2023北京西城区初三二模数学试题及参考答案

试题PAGE1试题2023北京西城初三二模数学考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.如图是某几何体的视图，则该几何体是（）A.长方体 B.三棱柱 C.圆锥 D.正方体2.据报道，至2022年，我国已经建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，将1040000000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3.方程组的解是（）A. B. C. D.4.比大且比小的整数可以是（）A.1 B.3 C.5 D.75.如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交点，若，则的大小是（）A. B. C. D.6.一个不透明的口袋中有3个红球和1个白球，这四个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是()A. B. C. D.7.实数a在数轴上的位置如图所示，则a，，，中最大的是()A.a B. C. D.8.下面的三个问题中都有两个变量：①京沪铁路全程为，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；②已知北京市的总面积为，人均占有面积y(单位：/人)与全市总人口x(单位：人)；③某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了．油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．10.已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围为______．11.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，设线段与轴正方向的夹角为，则___________．12.用一组a,b的值说明命题：“若a2=b2，则a=b”是错误的，这组值可以是a=_________.，b=______.13.某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，下表是这三名队员在相同条件下10次射击成绩的数据：甲乙丙平均数8.598.8方差0.250.230.27如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是___________．14.如图，则___________．15.如图，在中，，，，则的值是___________．16.下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序)名次12345678910区县ABCDEFGHIJ变化情况↑一↓一↑↓↑↓↓一三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.解不等式组，并写出它的所有正整数解．19.已知：如图1，线段a，b．求作：矩形ABCD，使得，．作法：如图2．1．在直线上截取．2．过点B作直线，在直线m上截取．3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D．(点D与点C在直线的同侧)4．连接．则四边形为所求的矩形．根据上面设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明：证明：∵，，∴四边形是平行四边形(___________)．(填推理的依据)∵直线，∴___________，∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)．20.已知，求代数式的值．21.关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．22.如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若，，求的长．23.为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）；b．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在这一组的是：84858586868889c．B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a中频数分布直方图；（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是___________；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是___________；（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．24.如图，以菱形的边为直径作交于点，连接交于点是上的一点，且，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线．25.在平面直角坐标系中，函数的图像与一次函数的图像交于点．（1）求，的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点是射线上一点，过点分别作轴，轴的垂线交函数的图像于点，．将线段，和函数的图像在点，之间的部分所围成的区域（不含边界）记为．利用函数图像解决下列问题：①若点的横坐标是，直接写出区域内整点个数；②若区域内恰有个整点，直接写出点的横坐标的取值范围．26.在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，．（1）当时，比较，的大小关系，并说明理由；（2）若存在，，满足，求m的取值范围．27.如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．（1）以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接．①依题意补全图形，并证明；②求证：；（2）若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系．28.在平面直角坐标系中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2，（1）若点M的坐标为，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆O的特征值为___________；（2）直线分别与x，y轴交于点A，B，若线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得，直接写出点T的横坐标t的取值范围．

参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．【详解】由几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为俯视图是三角形，故该几何体是三棱柱．故选：B．2.【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：将1040000000用科学记数法表示为：．故选：C．，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【分析】根据加减消元法进行求解即可．【详解】解：，得，解得，把代入①得，解得，∴方程组的解为：故选：C【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．4.【答案】B【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．【详解】解：，比大且比小的整数有：2和3，故选：B．5.【答案】D【分析】首先根据角平分线计算出，再根据两直线平行内错角相等得出的大小即可．【详解】解：，平分，，，，故选：．6.【答案】C【分析】先利用树状图法得出两次摸球所有可能的结果，进而利用概率的计算公式求解即可．【详解】画树状图得所有可能出现的结果数为∶共有12种等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的有6种情况，两次摸出小球的颜色相同的概率是：．故选C．7.【答案】D【分析】由数轴可知，移项和两边除以a分别得到，，两边同时乘以a得到，从而得到，由此选出答案．【详解】解：由数轴可知：，∴，．又∵，∴两边乘以得：，∴，∴a，，，中，最大的是．故选：D8.【答案】A【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：，符合题意；②由人均面积等于总面积除以总人口得：，即，符合题意；③由加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了，可知每公里油耗为：，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：，不符合题意；综上分析可知，变量y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．故选：A．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【分析】根据分式有意义的条件即分母不为0可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：，∴，故答案为：．10.【答案】【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限，可以得到，然后求解即可．【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，，解得：，故答案为：．11.【答案】##【分析】取点，则轴于B，根据点A的坐标求出和，根据锐角正切函数的定义求出即可．【详解】取点，则轴于B，∵点A的坐标为(3，4)，∴，．故答案为：．12.【答案】①.1②.【分析】通过a取1，b取-1可说明命题“若a2=b2，则a=b”是错误的．【详解】解：当a=1，b=-1时，满足a2=b2，但a≠b．故命题错误.

