2025年菁优高考数学解密之空间向量及其运算

Page2025年菁优高考数学解密之空间向量及其运算一．选择题（共10小题）1．（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是A． B．，， C． D．，，2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为A．2 B． C．3 D．3．（2024•金安区校级模拟）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为A．24 B．25 C．48 D．504．（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为1的平行六面体中，为与交点，，则的长为A． B． C． D．5．（2024•高碑店市校级模拟）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是A． B． C．，4， D．6．（2024•昌黎县校级模拟）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则A． B．4 C． D．7．（2024•番禺区校级二模）已知空间向量，，，，则A．3 B． C． D．218．（2024•潮阳区校级三模）已知平行六面体中，，，，则A． B． C． D．9．（2024•襄城区校级模拟）已知直线过点，，，且方向向量为，则点，1，到的距离为A． B． C． D．10．（2024•浦东新区校级模拟）设，，，是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能二．多选题（共5小题）11．（2024•朝阳区校级模拟）已知正方体边长为2，动点满足，，，则下列说法正确的是A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当，，时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为12．（2024•烟台模拟）已知空间向量，，则A． B．在上的投影向量为，2， C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量13．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是A．对空间任意一点与不共线的三点，，，若，其中，，且，则，，，四点共面 B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，共线，则 D．若，共线，则一定存在实数使得14．（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若，，，则下列说法正确的是A． B． C． D．15．（2024•张家界二模）正六棱柱的所有棱长均为2，为棱上中点，记正六棱柱的12个顶点为，2，，，则的值可以是A．0 B． C．1 D．2三．填空题（共10小题）16．（2024•东湖区校级三模）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是．17．（2024•太原三模）已知直线过点，2，，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为．18．（2024•广州模拟）已知，，是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是．19．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体的棱长为2，若球与正四面体的每一条棱都相切，点为球面上的动点，且点在正四面体面的外部（含正四面体面表面）运动，则的取值范围为．20．（2024•黄浦区校级三模）已知空间向量，，共面，则实数．21．（2024•故城县校级模拟）已知向量，，，若，，三个向量共面，则．22．（2024•红河州模拟）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，，使成立，则的最小值为．23．（2024•拉萨一模）已知，，空间向量．若，则．24．（2023•翠屏区校级模拟）两个非零向量，，定义，．若，0，，，2，，则．25．（2023•浦东新区三模）空间向量，2，的单位向量的坐标是．

2025年菁优高考数学解密之空间向量及其运算参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是A． B．，， C． D．，，【答案】【考点】空间向量的投影向量与投影【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用【分析】根据投影向量的求解公式计算即可．【解答】解：，，故向量在向量上的投影向量是：．故选：．【点评】本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题．2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为A．2 B． C．3 D．【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值．【解答】解：设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，则．因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，当为内切球的直径时最长，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为．故选：．【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2024•金安区校级模拟）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为A．24 B．25 C．48 D．50【答案】【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】先由，再由，推出，，，再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果．【解答】解：法一：因为正四面体的棱长为6，所以，同理可得，，又因为以为球心且半径为1的球面上有两点，，，所以，由，则，，，，，，因为，所以，当且仅当取等号，此时，所以．故的最小值为50．法二：由于，所以点在平面内，所以，由于，所以，由于，所以，当点为点在平面内的射影时，最小，由于棱长为6，所以，，，所以．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．4．（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为1的平行六面体中，为与交点，，则的长为A． B． C． D．【答案】【考点】空间向量的数乘及线性运算【专题】整体思想；空间向量及应用；数学运算；综合法【分析】由题意可知，再利用，结合空间向量的数量积运算求解．【解答】解：由题意可知，，，，的长为．故选：．【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．5．（2024•高碑店市校级模拟）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是A． B． C．，4， D．【答案】【考点】空间向量的投影向量与投影【专题】空间向量及应用；数学运算；综合法；转化思想【分析】根据已知求出，即可根据投影向量的定义求出答案．【解答】解：因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量为：．故选：．【点评】本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题．6．（2024•昌黎县校级模拟）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则A． B．4 C． D．【答案】【考点】平面向量的概念与平面向量的模；空间向量及其线性运算【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；数学运算【分析】根据题中条件确定，设底面△的中心为，则平面，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案．【解答】解：由题意，，设底面△的中心为，连接，，则平面，又，，平面，故，，，则，，在△中，，则，又的方向与相同，所以．故选：．【点评】本题考查空间向量及其运算，考查三角形中的几何计算，属中档题．7．（2024•番禺区校级二模）已知空间向量，，，，则A．3 B． C． D．21【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】空间向量及应用；向量法；转化思想；数学运算【分析】根据空间向量数量积的性质及运算即可求解．【解答】解：由，可得，由，，，可得．故选：．【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属基础题．