2025年菁优高考数学压轴训练1

Page2025年菁优高考数学压轴训练1一．选择题（共10小题）1．（2024•湖北模拟）已知集合，，，则下列表述正确的是A． B． C． D．2．（2024•湖北模拟）已知集合，，，，若定义集合运算：，，，则集合的所有元素之和为A．6 B．3 C．2 D．03．（2024•宁波二模）已知点集，，，．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点与不重合），使得线段上除了点，外没有中的点，则中的元素个数最小值是A．1 B．2 C．3 D．44．（2024•山东一模）用（A）表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于A．1 B．3 C．5 D．75．（2024•河南模拟）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为A．， B． C． D．，，6．（2024•重庆模拟）已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为A． B．，1， C．，1， D．，0，1，7．（2024•葫芦岛二模）已知集合，，则A．， B．， C． D．，8．（2024•盐湖区一模）已知集合，，，若，则的最大值是A．4 B．3 C．2 D．19．（2024•大理州二模）已知，其中，，则A．0 B．或 C． D．10．（2023•福建二模）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为A．2022 B．2023 C． D．二．多选题（共5小题）11．（2024•宜春模拟）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有A．， B．， C． D．12．（2024•河南模拟）对于的两个非空子集，，定义运算，，则A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域13．（2024•重庆模拟）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数，．若，，，则注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）．A． B． C． D．14．（2024•新乡二模）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是A． B． C． D．15．（2024•北京模拟）对于数集，，它们的积，，则A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 E．集合表示正方形区域（含边界）三．填空题（共5小题）16．（2024•三明模拟）记表示个元素的有限集，（E）表示非空数集中所有元素的和，若集合，则，若，则的最小值为．17．（2024•浙江模拟）设集合，2，3，4，5，6，7，8，9，，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2．则的子集中有个“翔集合”．18．（2024•朝阳区一模）设，为两个非空有限集合，定义其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，．已知物理，化学，生物，地理，物理，化学，思想政治，历史，地理，给出下列四个结论：①若，，则思想政治，历史，生物；②若，，，则地理，物理，化学；③若思想政治，物理，生物，则，，，；④若，，，，则思想政治，地理，化学．其中所有正确结论的序号是．19．（2024•如皋市模拟）设集合，，，0，，，2，，则集合满足条件：“”的元素个数为．20．（2023•徐汇区三模）对任意数集，，，满足表达式为且值域为的函数个数为．记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为．四．解答题（共5小题）21．（2024•顺义区一模）给定正整数，设集合，，，．若对任意，，2，，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．（Ⅰ）分别判断集合，2，与，0，1，是否具有性质；（Ⅱ）若集合，，具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．22．（2024•新县校级模拟）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，，，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和．（1）判断，，2，、，，0.5，，哪个是规范数集，并说明理由；（2）任取一个元规范数集，求证：；（3）当，，，遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值．注：、分别表示数集中的最小数与最大数．23．（2024•凌河区校级模拟）设，是两个非空集合，如果对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，并且不同的对应不同的；同时中的每一个元素，都有一个中的元素与它对应，则称为从集合到集合的一一对应，并称集合与等势，记作．若集合与之间不存在一一对应关系，则称与不等势，记作．例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此．（1）已知集合，，试判断是否成立？请说明理由；（2）证明：①；②．24．（2024•景德镇模拟）设，是非空集合，定义二元有序对集合，为和的笛卡尔积．若，则称是到的一个关系．当时，则称与是相关的，记作．已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，，有，则，则称是对称的；若，，，有，，则，则称是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作．（1）设，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，与，；（2）设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集，为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，，，2，，；（3）已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为．若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合．25．（2024•马鞍山模拟）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，，总有，，，则称是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②，且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．（1）求元素个数最小的数环；（2）证明：记，证明：是数域；（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由．

