【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八年级上学期数学期末压轴题综合训练试卷1（解析版）

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八年级上学期数学

期末压轴题综合训练试卷1

（解析版）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.

1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则4EFD=

（）

【解析】是等边三角形，

J.LACB=60°.

'：ZLACB=乙CGD+乙CDG,

C.2.CGD4-乙CDG=60°.

,:CG=CD,

:.乙CGD=Z.CDG=30°.

VZCDG=乙DFE+乙E,

."DFE+NE=30°.

,:DF=DE,

：.^DFE=ZE=15°.

故答案为：B.

2.已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点，过D作DEJ_BC于点E,过E作EFLAC于点

F,过F作FG_LAB于点G.当G与D重合时，AD的长是（）

【答案】C

【解析】设AD=x,

ABC是等边三角形，

，ZA=ZB=ZC=60°,

•••DELBC于点E,EFLAC于点F,FGJ_AB于点G,

，ZBDF=ZDEB=ZEFC=90°,

/.AF=2x,

CF=12-2x,

・・・CE=2CF=24-4x,

ABE=12-CE=4x-12,

ABD=2BE=8x-24,

VAD+BD=AB,

A8x-24+x=12,

.\x=4,

,AD=4.

故答案为：c.

3.如图，已知点K为直线I：y=2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至

点Ki,然后再将点KI向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2,若点K2也恰好落在直线1上，则

a,b应满足的关系是()

A.a+2b=4B.2a-b=4C.2a+b=4D.a+b=4

【答案】C

【解析】•・,点K为直线1：y=2x+4上一点，设K(x,2x+4),将点K向下平移2个单位，再向左平移

a个单位至点Ki.

/.Ki(x-a,2x+2),

将点K向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2,

K2(x-a+1,2x+2+b),

・・•点K2也恰好落在直线上，

2(x-a+1)+4=2x+2+b,

整理得：2a+b=4.

故答案为：C.

4.如图，直线y=ax+b与%轴交于点4(4,0),与直线y=mx交于点B(2,n),则关于%的

不等式组0<ax-b<mx的解为()

A.-4<%<-2B.x<—2C.%>4D.2<%<4

【答案】A

=ax+b

【解析】y=mx

，ax+b=mx

解得x=---

m-a

*.*直线y=ax+b与直线y=m%交于点B(2,n)

m-a=2

..(y=ax-b

・Iy=mx

/.ax-b=mx

b

解得％=--2

m—a

・・,直线y=ax-b与直线y=mx交点的横坐标为：・2

・・•直线y=ax+b与x轴交于点4(4,0)

又.••当y=0时,b

x=—a

bA

—a=4

・b

a=-4

■:直线y=ax-b与x轴交于点第。)

，直线y=ax-b与x轴交于点(—4,0)

故可得图象

由图象可知，0<ax—b<mx的解集是—4<久<—2.

故答案为：A

5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A,B的坐标分别是(2,0),(4,2),若在x轴下

方有一点P,使以O,A,P为顶点的三角形与AOAB全等，则满足条件的P点的坐标是()

A.(4,-2)B.(-4,-2)

C.(4,-2)或(-2,-2)D.(4,-2)或(-4,-2)

【答案】C

【解析】点P关于x轴的对称点为点B,

点P的坐标为(4,-2),

在4OAB和4OAPi中，

(OB=OPi

VAB=网，

OA=OA

OAB和△OAPi(SSS),

过点A作AP〃BO,过点O作OP〃BA,

则四边形PABO为平行四边形，

所以OP=AB,AP=OB,

在△0醺和4AOB中，

(OP=AB

'：］AP=OB，

InA—AH

△OAP^AAOB(SSS),

0—Xp=4-2>xP=-2,0—yP=2—0,yP——2，

点P(-2,-2),

•••满足条件的P点的坐标(-2,-2)或(4,-2).

故答案为：C.

