高考数学二轮复习隐零点问题课件

2025高考数学二轮复习隐零点问题导函数的零点在很多情况下是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”,既能确定其存在,但又无法用显性的代数方法进行表达.这类问题的解题思路是对导函数的零点设而不求,通过整体代换和过渡,再结合题目条件解决问题.角度一不含参函数的隐零点问题例1(2024山东威海二模)已知函数f(x)=lnx-ax+1.(1)求f(x)的极值;(2)证明:lnx+x+1≤xex.角度二含参函数的隐零点问题例2(2024江苏模拟预测)已知函数f(x)=ax-elogax-e,其中a>1.(1)若a=e,证明f(x)≥0;(2)讨论f(x)的极值点的个数.(1)证明

当a=e时,f(x)=ex-eln

x-e,f'(x)=ex-,f'(1)=0,f(1)=0,又易知f'(x)在(0,+∞)内为增函数,所以当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,从而f(x)≥f(1)=0.设g(x)=xaxln2a-e,a>1,显然函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,g(x)与f'(x)同号,①当a>e时,g(0)=-e<0,g(1)=aln2a-e>0,所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点x0,且x∈(0,x0),g(x)<0,x∈(x0,+∞),g(x)>0,故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;②当a=e时,由(1)知,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;且当x∈(0,x1)时,g(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,g(x)>0,故f(x)在(0,x1)内单调递减,在(x1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.综上所述,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.针对训练1.(2024浙江杭州模拟)已知函数f(x)=(x+a)lnx-x2.(1)若f(x)在其定义域内单调,求实数a的取值范围;(2)若a=2,f(x)的极大值为M,证明:M>0.当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,F(x)单调递减,故F(x)max=F(1)=0,故F(x)≤0,即ln

x≤x-1,又x>0,∴g(x)≤a,∵函数f(x)在其定义域内单调,∴依题知f'(x)≤0在其定义域内恒成立,∴g(x)≤0在其定义域内恒成立,∴a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].∵在(0,x1)上,h(x)>0,即f'(x)>0,在(x1,+∞)上,h(x)<0,即f'(x)<0,∴f(x)在(0,x1)内单调递增,在(x1,+∞)内单调递减,2.(2024北京朝阳一模)已知函数f(x)=(1-ax)ex(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若关于x的不等式f(x)>a(1-x)无整数解,求a的取值范围.设t(x)=ex+x-2,t'(x)=ex+1>0,所以t(x)单调递增,且t(0)=-1<0,t(1)=e-1>0,所以存在x0∈(0,1),使t(x0)=0,即h'(x0)=0,当x∈(-∞,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,设φ(x)=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1,当x>0时,