2025年菁优高考数学压轴训练1参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•湖北模拟）已知集合，，，则下列表述正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】判断两个集合的包含关系【专题】集合思想；逻辑推理；函数的性质及应用；综合法【分析】由集合间的关系判断即可得解．【解答】解：，，、，，、为奇数、为任意整数、．故选：．【点评】本题考查集合的关系的判断，集合的关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2．（2024•湖北模拟）已知集合，，，，若定义集合运算：，，，则集合的所有元素之和为A．6 B．3 C．2 D．0【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】根据的定义即可求出的元素，从而得解．【解答】解：因为，2，，所以集合的所有元素之和为6．故选：．【点评】本题考查了元素与集合的关系，的定义，是基础题．3．（2024•宁波二模）已知点集，，，．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点与不重合），使得线段上除了点，外没有中的点，则中的元素个数最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】定义法；集合思想；集合；数学运算【分析】根据整点，的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数，讨论只有一个点得到矛盾，进而有中元素不止一个，取，分析是否满足要求即可．【解答】解：对于整点，的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数，若只有一个点，取的点使，和，分别同奇偶，，有公因子2（或重合），不合题意，故中元素不止一个，令，，对于的点，当或3时，取；当或4时，取；由于、横坐标之差为，故内部无整点；当，，3，时，取，此时横坐标之差为2，纵坐标之差为奇数，二者互素；当，，时，取，此时横坐标之差为3，纵坐标之差为，，二者互素；综上，中的元素个数最小值是2．故选：．【点评】本题考查集合新定义，考查集合的表示方法，属于中档题．4．（2024•山东一模）用（A）表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于A．1 B．3 C．5 D．7【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合；计算题；转化思想；综合法；数学运算【分析】结合题意知（A），从而可得（B）或（B），即方程有1个根或3个根，而由得或，分类讨论；当时，求解集合，判断；当时，对应的根为0和，则（B），再按方程的解的情况分两类讨论，进一步检验即可．【解答】解：由题意知，（A），，，（B）或（B），即方程有1个根或3个根，若，则或，若，则或，当时，，（B），符合题意；当时，对应的根为0和，若（B），则有以下两种情况，①当有两个相等的实数根时，△，解得，当时，，，，（B），符合题意；当时，，，，（B），符合题意；②当有两个不相等的实数根时，则是的一个根，即，无解；综上所述，，，；故，故选：．【点评】本题考查了新定义的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题．5．（2024•河南模拟）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为A．， B． C． D．，，【答案】【考点】子集与真子集【专题】转化思想；计算题；综合法【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．【解答】解：若集合有15个真子集，则中含有4个元素，结合，可知，即，且区间，中含有4个整数，①当时，，的区间长度，此时，中不可能含有4个整数；②当时，，，，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；③当时，，的区间长度大于3，若，的区间长度，即．若是整数，则区间，中含有4个整数，根据，可知，，此时，，，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．若不是整数，则区间，中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；若时，，，，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；当时，，的区间长度，此时，中只能含有6、7、8、9这4个整数，故，即，结合可得．综上所述，或或，即实数的取值范围是，，．故选：．【点评】本题主要考查真子集的定义与性质、不等式的整数解的个数问题等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．6．（2024•重庆模拟）已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为A． B．，1， C．，1， D．，0，1，【答案】【考点】图表示交并补混合运算【专题】转化思想；集合；数学运算；综合法【分析】图中阴影部分表示集合，由此即可得．【解答】解：，图中阴影部分表示的集合为，1，．故选：．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．7．（2024•葫芦岛二模）已知集合，，则A．， B．， C． D．，【答案】【考点】求集合的交集【专题】数学运算；转化思想；转化法；集合【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，则，．故选：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．8．（2024•盐湖区一模）已知集合，，，若，则的最大值是A．4 B．3 C．2 D．1【答案】【考点】集合的包含关系的应用【专题】综合法；集合思想；集合；数学运算；计算题【分析】解出集合，由集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可得出实数的最大值．【解答】解：因为，由可得，解得，即，，又因为，，则，解得，故的最大值为2．故选：．【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于中档题．9．（2024•大理州二模）已知，其中，，则A．0 B．或 C． D．【答案】【考点】两个集合相等的应用【专题】数学运算；方程思想；转化法；集合【分析】根据集合相等及一元二次方程的解法可得出所求的参数的值．【解答】解：由题意知：为方程的根，当时，方程转化为，解得，所以；当时，有，此时．故选：．【点评】本题考查集合相等的概念及一元二次方程的解法，考查学生的数学运算能力，属中档题．10．（2023•福建二模）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为A．2022 B．2023 C． D．