云南省巧家县第二中学2021届人教版高三数学专题复习：定比分点、平移、正余弦定理

高三数学复习之定比分点、平移、正余弦定理1．若，则称点分有向线段所成的比为λ。留意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当为外分点时λ为负，内分点时λ为正，为中点时λ=1，若起点(x1,y1)，终点(x2,y2)，则分点(x0,y0)的坐标为：x0=,y0=。由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中，若A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），则⊿ABC的重心G（，）。设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，，若，则λ的去值范围是：A．≤λ≤1B．1-≤λ≤1C．≤λ≤1+D．1-≤λ≤1+解析：思路一：，即P分有向线段所成的比为，由定比分点坐标公式得：P（1-λ，λ）,于是有=（1-λ，λ），=(-1,1),=（λ，-λ），=（λ-1，1-λ），∴λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ)2λ2-4λ+1≤01-≤λ≤1+。思路二：记P(x,y)，由得：(x-1,y)=(-λ,λ)x=1-λ,y=λ即P（1-λ，λ），以下同“思路一”。思路三：=(-1,1)，=（-λ，λ），=（λ，-λ），==（1-λ，λ），==（λ-1，1-λ），以下同“思路一”。已知⊿ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。解析：记G（x,y）,A(x0,y0),由重心公式得：x=,y=,于是有：x0=3x+1,y0=3y，而A点在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，∴（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化简得：。已知P是曲线C：y=xn(n∈N﹡)上异于原点的任意一点，过P的切线分别交X轴，Y轴于Q、R两点，且，求n的值。已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则 （） A． B． C． D．2.关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量(m,n)平移得到点M‘(x+m,y+n)；曲线C：f(x,y)=0按向量(m,n)平移得到曲线C/：f(x-m,y-n)=0。函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。将直线x-by+1=0按向量=（1，-1）平移后与圆x2-4x+y2+3=0相切，则k=。解析：思路一：直线：x-by+1=0按向量平移即“向右、向下各平移1个单位”，亦即：x变为x-1，y变为y+1，得直线：x-by-b=0，圆：(x-2)2+y2=1,直线与圆相切，则有：得b=。思路二：圆M：(x-2)2+y2=1按向量-平移（x变成x+1,y变成y-1）后得：圆M/：(x-1)2+(y-1)2=1,圆M/与直线：x-by+1=0相切，有得b=。思路三：圆心M（2，0）按向量-平移后得M/（1，1），M/到直线的距离为1。已知点A（1，2）、B（4，2），向量按=（1，3）平移后所得向量的坐标为（）（A）（3，0）（B）（4，3）（C）（-4，-3）（D）（-4，3）若把一个函数的图象按=（－，－2）平移后得到函数y=cosx的图象，则原图象的函数解析式为：A．y=cos(x+)－2；B．y=cos(x－)－2；C．y=cos(x+)+2；D．y=cos(x－)+2已知函数f(x)=-sinxcosx+3cos2x-,x∈R将f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式（其中A>0,0<<2）将y=f(x)的图象按向量平移后，所得到的图象关于原点对称，求使||得最小的向量。3．三角形内的三角函数问题中，既涉及到边又涉及到角时，往往需要进行边角转换，正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具。对a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的齐次式，可以直接用正弦定理转换；而对a、b、c平方的和差形式，常用余弦定理转换。⊿ABC的三内角的正弦值的比为4：5：6，则三角形的最大角为。解析：由正弦定理得：⊿ABC三边的比为4：5：6，不妨设a=4k,b=5k,c=6k,(k>0)则边c所对的角C为最大角，cosC=,∴C=arccos。在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=6c2,则的值为解析：对“切化弦”得：，再由正弦定理得，再对cosC使用余弦定理得：，将a2+b2=6c2,代入接得原式等于。若△ABC三边成等差数列，则B的范围是；若△ABC三边成等比数列，则B的范围是；若三角形三边a、b、c满足a2+c2=b2+ac，且a:c=:2，求角C的大小。已知⊿ABC中，sinA(sinB+cocB)=sinC,BC=3,则⊿ABC的周长的取值范围是。4．关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。ABCPO△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=1200，它所在平面外一点P到ABCPO解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7得：PO=7。已知⊙O的半径为R，若它的内接△ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,求（1）∠C的大小；（2）△ABC的面积的最大值。直线：过点，若可行域的外接圆直径为，则实数的值是______________5．正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。已知⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则的最大值为：A.2B.C.2D.4BCAD解析：=，这个形式很简洁联想到余弦定理：cosA=①BCAD而条件中的“高”简洁联想到面积，即②，将②代入①得：∴=2（cosA+sinA）=2sin(A+)，当A=时取得最大值2，故选A。如图，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1千米，从三点分别遥望塔M，在A处观察塔在北偏东450方向，在B处观察塔在正东方向，在C处观察塔在南偏东600方向，求塔到直路ABC的最短距离。解析：已知AB=BC=1，∠AMB=450，∠CMB=300，∴∠CMA=750易见⊿MBC与⊿MBA面积相等，∴AM450=CM300即CM=AM，记AM=，则CM=，在⊿MAC中，AC=2，由余弦定理得：4=32-22cos750，∴2=,记M到AC的距离为，则2sin750=2得=，∴塔到直路ABC的最短距离为。如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周长上任意一点，以AB为边作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.

一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发觉在其正东方向20的海面B处有一艘走私船正以的速度向北偏东300的方向逃跑，缉私艇以的速度沿的方向追击，才能最快截获走私船？若=40，则追击时间至少为