy【变式演练】1.a2b2ab1已知正实数a,b满足，则a212b2的最小值是（）13A．9B．7C．17D．43342.x,yR，且x2y1，则x22y2_________若x1y2的最小值为3.若正实数x，y满足2x+y=2，则4x2y2的最小值是_____．y12x2【题型七】反解代入型:消元法【典例分析】113已知正数a，b满足2，则a的最大值为______．abb1【变式演练】1.m1m2n3m2m已知＞，n＞0，且2，则的最小值为（）m14nA．9B．9C．3D．24222.若正数a，b满足ab2ab，则a31b11的最小值是______，此时b______.3.若正实数x,y满足1x1yyx4，则x1x1y的最小值为___________.【题型八】因式分解型【典例分析】非负实数x,y满足2xyx6y60，则x2y的最小值为___________.【变式演练】1.已知a,bR，且(ab)(a2b)ab9，则3a4b的最小值等于_______．2.已知x0,y0，且2x4yxy1，则x2y的最小值是___．3.已知, ∈ +，且(+)(+2)+ + =9，则3+4的最小值等于_______．【题型九】均值用两次【典例分析】a,b,c是不同时为0的实数，则abbc的最大值为（）a22b2c21A．1B．C．2D．34222【变式演练】1.x2,y1y12x1mA8设正实数x,y满足1，不等式4x2y2恒成立，则m的最大值为（）．B．16C．2D．4222.已知a0，b0，则a2b23的最小值为___________.a2b3.已知正实数a，b，c满足a24b23c2，则ac2cb的最小值为______.【题型十】换元型【典例分析】已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为A.2B.4C.32D.22【变,式演∈练R】2+2−321.若，且

=1 2，则

+2

的最小值为

_____2.已知2−2 3+52=1，, ∈ ，则2

+2的最小值为

____.3.已知x，y为正实数，则x2xy的最小值为_________.x2yx【题型十一】“和”与所求和系数不一致型【典例分析】1、已知a0，b0，且2abab1，则a2b的最小值为A．52B．8C．5D．962【变式演练】1.若正实数x，y满足2xy2，则4x2y2的最小值是__________．y12x22.已知正实数x，y，满足x2+y2+1x+1y274,求p15x43y的最小值3.已知正实数x，y，满足x+y+2x+6y8,求px2y的最小值【题型十二】“均值裂项”凑配型【典例分析】已知实数x，y，z不全为0，则wy22xz的最小值是___，最大值是___．x2y2z2【变式演练】1.不等式xyyz≤11aa2对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．x22y2z222.a8abc70,bcbc6a60，则实数a的取值范围是_________已知实数a,b,c满足222．accc3.已知a0，b0，c4，且ab2，则5的最小值为___________．abc2b2【题型十三】整体化同乘方程型【典例分析】已知实数x，y满足x1，y0且x4y1111.则11的最大值为．x1yx1y_____【变式演练】1.已知正数满足，则的最大值为________．2.已知x,y为正数，且x13y310，则x3y的最大值为．xy【题型十四】三元最值型【典例分析】已知实数a,b,c满足1a21b2c21，则的取值范围是44A．(,4]B．[4,4]C．[2,4]D．[1,4]【变式演练】1.bcRabacbc26a2abc若实数a、、，且2，则的最小值为A．1B．1C．22D．2255552.abc10abacbc_______abac2bc________已知a,b,c0，且222，则的最大值是，的最大值是．3.________.若正实数a,b,c满足aba2b,abca2bc，则c的最大值为【题型十五】恒成立求参数型【典例分析】对任意正实数a,b不等式ab2ab(1)ab恒成立，则（）ab2A．实数有最小值1B．实数有最大值1CD22【变式演练】1.x2,y1y12x1m设正实数x,y满足1，不等式4x2y2恒成立，则m的最大值为（）A．8B．16C．2D．422正数a,b满足ab1,若不等式1424x3对，恒成立，则实数m的取值范围2.xmx[3,0]a,bRab是（）A．3,B．,3C．,6D．6,3.设x,y都是正数，且使xykxy，求实数k的最大值.【题型十六】超难压轴小题【典例分析】设x,y为正实数，若4x2y2xy1则4x2y的取值范围是__________．11xy5y20x【变式演练】若x，y均为正实数，则x2y21的最小值为_______.1.(x2)y2.已知,∈[0,1]，则(,)=1++1++(1−)(1−)的最小值为________．已知a1,b2，则(ab)2的最小值为．3.__________a21b24【课后练习】1.bab1ab已知正实数a，满足4，则1的最小值为（）A．4B．6C．9D．102.已知a0，b0，且a2b3ab，则ab的最小值为（）842A．1B．C．D．29933.abab3ab已知a0,b0，且，则的最小值为（）A．4B．8C．7D．64.ab0ab2，则a21、设，且的最小值是（）a(ab)A．1 B．2 C．3 D．45.若实数x，y满足x＞y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为______．6.已知x,y(0,),122,则2xy的最小值为y1x7.已知正数a,b满足ab2，则a4b的最大值是（a1b1A．9B．11C．124若实数，满足x2y，且xy1，则x24y2的最小值是8.xyx2y