【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】综合法；数学运算；逻辑推理；直观想象；集合；转化思想【分析】根据题意，求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【解答】解：由题意可知：若，，则，，，均属于，而事实上，若，中，所以，故，中有正整数，从而中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，，，若，，则有，与矛盾，当时，，当时，则，所以，，所以，2，，，所以非空子集有个．故选：．【点评】本题考查了求非空子集的个数，难点在于求出，也考查了逻辑推理能力，属于难题．二．多选题（共5小题）11．（2024•宜春模拟）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有A．， B．， C． D．【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】综合法；综合题；集合；集合思想；数学运算【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．【解答】解：对于，对任意的，存在，使得，故正确；对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，使得，当时，该式不成立，故错误；对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，使得，故正确；对于，集合，，，当时，，时，使得不成立，故错误．故选：．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．12．（2024•河南模拟）对于的两个非空子集，，定义运算，，则A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域【答案】【考点】子集与真子集；交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；集合【分析】根据新定义逐个选项判断即可．【解答】解：对于选项，由题意知，，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故选项错误；对于选项，因为，，，又，，，，所以，则选项正确；对于选项，若，则，故选项正确；对于选项，若，集合只包含一个点，故选项错误．故选：．【点评】本题考查集合新定义，属于中档题．13．（2024•重庆模拟）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数，．若，，，则注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）．A． B． C． D．【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；转化思想；综合法；集合【分析】充分利用，以及的定义，推导出当时，，，均为0，当时，，，中至少一个为1，结合的定义化简求解．【解答】解：对于，，，，故错误；对于，若，则，，，此时满足，若且时，，，，若且时，，，，若且时，，，，综上可得，故正确；对于，，，，，，故正确；对于，，当时，，，中至少一个为1，，当时，，，均为0，，，故正确．故选：．【点评】本题考查集合中元素与集合的关系、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题．14．（2024•新乡二模）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是A． B． C． D．【答案】【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用【专题】综合题；集合；集合思想；综合法；数学运算【分析】根据集合代表的含义，结合直线过定点以及直线与圆的关系，圆与圆的关系，即可结合选项逐一求解．【解答】解：表示过定点，且斜率为的直线的点构成的集合，表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合，；表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，对于，集合，中的直线平行，故，故正确；对于，由于，故在圆内，故经过点的直线与圆相交，，故正确，对于，由于，故在圆外，此时不一定成立，故错误；对于，由于，故两圆相交，，错误．故选：．【点评】本题主要考查集合的交集，属于中档题．15．（2024•北京模拟）对于数集，，它们的积，，则A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 E．集合表示正方形区域（含边界）【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】数学运算；集合；集合思想；定义法【分析】根据新定义逐个选项判断即可．【解答】解：由题知，，表示数集中的数表示横坐标，数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故，错；若，则，正确；，，，，，，，则，正确；集合表示轴所在直线，正确；集合表示正方形区域（含边界），正确．故选：．【点评】本题考查集合新定义，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•三明模拟）记表示个元素的有限集，（E）表示非空数集中所有元素的和，若集合，则，7，8，，若，则的最小值为．【答案】，7，8，；21．【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，4，5，，，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出的范围，即可求得答案．【解答】解：当，时，表示3个元素的有限集，由可知，2，或，2，或，3，或，3，，故，7，8，；由题意知，4，5，，，故由可得，即，解得或（舍去），结合，故的最小值为21，故答案为：，7，8，；21．【点评】本题考查了集合新定义，属于中档题．17．（2024•浙江模拟）设集合，2，3，4，5，6，7，8，9，，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2．则的子集中有49个“翔集合”．【答案】49．【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合；对应思想；逻辑推理；数学运算；直观想象；综合法【分析】设满足题意性质的子集个数为，则有，，当时，分为有的子集和不含有的子集，分别求解，即可得答案．【解答】解：设集合，2，3，，中满足题设性质的子集个数为，则，，当时，可将满足题设性质的子集分为如下两类：一类是含有的子集，去掉后剩下小于单元子集或者是，2，3，，满足题设性质的子集，前者有个，后者有个；另一类是不含有的子集，此时恰好是，2，3，，满足题设性质的子集，有个，于是，又，，所以，，，，，．故答案为：49．【点评】本题属于新概念题，考查了求子集的个数，关键点在于理解“翔集合”的概念，属于中档题．18．