6.如图，△ABC顶角为120。，AB=AC,EC=4,现将AABC折叠，使点B与点A重合,

折痕为DE,贝ijDE的长为()

A

D

B*C

E

A.1B.2C.V2D.y/3

【答案】A

【解析】•.•/BAC=120。，AB=AC,

.*.NB=NC=30°,

•.•将AABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,

.•.ZBAE=ZB=30°,EDIAB,

ZEAC=120°-30o=90°,

；EC=4,

：-AE=^EC=2,

在△ADE中，VZADE=90°,ZDAE=30°,

i

:.DE=^AE=1.

故答案为：A.

7.如图，已知长方形纸板的边长DE=10,EF=11,在纸板内部画RtAABC,并分别以三边为边长

向外作正方形，当边”/、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，贝的面积为（）

A.6B.导C.学D.3A/5

【答案】A'

【解析】延长CA与GF交于点N,延长CB与EF交于点P,

设AC=b,BC=a,则AB=Ja2+M，

•.•四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形,

；.AB=BJ,ZABJ=90°,

，ZABC+ZPBJ=90°=ZABC+ZBAC,

；./BAC=NJBP,

；NACB=NBPJ=90°,

/.△ABC^ABJK(AAS),

同理△ABC^ABJK^AJKF^AKAN,

/.AC=BP=JF=KN=NG=b,BC=PJ=FK=AN=PE=a,

•；DE=10,EF=11,

2b+a=10,2a+b=11,

/•a+b=7,

.二a2+b2=49-2ab,

・・•长方形DEFG的面积二十个小图形的面积和，

10x1l=3ab+1abx4+a2+b2+(Vcz2+/?2)2-

整理得：5ab+2(a2+b2)=110,

把a2+b2=49-2ab,代入得：5ab+2(49-2ab)=110,

/.ab=12,

/.△ABC的面积为凝=6.

故答案为：A.

8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DGLCE于点G,CD=AE.

若BD=6,CD=5,则ADCG的面积是()

A.10B.5C.号D.

【答案】B

【解析】：AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，

ABD为直角三角形，E为斜边AB上的中点，

；.AE=BE=DE,

VCD=AE,CD=5,

；.AB=2AE=10,

在RtAABD中，由勾股定理可得：AD=y/AB2-BD2，

，AD=8,

作EFLBC于F点，则EF为△ABD的中位线，

XVCD=ED,DGLCE于点G,

・'•EG=CG,S"DCG=3S“EDC，

1i

'：S&EDC=2CD,EF=）X5x4=10,

:，SADCG=2x10=5,

故答案为：B.

9.如图，在AABC中，乙4cB=90。，以AABC的各边为边分别作正方形BAHI,正方形BCFG

与正方形CADE.延长BG,FG分别交AD,DE于点K,J,连结DH,IJ.图中两块阴影部

分面积分别记为Si,S2,若S1：S2=1:4，四边形SBAHE=18，则四边形MBNJ的面积为（）

c

【解析】VS1：S2=1:4

・GJ1

••阮=2

・・•四边形BCFG与四边形CADE是正方形

：.BC=FC=FG=GB=2GJ

：.AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ

:乙4Q5=90°

・"B=y/AC2+BC2=713G/

9：AH=AB,Z-ADH=180°-Z,ADE=90°

:.HD=yjAH2-AD2=2GJ

二•四边形SBAHE=SAAHD+梯形SADEB=18

.1iii

・./DxHD+*（4D+BE）xDE=*x3GJx2G/+今（3G；+GJ）x3GJ=18

:・GJ=V2

：.AF=AC-FC=3GJ-2GJ=GJ=BE

^LCAB+Z.ABC=90°,Z.ABC+乙EBM=180°-Z.ABI=90°

:.乙CAB=（EBM,即乙FAN=^EBM

・・•四边形BCFG与四边形CADE是正方形

：.Z.AFN=180°一2CFN=90°,乙BEM=90°

（Z.AFN=乙BEM=90°

JAF=BE

k乙FAN=Z.EBM

：.△FAN=△EBM

,SAFAN=S〉EBM

；・SA4BC=四边形SCFNB+S^EBM

■:乙FCE=乙CEJ=乙EJF=Z.JFC=90°

・・・四边形CFJE是矩形

矩形ScFJE=四边形SMBNJ+四边形ScFNB+S^EBM=四边形SMBNJ+SAABC

­".四边形SMBNJ=矩形SCF]E-S^ABC=JEXCE-\ACxBC=2GJx3G7-1x3GJx2GJ=6

故答案为：B.