故答案为1，-1（答案不唯一）．13.【答案】乙【分析】根据方差越小越稳定和平均数决策即可．【详解】解：∵乙的平均数最大，方差最小，即乙的成绩好且状态稳定，∴这名队员应是乙．故答案是：乙．14.【答案】【分析】延长相交于点由三角形内角和定理求出由对顶角相等可得从而可得结论．【详解】解：延长相交于点如图，∴又∴又∴又∴故答案为：．15.【答案】【分析】先证明，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．16.【答案】①.C②.E、H、I或H、E、I．(二者之一即可)【分析】①C地名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C；②F地名次下降，上一年度F地排第五，G地名次上升，上一年度G地排第九，E地本年度排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可．【详解】解：①∵A地名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B地名次无变化，∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名；同理，C地名次下降，只能是第一名下降而来的；∴上一年度排名第1的区县是C，上一年度排名前四名依次是；②F地名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F地排第五，同理，G地名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G地排第九，∵E地本年度排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，∴E地上一年度可能是排第六或者第七(i)若E地上一年度是排第六，即E地和F地的排名交换，∴H地上一年度是排第七，I地上一年度是排第八，∴上一年度排名从前往后依次是：；(ii)若E地上一年度是排第七，∵H地本年度排第八，名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，∴H地上一年度是排第六，I地上一年度是排第八∴上一年度排名从前往后依次是：；∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是或．故答案为：C；或(二者之一即可)．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】1【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．【详解】解：．18.【答案】【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答．【详解】解：，由①得：，由②得：，∴原不等式的解集为；∴原不等式所有正整数解为：；19.【答案】（1）见解析（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）按照步骤操作即可；（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.【小问1详解】解：补全图形如下：【小问2详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∵直线，∴，∴四边形ABCD是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)．故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．20.【答案】化简为：，结果值为：5【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案．【详解】解：，．21.【答案】，，【分析】先根据根的判别式的意义得到，解不等式，从而得到正整数m的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】根据题意得解得所以正整数m的值为1代入原方程得即∴，22.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；（2）如图，过点O作于点F，欲求，只需在直角中求得的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．【小问1详解】∵四边形是矩形，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴；【小问2详解】如图，过点O作于点F，∵四边形是矩形，∴点O是的中点，∴∴∴，∴点是的中点，∴是的中位线，∴又∵四边形是平行四边形，∴．∴．在中，由勾股定理可得：．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键．23.【答案】（1）见解析（2）88.5分；94分（3）950份【分析】（1）用20减去第一、二、四、五组的频数即可得到第三组（）的频数，进而可补全频数分布直方图；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）用样本百分比估计总体数量即可．【小问1详解】第三组（）的频数为：，补全图形如下：【小问2详解】∵20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是第10和11个，∴A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数在这一组内的第6和7个数据的平均数，即；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中出现次数最多的是94分，出现4次，故B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中众数是94分，故答案为：88.5分；94分；【小问3详解】（份）答：估计这两个小区的居委会一共需要准备950份小奖品24.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点是的中点即可解答；（2）根据菱形的性质及全等三角形的判定得到，再根据全等三角形的性质得到，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答．【小问1详解】解：连接，∵为的直径，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴点是的中点，∴；【小问2详解】解：连接，∵四边形是菱形，∴，，∴在和，，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴在四边形中，，∴，∴，∴是的切线．25.【答案】（1），（2）①；②【分析】（1）先根据直线的解析式可求的值，从而可得点的坐标，再将点坐标代入反比例函数的解析式可得的值；（2）①先求出点坐标，再根据反比例函数的解析式求出点、坐标，然后结合函数图像、整点的定义即可得；②由图可知点不可能在点下方，故点在点上方，结合函数图像列出不等式组求解即可．【小问1详解】解：函数的图像与一次函数的图像交于点，，即，，将代入反比例函数中，解得：，故答案为：，；【小问2详解】①由（1）可知反比例函数解析式为，点是射线上一点，的横坐标是，将代入，得将代入，得点与轴，轴的垂线交函数的图像于点，，，，如图：结合函数图像可知，区域内有个整数点；②区域内恰有个整点，由图可知点只能位于的上方如图：如图，当的纵坐标为时，横坐标为，结合图像可知，当时，区域内有个整数点．26.【答案】（1），理由见解析（2）【解析】【分析】（1）当时，，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据，的大小判断与对称轴的距离，结合，即可得出答案；（2）根据题意可知满足，即与关于对称轴对称，当时，则的最小值要比时的对称点0小，的最大值要比时的对称点3大，解不等式组即可．【小问1详解】；理由：∵，∴抛物线的对称轴是直线当时，∵，，对称轴是直线∴比离对称轴近∵，抛物线开口向下∴【小问2详解】∵∴与关于对称轴对称∵∴即解得27.【答案】（1）①补全图形见解析，证明见解析；②见解析（2）【解析】【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明，推出，然后结合旋转的性质可得结论；②根据对称的性质可证明，可得结论；（2）连接，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得是等边三角形，可得，再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论．【小问1详解】①依题意补全图形如图所示：证明：∵点F是的中点，∴，∵点C关于点F的对称点为G，∴，又∵，∴，∴，由旋转的性质可得：，∴；②证明：∵点C关于点F的对称点为G，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：连接，如图，由题意得，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵点F是的中点，∴，∴，∵，，∴；∴与的数量关系是．28.【答案】（1），3（2）b的取值范围是或；（3）【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的