8．（2024•潮阳区校级三模）已知平行六面体中，，，，则A． B． C． D．【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】数学运算；综合法；整体思想；空间向量及应用【分析】利用空间向量的数量积运算求解．【解答】解：，所以，所以，．故选：．【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．9．（2024•襄城区校级模拟）已知直线过点，，，且方向向量为，则点，1，到的距离为A． B． C． D．【答案】【考点】点、线、面间的距离计算；空间向量的夹角与距离求解公式【专题】空间向量及应用；整体思想；计算题；数学运算；综合法【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解．【解答】解：点，，，点，1，，2，，，又直线的方向向量为，点，1，到的距离，故选：．【点评】本题主要考查了空间中点到直线的距离公式，属于基础题．10．（2024•浦东新区校级模拟）设，，，是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能【答案】【考点】空间向量及其线性运算【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案．【解答】解：设，，，，，，由得，所以，，，所以，所以满足条件的点的个数为1个．故选：．【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．二．多选题（共5小题）11．（2024•朝阳区校级模拟）已知正方体边长为2，动点满足，，，则下列说法正确的是A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当，，时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为【答案】【考点】空间向量及其线性运算【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；数学运算；综合法【分析】由时，得到为的中点，可判定错误；在上取点，得到求得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，可判定正确；证得平面，求得的最大值与最小值，可判定正确；求得点的轨迹在△内，根据题意得到点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，且，可判定错误．【解答】解：对于中，由于时，则，此时为的中点，在正方体中，由平面，所以直线不会垂直平面，所以错误；对于中，在上取点，使，在上取点，使，因为，即，可得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，连接交于，此时，，三点共线，取到最小值即的长，由于，所以，则，所以，所以，即此时的最小值为，所以正确；对于中，当，，时，可得点的轨迹在平面内（包括边界），在正方形中，可得，因为平面，平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，所以，又由，所以的取值范围为，所以正确；对于中，当时，可得点的轨迹在△内（包括边界），由于平面，平面，可得，又因为，，，平面，故平面，因为平面，可得，同理可证，又因为，，平面，所以平面，设与平面交于点，由于，△为边长为的正三角形，则点到平面的距离为，若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上，此时点到△三边的距离均为，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以错误．故选：．【点评】本题考查的知识点：正方体的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．12．（2024•烟台模拟）已知空间向量，，则A． B．在上的投影向量为，2， C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】空间向量及应用；向量法；数学运算；转化思想【分析】进行向量坐标的数量积运算即可判断的正误；根据投影向量的计算公式即可判断的正误；根据共面向量基本定理判断，是否共面，从而判断的正误；根据共线向量基本定理及单位向量的定义即可判断的正误．【解答】解：，，正确；，4，，2，，在上的投影向量为：，正确；若，即，0，，2，，，，，方程组无解，不共面，点不在平面内，错误；向量是单位向量，且，向量是与平行的一个单位向量，正确．故选：．【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量加法的几何意义，共面和共线向量基本定理，单位向量的定义，是基础题．13．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是A．对空间任意一点与不共线的三点，，，若，其中，，且，则，，，四点共面 B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，共线，则 D．若，共线，则一定存在实数使得【答案】【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算【专题】综合法；转化思想；计算题；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算判断、、、的结论．【解答】解：对于：由于，其中，，且，则，整理得：，故，所以，，，四点共面，故正确；对于：由于，，与的夹角为钝角，故，且，故的取值范围为，，，故错误；对于：若，共线且方向相反时，则，故错误；对于：若，共线，则一定存在实数使得，故错误．故选：．【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若，，，则下列说法正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算【专题】综合法；数学运算；整体思想；空间向量及应用【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可．【解答】解：由题意可知，，对于，，故正确；对于，又因为，所以，所以，，故错误；对于，，故错误；对于，，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算进而数量积运算，属于基础题．15．（2024•张家界二模）正六棱柱的所有棱长均为2，为棱上中点，记正六棱柱的12个顶点为，2，，，则的值可以是A．0 B． C．1 D．2【答案】【考点】空间向量的数量积运算；平面向量数量积的性质及其运算【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间向量及应用【分析】根据正棱柱的结构特征与向量数量积的运算性质，算出当在下底面的某个顶点处时，；当在上底面的某个顶点处时，，进而可得正确答案．【解答】解：若与重合，则；若与重合，则．若点在下底面的某个顶点处（不与重合）时，根据与底面垂直，可得，所以．；同理可得点在上底面的某个顶点处（不与重合）时，．综上所述，的值可以是或1．故选：．【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与运算性质、正棱柱的结构特征等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题．三．填空题（共10小题）16．（2024•东湖区校级三模）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是，0，．【答案】，0，．【考点】空间向量的数量积运算【专题】计算题；综合法；空间向量及应用；数学运算【分析】由向量在向量上的投影向量为，，计算即可求出答案．【解答】解：向量，，则，，，所以向量在向量上的投影向量为，，0，，0，，故答案为：，0，．【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．17．（2024•太原三模）已知直线过点，2，，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为．【答案】．【考点】空间向量及其线性运算【专题】数学运算；转化思想；空间向量及应用；转化法【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可．【解答】解：由题知，直线过点，2，，且直线的方向向量为，点，0，，所以，所以点，0，到的距离为．故答案为：．【点评】本题主要考查空间中点到直线距离公式，属于基础题．18．（2024•广州模拟）已知，，是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是，．【考点】空间向量的数量积运算【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间向量及应用【分析】根据正方体的性质可得，，结合夹角的定义可得，可得其最大值；根据数量积的运算可知，可得其最小值．