10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6,0）,B点坐标（3,-3）,动点P从

A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP,以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC,NPBC=90。，

连接OC,当OC=10时，点P的坐标为（）

0)C.(9,0)D.(10,0)

【解析】过点C作CEJ_y轴于点E,过点B作BDJ_OA于点D,延长DB交CE于点F,

/.OD=DA=BD=3,

•••△PBC为等腰直角三角形，

・・・PB=BC,NPBC=90。，

VZPBD+ZCBF=90°,ZCBF+ZBCF=90°,

AZPBD=ZBCF,

?.△PDB^ABFC(AAS),

・・・DP=BF,BD=CF=3,

・・・CE=EF+CF=6,

VOC=10,

・・・EO=yjoc2-CE2=V102-62=8，

・・・DF=8,

・・・BF=5,

ADP=5,

AOP=DP+OD=8,

：.P(8,0).

故答案为：B

二、最空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分)

要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.

11.已知A,B两地相距80km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩

托车.图中DE,OC分别表示甲、乙离开A地的路程s(km)与时间(h)的函数关系的图象，则甲与

乙的速度之差为______________,甲出发后经过小时追上乙.

【答案】苧km/h；0.8

【解析】由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km,

甲的速度是：120+(3-1)=60km/h,

乙的速度是：80^3=^km/h,

甲与乙的速度之差为60-^=l^km/h,

设甲出发后x小时追上乙，

60x=^(x+1),解得x=0.8,

故答案为：拳km/h,0.8.

12.如图，在△ABC中，乙4BC=z4CB,D为BC的中点，连接AD,E是AB上的一点，P是AD上

一点，连接EP、BP,AC=10,BC=12,则EP+BP的最小值是.

【解析】:△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中线,

...AD垂直平分BC,

.•.点B与点C关于AD对称，

BP=CP,

过点C作AB的垂线，垂足就是点E,CE与AD的交点即为点P,(点到直线之间，垂距离最短),

如图，此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长，

•.CD寺12=6,

,.AD=VT1C2-C£)2=8,

.,ZABC=ZACB,

.,.AB=AC=1(),

11

•LABC=2BC,AD=2A8,CE,

・f_BCAD_12x8_48

-"AB~=^L0~=~5f

••.BP+EP的最小值为萼，

故答案为：等.

13.如图，在Rtz\ABC中，ZACB=90°,D为AB上异于A,B的一点，AC/BC.

(1)若D为AB中点，且CD=2,则AB=

（2）当CD=1AB时，ZA=a,要使点D必为AB的中点，则a的取值范围是.

【答案】（1）4

（2）0<a<90°

【解析】（1）：小ABC为RMABC,D为AB中点，

，AB=2CD=4.

故答案为：4.

（2）VCD=1AB,AD=BD,

，AD=BD=CD,

.*.ZA=ZACD,ZB=ZCBD,

Z.ZACB=ZACD+ZCBD=90°,

.•./A为锐角，

即0<a<90°.

故答案为：0<a<90。.

14.如图，△ABC是等边三角形.在AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,且NABP=20。，AQ,

BP相交于点O,则NAQB=.

【答案】80°

【解析】•••△ABC是等边三角形，

/.AB=AC,ZBAP=ZACQ=60°,

在4BAPACQ中，

（AB=AC

,AP=CQ

?.△BAP^AACQ（SAS）,

.,.ZCAQ=ZABP=20°,

二ZAQB=ZC+ZCAQ=60°+20°=80°.

故答案为：80°.