（2024•朝阳区一模）设，为两个非空有限集合，定义其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，．已知物理，化学，生物，地理，物理，化学，思想政治，历史，地理，给出下列四个结论：①若，，则思想政治，历史，生物；②若，，，则地理，物理，化学；③若思想政治，物理，生物，则，，，；④若，，，，则思想政治，地理，化学．其中所有正确结论的序号是①③．【答案】①③．【考点】元素与集合关系的判断【专题】逻辑推理；推理和证明；整体思想；定义法【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例物理，地理，历史来说明．【解答】解：对于①：，所以，所以，又地理，物理，化学，所以思想政治，历史，生物，①正确；对于②：，，，即，所以，所以必为偶数，又，当时，，不符合，所以且，此时情况较多，比如物理，地理，生物，②错误；对于③：若思想政治，物理，生物，则，，，所以，，，，③正确；对于④：当物理，地理，历史时，，，，满足，，，，但不是思想政治，地理，化学，④错误．故答案为：①③．【点评】本题属于新定义试题，考查对于新定义的理解以及运算能力，属于中档题．19．（2024•如皋市模拟）设集合，，，0，，，2，，则集合满足条件：“”的元素个数为18．【考点】元素与集合关系的判断【专题】计算题；分类讨论；分类法；集合；排列组合【分析】由题意可知分与讨论，从而解得．【解答】解：，且，0，，当时，，，中两个0，一个2或；故共有种；当时，，，中一个0，另两个是2或；故共有种；故共有18个元素，故答案为：18．【点评】本题考查了排列组合的应用及分类讨论的思想应用．20．（2023•徐汇区三模）对任意数集，，，满足表达式为且值域为的函数个数为．记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为643．【答案】643．【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；综合法；逻辑推理；集合；集合思想【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合，进而求得答案作答．【解答】解：，，当或时，，当时，，即函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图，观察图象知，当，2，与图象有一个公共点时，相应的有1种取法，当，2，与图象有两个公共点时，相应的有种取法，当，2，与图象有三个公共点时，相应的有种取法，直线，，与函数图象的交点个数可能的取值为：，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，3，，，2，，，3，，，3，，对应的函数个数为1，3，7，，，，，，，集合中元素之和为：．故答案为：643．【点评】本题考查元素与集合的关系、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．四．解答题（共5小题）21．（2024•顺义区一模）给定正整数，设集合，，，．若对任意，，2，，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．（Ⅰ）分别判断集合，2，与，0，1，是否具有性质；（Ⅱ）若集合，，具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．【答案】（Ⅰ）集合，2，不具有性质，集合，0，1，具有性质．（Ⅱ）．（Ⅲ）或．【考点】元素与集合关系的判断；数列的应用【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】（Ⅰ）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足．（Ⅱ）根据性质的定义，首先确定，，，再讨论是否属于集合，0，，即可确定的取值，即可求解．（Ⅲ）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）集合，2，中的，2，，，2，，所以集合，2，不具有性质，集合，0，1，中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，0，1，，所以集合，0，1，具有性质；（Ⅱ）若集合，，具有性质，记，，，则，令，则，，，从而必有，，，不妨设，则，0，，且，令，，则，，0，，且，，0，，且，以下分类讨论：①当，0，时，若，此时，，0，满足性质；若，舍；若，无解；②当，0，时，则，，0，，注意且，可知无解；经检验，0，符合题意，综上；（Ⅲ）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，不妨设，，，，0，，，，，其中，，，根据题意，，，，，，且，，，，，，从而，，或，①当，，时，，，，并且，，，，，由上可得，，，，，并且，综上可知，，，0，，；②当，，时，同理可得，，0，，，，据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，分别是，，0，1，2，，，，0，，1，，，，0，，，，，，，0，1，，，，，0，，．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．22．（2024•新县校级模拟）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，，，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和．（1）判断，，2，、，，0.5，，哪个是规范数集，并说明理由；（2）任取一个元规范数集，求证：；（3）当，，，遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值．注：、分别表示数集中的最小数与最大数．【答案】（1）集合不是规范数集；集合是规范数集；（2）答案见解析；（3）．【考点】集合交并补混合关系的应用【专题】综合法；集合；新定义；分类讨论；数学运算；逻辑推理【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合，中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；（2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论，和，三种情况，结合取绝对值的方法即可证明；（3）利用规范数集的定义和（2）的结论即可得解．【解答】（1）解：对于集合，，2，，因为，所以集合不是规范数集；对于集合，，0.5，，，，，，，所以集合相伴数集，2，，即，故集合是规范数集．（2）证明：不妨设集合中的元素为，即，，因为为规范数集，则，，则，且，，使得，当时，则，当且仅当且时，等号成立；当时，，当且仅当且时，等号成立；当，时，，当且仅当时，等号成立；综上所述，．（3）解：不妨设，因为为规范数集，则，，则，且，，使得，所以对于，，，同样有，，则，由（2）的证明过程与结论，可得，，当且仅当时，等号成立，即，，，，所以范数，当且仅当时，等号成立，所以范数的最小值为．【点评】本题考查新定义的理解与运用，分类讨论的熟悉思想方法，属难题．23．