等差数列典型例题及分析(必看)

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1），3.通项公式：一般地，如果数列｛a｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来n表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.r5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果这三个数成等差数列，那么我们把叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列2）同一数列中可以出现多个相同的数3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.r2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.r3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：an=-Sn-1a(n>2),则a不用分段形式表示，切不可不求a而直接求a.一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,a）均匀排列在一条直线上，由两点确定n一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为n，若令AB＝a1则Sn＝An2+Bn.三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.错解1）a=3n+7;n不是它的通项.正解1）a=3n－2;nnnnnnn错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a＝S－S与的关系，没注意a=S.4n-3nn::S40=S30+d=100.错因：将等差数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列误解为Sm,S2m,S3m成等差数列.n7错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令a=7n+1;b=4n+27.错因：误认为nnnn:{a}前5项为非负，从第6项起为负，n:Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5)当n≥6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an|=错因：一、把n≤5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n≥由此可以确定求其前n项和的公式吗？2n+大2）前多少项之和的绝对值最小？nn+2n2nn2nn1n，求an及Sn。n2212)A．72B．60C．48D．36rn}是等差数列，且满足am=n,an=m(m≠n)，则am+n等于。1.等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同公比通常用字母q表示.2.等比中项：若a,G,b成等比数列，则称G为a和b的等比中项.EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up29(q),q)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up29(1),1)二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.r3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.的图象是函数x的图象上的一群孤立的点.三、经典例题导讲n}为。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列nnnn1n:{a}为等比数列，即B。n错因：忽略了:an=Sn-Sn-1中隐含条件n＞1.当n>1时，:an=Sn-Sn-1=aqn-1(q-1)n:{an}既不是等差数列，也不是等比数列，选C。:q2＝7，q=±7，错因：是将等比数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.la1(EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(1),1)-EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(q),q)10错解：a+a2+a3+…+an=1-an.错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.2+a3+…+an=1-an.求证：a,b,c成等比数列且公比为d。22(2)2设公比为q，则b=aq，c=aq2代入2q22)41n2[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的n112答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。1=-2,1=-2,1=5,1=5,且2a=-3an求证1）这个数列成等比数列1（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤1）阅读理解材料，且对材料作适当处理2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型3）讨论变量性增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式或解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公3.等差数列中,am=an+d,d=等比数列中，an=amqa1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；（n∈N+8.若一阶线性递推数列a=ka+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形nn－1式:an+于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲{ 2 错解：欲证＞logSn+12即证：log(S.S)＞logS2由对数函数的单调性，只需证(S.S)＜S2=-aEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(2),1)qn<0:S.S＜S2:原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.2即证：log(S.S)＞logS2由对数函数的单调性，只需证(S.S)＜S2由已知数列是由正数组成的等比数列，:q>0,a>0.=-aEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(2),1)qn<0:S.S＜S2:原不等式成立.[例2]一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）错解：因球每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形1成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，2共经过的路程应为前10项之和.12错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过223