15.如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y=-x+3,点A在线段MN上且满足AN

=2AM,B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标

【答案】（2,0）或（尤，（））或（一西，0）

【解析】如图，过点A作ACLOM,AD±ON,

令x=0,则y=3,

令y=0,则x=3,

AM(0,3),N(3,0),

/.OM=ON=3,

/.MN=3V2,ZM=45°,

・「AN=2AM,

JAM=V2,

/.AC=CM=1,

.\OC=2,

2

/.OA=7I2+2=V5，

当点B在x轴正半轴时，OB=OA=G点Bi(V5,0),

当点B在x轴负半轴时，OB=OA=%,点B2(-V5,0),

当AB=OA时，OD=J(⑹2_22=1,

.•.OB=2OD=2,

.,.点B3(2,0),

...点B的坐标为(2,0)或(遮，0)或(-V5,0).

16.如图，等腰aBAC中，NBAC=120。，BC=6,P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则

【解析】作点C关于AB的对称点D,交BA的延长线于点E,过点D作DMLBC于点M,交AB

于点P1

D

则PM+CP=PM+DP=DM的值最小,

VAB=AC,ZBAC=120°,

/.ZB=30°,

.*.CE=/BC=3,ZDCM=60°,

；.CD=2CE=6,ZD=30°,

；.CM=1CD=3,

.\DM=V62-32=3V3-

APM+CP的最小值为3V3.

故答案为：3^3.

三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20、21题每题8分，第22、23、24题每题

12分，共72分）

解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.

17.目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接到批量生产疫苗任务，要求

5天内加工完成22万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工过程中停工一

段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲，乙两车间各

白生产疫苗y（万支）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产疫苗W（万

支）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：

（1）甲车间每天生产疫苗万支，第一天甲、乙两车间共生产疫苗万支，a

（2）当x=3时，求甲、乙车间生产的疫苗数（万支）之差y「y2；

（3）若5.5万支疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰

好装满第三辆货车？

【答案】（1）2；3.5；1.5

（2）解：当2W%W5时，设为=依+力，过点（2,1.5）,（5,12）

代入得.件+。=1・5解得.（k=3.5

八付，l5k+b=12，肿付.U=-5,5

・•・y2—3.5%—5.5

y1—y2=2%—3.5%+5.5=—1.5%+5.5=1

（3）解：由图2得，当x=2时，生产的疫苗有22-16.5=5.5万只，

当2sxs5时,每天生产的疫苗有:16.5+（5・2）=5.5万只,

...加工2天装满第一辆货车，再加工1天恰好装满第三辆货车.

【解析】（1）由图1得，甲车间每天生产疫苗（22-12）+5=2（万只），

由图2得，a=22-18.5-2xl=1.5,

，第一天甲、乙两车间共生产疫苗3.5万只，

故答案为:2；3.5；1.5；

18.12月，浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练.为配合演练顺利开展，某校需要购

进A、B两款体温枪共100只.已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温

枪的价格比B型高50元，B型体'温枪的数量是A型的两倍.

（1）求每只A型、B型体温枪的价格；

（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只，这100只体

温枪的总费用为y元.

①求y关于x的函数关系式；

6）某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10<a<100,

且a为正整数），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这

100只体温枪总费用最小.

【答案】（1）解：设每只A型温枪的价格为m元,则每只B型温枪的价格为（m-50）元,

依题意得:2x10001500

m50'

解得：m=200,

经检验，m=200是原方程的解，且符合题意，

.•.m-50=150,

答：每只A型温枪的价格为200元，则每只B型温枪的价格为150元；

(2)解：①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪(100-x)只，

依题意得：y=200x+150(100-x)=50x+15000,

•••购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，

.,.100-x<2x,且100-x>0,

二苧Wx<100,

Ay关于x的函数关系式为y=50x+15000(拳<x<1()0)；

②依题意得：y=(200-a)x+150(100-x)=(50-a)x+15000(202<x<50),

当10<a<50时，即50-a>0,y随x的增加而增加，

.•.当x=34时,y有最小值，最小值为丫=(50-a)x34+15000=16700-34a；

当正整数a=49时，最小值为y=16700-34x49=15304；

当a=50时,y的值为15000；

当50<a<100时，即50-a<0,y随x的增加而减少，

.•.当x=50时,y有最小值，最小值为丫=(50-a)x50+15000=17500-50a；

V-50<0,

,当正整数a=99,最小值为y=17500-50x99=12550；

V12500<15000<15304,

.•.当正整数a=99时，该校购进这100只体温枪总费用最小.