。）D．73_______________.9.已知>0,>0,>0,−+2=0，则y2的()xz8888A．最大值为1B．最小值为1C．最大值为D．最小值为10.知a0，b0，a(1a)(ab)2a3b3，则2a2＋2b2的最小值为____．a3b3ab1ab的最小值为____________．11.若a0,b0，则ab212.已知实数x,y满足4x9y1，则2x13y1的取值范围是___13.已知a2,b1，且满足aba2b1，则2ab的最小值为14.已如c2ab,ca,a0，则2abc的最小值为______.cax2y15.若实数x,y满足2x2xyy21，则5x22xy2y2的最大值为________.第20讲 立体几何中的轨迹问题6类【题型一】由动点保持平行性求轨迹【典例分析】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）A．aB．aC．3aD．2a3222【变式演练】1.在三棱台A1B1C1ABC中，点D在A1B1上，且AA1//BD，点M是三角形A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面BDM//平面A1ACC1，则动点M的轨迹是（）A．三角形A1B1C1边界的一部分B．一个点C．线段的一部分D．圆的一部分2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱AA1、A1D1的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（ ）A．1B．C．3D．252623.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点（含边界），若AP//平面BDEF，则Р点的轨迹长为（）A．1B．C．2D．222【题型二】动点保持垂直性求轨迹【典例分析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1QBC1，则Q点的轨迹是（）A．点B1B．线段B1CC．线段B1C1D．平面B1BCC1【变式演练】1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且保持APBD1，则动点P的轨迹为A．线段CB1B．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN．给出下列说法：①点P可以是棱BB1的中点；3②线段MP的最大值为4；③点P的轨迹是正方形；④点P轨迹的长度为25．其中所有正确说法的序号是________．3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A．A1F与D1E不可能平行B．A1F与BE是异面直线C．点F的轨迹是一条线段D．三棱锥FABD1的体积为定值【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹【典例分析】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（

）A．直线

B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线【变式演练】1.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为正方形ABCD内（包括边界）的一个动点，且满足MPMC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）A． B．C． D．2.如图，在棱长为4的正方体ABCDABCD中，E、F分别是AD、AD的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）A．43 B．23 C．6 D．33.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（ ）A．23 B．26 C．336 D．6【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹【典例分析】正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1B1的中点，P是边C1D1上的一个点（包括端点），Q是平面PMB1上一动点，满足直线MN 与直线AN夹角与直线MN与直线NQ的夹角相等，则点Q所在轨迹为（ ）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线【变式演练】1.如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是（ ）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支2.如图所示，ABCDA1B1C1D1为长方体，且AB=BC=2，AA1=4，点P为平面A1B1C1D1上一动点，若PBC1BC1C，则P点的轨迹为（）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD6，AA12，M为棱BC的中点，动点P满足APDCPM，则点P的轨迹与长方体的侧面DCC1D1的交线长等于___________.【题型五】投影求轨迹【典例分析】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占A1正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得AA1与小球相切．若A1A5，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）A．2B．4C．1D．23535【变式演练】1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE4．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率e__________．【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）【典例分析】如图，将四边形ABCD中， ADC沿着AC翻折到AD1C，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（ ）A．椭圆的一段

B．抛物线的一段C．双曲线的一段

D．一段圆弧【变式演练】1.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）A．6 B．3 C．23 D．π2.如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB2，ADBC1，ABCD，沿着AC把△ACD折起至△ACD1，使D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上．当边长CD变化时，点D1的轨迹长度为（ ）A．B．C．D．23463.已知矩形ABCD中，AB1，AE2，如图，将△ABE沿着BE进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是（ ）A．B．6πC．6πD．3π3π6186【课后练习】1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,M1,DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )A．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线B．若MN2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为C．若D1N与AB所成的角为60，则N的轨迹为双曲线D．若MN与平面ABCD所成的角为60，则N的轨迹为椭圆2.（多选题）（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）如图的正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，点E是棱DD1的中点，点F在正方体表面上运动.以下命题正确的有（ ）A．侧面CDD1C1上不存在点F，使得B1FCD1B．点D到面A1BE的距离与点C1到面A1BE的距离之比为13C．若点F满足B1F//平面A1BE，则动点F的轨迹长度为25D．若点F到点A的距离为2321，则动点F的轨迹长度为23π3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，点F在线段AD1上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ ）A．C1FCB1B．若FG//CD1，则点G在线段AC上C．当点F从A向D1运动时，三棱锥DBFC1的体积由小变大D．若GD1，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AA1，CC1的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，且满足NPMO，则下列说法正确的是（ ）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段NP的最大值为22C．点P的轨迹是平行四边形 D．点P轨迹的长度为125（.广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（ ）aaA．aB．C．aD．22226.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥SABC中，D为线段AB的中点，点E在SBC()内，则满足DE//平面SAC的点E的轨迹为（）△含边界位置A．线段SB，BC的中点连接而成的线段B．线段SB的中点与线段BC靠近点B的三等分点连接而成的线段C．线段BC的中点与线段SB靠近点B的三等分点连接而成的线段D．线段BC靠近点B的三等分点与线段SB靠近点B的三等分点连接而成的线段7.（辽宁省实验中学上学期联考）已知正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的棱长均为3，点P在棱AA1上运动，点Q在底面ABCDEF内运动，PQ2，R为PQ的中点，则动点R的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）A．2B．2C．2D．224181238.四棱锥POABC中，底面OABC是正方形，OPOA，OAOPa．D是棱OP上的一动点，E是正方OABC内一动点，DE的中点为Q，当DEa时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3，则a的值是（）A．23 B．26 C．336 D．69.棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在平面A1B1C1D1内运动，点B1到直线DP的距离为定值，若动．．点P的轨迹为椭圆，则此定值可能为（ ）．．A．3aB．aC．aD．6a362210.（上海市建平中学期中）已知菱形ABCD边长为2，ABC60，沿对角线AC折叠成三棱锥BACD，使得二面角BACD为60°，设E为BC的中点，F为三棱锥BACD