（2024•凌河区校级模拟）设，是两个非空集合，如果对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，并且不同的对应不同的；同时中的每一个元素，都有一个中的元素与它对应，则称为从集合到集合的一一对应，并称集合与等势，记作．若集合与之间不存在一一对应关系，则称与不等势，记作．例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此．（1）已知集合，，试判断是否成立？请说明理由；（2）证明：①；②．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）证明见解析．【考点】元素与集合关系的判断【专题】分析法；数据分析；集合思想；新定义；集合【分析】（1）根据新定义判断即可；（2）①取特殊函数满足定义域为，值域为即可利用其证明；②设，，假设，利用反证法得证．【解答】解：（1）设，，，令则与存在一一对应，所以集合．（2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故．备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可，如：或等均可，②设，，假设，即存在对应关系为一一对应，对于集合中的元素，，，，至少存在一个与这三个集合中的某一个对应，所以集合中必存在．记，则，故，从而存在，使得（a）；若，则（a），矛盾；若，则（a），矛盾．因此，不存在到的一一对应，所以．【点评】本题考查集合的应用，考查理解能力和分析能力，属于难题．24．（2024•景德镇模拟）设，是非空集合，定义二元有序对集合，为和的笛卡尔积．若，则称是到的一个关系．当时，则称与是相关的，记作．已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，，有，则，则称是对称的；若，，，有，，则，则称是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作．（1）设，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，与，；（2）设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集，为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，，，2，，；（3）已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为．若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合．【答案】（1），3，4，5，，，2，4，；（2）证明见解答；（3）为奇数，是上的等价关系，证明见解答．【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；综合法；集合；整体思想；综合题【分析】（1）结合所给定义，分别求出，2，3时对应的的值，，5，6时对应的的值；（2）结合所给定义中的自反性、对称性与传递性，借助反证法可得：，，总有或，即可得证；（3）借助等差数列的性质计算可得数列为等差数列，结合题目所给条件借助反证法可得，结合所给定义及奇偶性的讨论即可得解．【解答】解：（1）由，，，2，，，，，，，，，，，，当时，有，3，4，6，当时，有，5，当时，有，有，3，4，5，，又，5，，，，当时，有，4，当时，有，5，当时，有，则，2，4，；（2）证明：因为是中的一个等价关系，由自反性可知，故不为空集．若，不妨假设，所以必有与，由自反性可知即，再由传递性可知．，则，而，即，于是由传递性有，故，所以．同理可证明，所以．综上所述，，，总有或．任取构成，又任取构成，再任取构成，，以此类推，因为是有限集合，结合上述结论可知必存在有限个元素，2，，，使得，其中；（3）证明：因为，，所以，故，，所以必存在．由题意可知当时，有，整理即：，将代入得：，即，所以数列为等差数列，设其公差为，当时，有，显然成立．当时，因为，，即数列不为常数列，则，所以，所以，即，由．而，因为，所以，而，显然此方程无解，所以，与题意矛盾，综上所述只有．所以．因为，由于数列不为常数列，当为偶数时，，当为奇数时，，故为奇数．所以，，而为奇数，所以与一奇一偶，所以，，，三奇一偶或两奇两偶，又，所以，，，不可能三奇一偶，故，均为奇数，，均为偶数或，均为偶数，，均为奇数．所以或，当时，，，所以是自反的；当，，将，与，取值对调，则，，所以是对称的；当，与，，即，其中，，为奇数，，，为偶数或，，为偶数，，，为奇数，所以，，所以是传递的．综上所述，是上的等价关系，其中．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于难题．25．（2024•马鞍山模拟）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，，总有，，，则称是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②，且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．（1）求元素个数最小的数环；（2）证明：记，证明：是数域；（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3）不一定是数域，理由见解析．【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】（1）根据数环的概念求解；（2）根据数域的概念证明；（3）不一定是数域，举反例说明即可．【解答】解：（1）是数环，所以集合非空，即至少含有一个复数，取，则，而显然是一个数环，故；（2）证明：显然，对任意，，，，，，所以，，所以是数环，又因为，故是一个数域；（3）不一定是数域，理由如下：取，，，则，但，故不是数域，而若，是数域，且，则是数域．【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．两个集合相等的应用【知识点的认识】对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，则实数n的值为（）解：由题意，得m+n＝0或，当m+n＝0时，，即m＝2n+4，故2n+4+n＝0，解得，故，所以B＝{4，0，2}，满足题意；当时，m+n＝2，解得n＝2，所以n＝2或．3．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．4．判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（）A．A＞BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A解：由题意可得，B⊆A．故选：D．5．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得，解得．综上所述，，即m的取值范围是．故答案为：．6．子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．7．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点