19.某校八年级举行英语演讲比赛，购买A,B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12

元和8元.根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本.

(1)设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元，写出w(元)关于n(本)的函数关系式；

(2)若所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的1,但又不少于B笔记本数量的1,

购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？,

(3)若学校根据实际除了A,B两种笔记本外，还需一种单价为10元的C笔记本，若购买的总

本数不变，C笔记本的数量是B笔记本的数量的2倍，A笔记本的数量不少于B笔记本的数量，试设

计一种符合上述条件购买方案，且使所需费用最少.

【答案】(1)解：由题意可知：w=12n+8(30-n),

，w=4n+240

(2)解：:A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的!,但又不少于B笔记本数量的|.

tJn<5(30-n)，解得5外学，

(几25(30—n)

；n是整数，

/.5<n<13(n是整数).

Vw=4n+240中k=4>0,

Aw随n的增大而增大，

当n=5时，w取到最小值为260元.

(3)解：设B笔记本数量为x,则C笔记本数量为2x,A笔记本数量为(30-3x)

/.w=12(30-3x)+8x+20x=360-8x,；.w随x的增大而减少

VA笔记本的数量不少于B笔记本的数量.

.'.xS30-3x,；.xW7.5,：x为整数，故当x=7时，w最小为304元,

即A笔记本9本，B笔记本7本，C笔记本14本时花费最少.

A

c

20.

图①图②

(1)如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分zBAD,CEJLAB于点E,zfi+AADC=

180°,求证：BC=CD；

琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F,使得4。=AF,连结CF,先证明△AFC得到DC=

FC

,再证明C8=CF,从而得出结论；

宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG,由角平分线的性质得出CG=CE,再证明△

GDC%EBC,从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.

(2)如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB,AC上的点，AD平分"DE,且"DE=120°.

求证：BE=CF.

【答案】(1)证明：琮琮同学：如图①a,在AB上取点F,使AF=AD,连接CF,

VAC平分NBAD,

.*.ZDAC=ZFAC,

在4ADC和4AFC中，

-AD=AF

乙DAC=Z.FAC,

24c=AC

ADC^AAFC(SAS),

ADC=FC,ZCDA=ZCFA,

又・・•NB+NADC=180°,ZCFE+ZAFC=180°,

AZB=ZCFE,

ACB=CF,

又・・・DC=FC,

ACB=DC.

宸宸同学：如图①b,过点CG,AD交AD的延长线于G.

；AC平分NDAB,CG±AG,CE±AB,

，CG=CE,

VZB+ZADC=180°,ZCDG+ZADC=180°,

JNCDG=NB,

在aCGD和^CEB中，

2G=心CEB

乙CGD—乙B,

CG=CE

?.△CGD^ACEB(AAS),

，CB二CD；

(2)证明：如图②，在DE上截取DH=DF,连接AH,

图②

VAD平分NEDF,

AZEDA=ZHDA,

在^ADF和^ADH中，

AD=AD

乙ADF=^ADH,

DF=DH

.*.△ADF^AADH(SAS),

AAH=AF,ZAFD=ZAHD,

・・・△ABC是等边三角形，

・・・AB=AC,NBAG60。，

AZBAC+ZEDF=180°,

AZAED+ZAFD=180°,

又・.,ZAHD+ZAHE=180°,

AZAHE=ZAEH,

.\AE=AH,

AAE=AF,

/.AB-AE=AC-AF,

ABE=CF.

21.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(0,6).

(1)如图1,过A,B两点作直线AB,求直线AB的解析式；

(2)如图2,点C在x轴负半轴上，C(-6,0),点P为直线BC上一点，若S4ABC=2SAABP,

求满足条件的点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点E在直线BC上，点F在y轴上，当△AEF为一个等腰直角三角形时,

请你直接写出E点坐标.