【解答】解：正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长，则，，故，，而，，，故，建立如图所示空间直角坐标系，取，0，，当，重合为，1，时，则，1，，1，，取得最大值3；由对称性，设在下底面，，，，，由在下底面知，，，当且仅当，也在下底面时取等，此时，，共面，设中点为，则，，当且仅当，重合时取等，又因为，可得，例如，，0，，，1，，则，所以，不重合时，的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查空间向量与立体几何的综合应用，属中档题．19．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体的棱长为2，若球与正四面体的每一条棱都相切，点为球面上的动点，且点在正四面体面的外部（含正四面体面表面）运动，则的取值范围为．【答案】．【考点】空间向量的数量积运算【专题】数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球为正方体的内切球，设为的中点，结合向量数量积的运算律将转化为，结合四面体以及正方体和球的切接问题，求出的最大值以及最小值，即可求得答案．【解答】解：由题意知正四面体的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，正方体棱长为，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线，由于球与正四面体的每一条棱都相切，故球为正方体的内切球，球的直径为正方体的棱长，则半径；设为的中点，则，则，由于点在正四面体面的外部（含正四面体面表面）运动，故点位于的中点处时，最大，即为正方体内切球直径，此时取到最大值；在正四面体中，设为中点，连接，，则，，，，平面，则平面，而平面，故平面平面，则球的球心在平面内，则的内切圆即为球的一个小圆，设该圆与的交点为，则点和都位于球的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧所对弦长最短，即点位于点时，最小；设内切圆圆心为，则内切圆半径为，，则，中，，，故，在中，则，即的最小值为，故的最小值为，故的取值范围为，故答案为：．【点评】关键点睛：解答本题的关键是将正四面体补成为正方体，将球转化为正方体的内切球问题，结合多面体和球的切接问题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．20．（2024•黄浦区校级三模）已知空间向量，，共面，则实数3．【答案】3．【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的共线与共面【专题】数学运算；转化思想；空间向量及应用；转化法【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．【解答】解：，，共面，则存在实数，使得，，即，解得．故答案为：3．【点评】本题主要考查空间向量的共面定理，属于基础题．21．（2024•故城县校级模拟）已知向量，，，若，，三个向量共面，则．【答案】．【考点】空间向量的共线与共面【专题】数学运算；空间向量及应用；定义法；方程思想【分析】根据向量共面定理求解．【解答】解：由题意，设，即，5，，，，3，，，，所以解得，，．故答案为：．【点评】本题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题．22．（2024•红河州模拟）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，，使成立，则的最小值为．【答案】．【考点】空间向量的数量积运算【专题】空间向量及应用；转化思想；数学运算；综合法【分析】设，根据，得，再利用基本不等式求得最值．【解答】解：设，则由题意有，又，因为，所以，即，即，由，，可得：，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，考查基本不等式的应用，属中档题．23．（2024•拉萨一模）已知，，空间向量．若，则1．【答案】1．【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直【专题】平面向量及应用；数学运算；转化思想；计算题；逻辑推理；综合法【分析】根据，从而可求出，即可求解．【解答】解：因为，所以，即，得．故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：共线向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．24．（2023•翠屏区校级模拟）两个非零向量，，定义，．若，0，，，2，，则．【答案】．【考点】空间向量的数量积运算【专题】立体几何；整体思想；综合法；数学运算【分析】根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．【解答】解：设向量，的夹角为，，0，，，2，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，解答的关键是熟记向量的数量积公式，是新定义中的基础题．25．（2023•浦东新区三模）空间向量，2，的单位向量的坐标是．【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的共线与共面【专题】向量法；空间向量及应用；数学运算；计算题；转化思想【分析】得出，从而得出的单位向量坐标为：，然后进行向量坐标的数乘运算即可．【解答】解：，的单位向量的坐标为：．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．

考点卡片1．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．向量的模的大小，也就是的长度（或称模），记作||．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．2．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．3．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．【解题方法点拨】例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．4．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作；②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：（2）结合律：．3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量．1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，与的方向相同；②当λ＜0时，与的方向相反；③当λ＝0时，＝．④|λ|＝|λ|•||的长度是的长度的|λ|倍．2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）结合律：注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．5．空间向量的数乘及线性运算【知识点的认识】1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，与的方向相同；②当λ＜0时，与的方向相反；③当λ＝0时，＝．④|λ|＝|λ|•||的长度是的长度的|λ|倍．2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）结合律：注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．【解题方法点拨】﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．【命题方向】﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算．6．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．（2）共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．解答：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．解答：由共面向量定理，说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．7．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cos＜，＞（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：＝λ（）＝•（）（2）分配律：．4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则•＝﹣7分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），∴＝（1，﹣3，1），∴•＝1×0+2×