【答案】(1)解：设直线AB的解析式为y=kx+b,

把点A(2,0),B(0,6)代入y=kx+b,得『九：1,。，

解得忆力，

・•・直线AB的解析式为y=-3x+6；

(2)解：lBC：y=x+6

①当点P在线段BC上时，

***SAABC—2SAABP

ASAABC=2SAACP

・•・yP：yB=1：2

,:如=6

**yp~3

AP(-3,3)

②当点P在线段CB延长线上时，

同理：S^ABC=|sAj4Cp，则yp：yB=3：2

•*»yp=9

・・・P(3,9)

(3)解：(-3,3)或(-4,2)或(-8,-2)

【解析】(3)设点E的坐标为(m,m+6),

如图，当NAFE=90。，AE=AF时，

则^EFN名△AFO,

AFN=OA=2,EN=OF,

-m=2+m+6,

••m=-4,

；・m+6=2,

：.E(-4,2),

/.EN=EM,

.•.-m=m+6,

/.m=-3，

m+6=3,

：.E(-3,3),

如图,当NEAF=90。，AE=AF时

则4EMA^AAOF,

/.EM=OA,

••-m-6=2f

/.m=-8,

m+6=-2,

：.E(-8,-2),

...点E的坐标为(-4,2)或(-3,3)或(-8,-2).

22.如图

(1)如图①，在^ABC中，口为^ABC外一点，若AC平分/BAD,CE1_AB于点E,ZB+ZADC

=180°,求证：BC=CD；

琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F,使得AD=AF,连结CF,先证明△ADC空AAFC得到

DC=FC,再证明CB=CF,从而得出结论；

宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG,由角平分线的性质得出CG=CE,再证明

AGDC^AEBC,从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.

(2)如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、AC上的点，AD平分/FDE,且

NFDE=120°.求证：BE=CF.

VAC平分NBAD,

.,.ZDAC=ZFAC,

：AD=AF,NDAC=/FAC,AC=AC(公共边)

ADCAFC(SAS),

，DC=FC,

ZCDA=ZCFA,

又：NB+/ADC=180°,/CFE+/AFC=180°,

；./B=/CFE,

.\CB=CF,

又：DC=FC,

；.BC=CD.

(2)证明：如图(2),在DE上取点G,使得DG=DF,

：AD平分NFDE,且NFDE=120°

ZADE=ZADF=60°,AD=AD

?.△ADG^AADF(SAS)

；.AG=AF,ZAGD=ZAFD

,.,ZAGD+ZADG+ZGAD=ZAFD+ZADF+ZDAF=180°

Z.ZAFD+ZAED=180。而/AGD+ZAGE=180°

工ZAED=ZAGE

；.AG=AE=AF,

AAB-AE=AC-AF

；.BE=CF

23.如图，长方形ABCD,点E是AD上的一点，将△ABE沿BE折叠后得到△OBE,且点O在长方形48co

（1）如图1,若乙4BE=30。，求四边形力BOE的面积.

（2）如图2,延长B0交DC于F,连结EF,将△DEF沿EF折叠，当点D的对称点恰好为点O时，

求四边形4BFE的面积.

（3）如图3,在（2）的条件下，延长E0交BC于点G,连结尸G,将△CG尸沿GF折叠，当点C的对

称点恰好为点O时.，求四边形BEFG的面积.

【答案】（1）解：•.•四边形ABCD是长方形，AB=4,BC=4也

乙4=="=90°,CD=AB=4,AD=BC=4V2

•.•将△ABE沿BE折叠后得到△OBE

・•.△OBE=AABE

在RtAABE中,/.ABE=30°

.-.AE=ABE

AB=y/BE2-AE2=V3AE

・••心4X%等

114V3873

S^ABE=2AB,AE=2x4x―-

~3~

二四边形4B0E的面积=SMBE+SA°BE=2S-BE=2x萼=警;

(2)解：由(1)知△OBE/^ABE,

.•.OE=AE,OB=AB=4,

又•.•将△DEF沿EF折叠，点D的对称点恰好点O,

/.△OEF^ADEF,

，OE=DE,OF=DF,

/.OE=AE=DE=1AD=2V2,

设OF=DF=x,则FC=DC-DF=4-x,BF=BO+OF=4+x,

在R3BCF中，根据勾股定理得BC=BC2fFc2,