2024-2025学年浙江省温州市高二上学期第四次联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年浙江省温州市高二上学期第四次联考数学检测试题一、单选题（共40分）1．直线与直线的夹角为（

）A． B． C． D．2．若平面，的法向量分别为，，则（

）A． B． C．，相交但不垂直 D．以上均不正确3．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（

）A． B． C． D．4．复数是纯虚数的充分不必要条件是（

）A．且 B． C．且 D．5．抛掷一枚骰子5次，记录每次骰子出现的点数，已知这些点数的平均数为2且出现点数6，则这些点数的方差为（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若不平行于，则在内不存在，使得平行于B．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于C．若不平行于，则在内不存在，使得平行于D．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于7．均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（共20分）9．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A、B，满足，，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．A与B互斥 D．A与B相互独立10．下列结论错误的是（

）A．过点，的直线的倾斜角为45°B．已知点，点在轴上，则的最小值为C．直线与直线之间的距离为D．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是11．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是（

）A．为定值3B．面积的最大值为C．的取值范围是D．若为中点，则不可能等于12．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面ABCD是等腰梯形，若，E，F，G分别是AB，CD，AP的中点，，则下列结论成立的是（

）A．B．C．∠FEG即二面角的平面角D．异面直线DA与BP所成角是∠GEC三、填空题（共20分）13．已知直线和直线，若，则14．过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为．15．体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，，则球的表面积为．16．在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足，（为坐标原点），则实数的取值范围是四、解答题（共70分）17．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成，，，五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75．（1）求x，y的值，并求出甲的测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率．18．已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.19．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．20．在锐角△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c已知．(1)求角C的大小；(2)求的取值范围．21．三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为．(1)求A的坐标和直线的方程；(2)若P为直线上的动点，，，求取得最小值时点P的坐标．22．已知函数.(1)直接写出的解集；(2)若，其中，求的取值范围；(3)已知为正整数，求的最小值（用表示）.1．A【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜角，进而可得夹角.【详解】两直线的斜率，因为直线倾斜角范围为则，故两直线夹角，故选：．2．C【分析】应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，即可判断面面关系.【详解】由，而，由所得向量夹角余弦值知：，相交但不垂直.故选：C3．C【分析】根据列举法求出古典概型的概率.【详解】同时抛掷3枚质地均匀的的硬币，因为每枚硬币均有正反两种情况，故共有8种情况，如下：“正，正，正”，“正，正，反”，“正，反，正”，“反，正，正”，“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，“反，反，反”，其中出现的结果为“一正两反”的情况有“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，故出现的结果为“一正两反”的概率为.故选：C4．C【分析】运用纯虚数的定义，结合充分条件，、与必要条件的定义即可求得结果.【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且，又因为且是且的充分不必要条件，所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.故选：C.5．B【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式求解.【详解】不妨设这5个出现的点数为，且，由题意可知：，因为这些点数的平均数为2，则，可得，所以，即这5个数依次为，可得这些点数的方差为.故选：B.6．D【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选D．本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．C建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解【详解】设，以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系均为单位向量，且它们的夹角为45°，则，，设满足，设,故，则，则的最小值为圆上的点到直线距离的最小值其最小值为故选:C.向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.8．C【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由可得，结合,可得，即，由于在锐角中，，故，则,则,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，故，令，则函数在内单调递增，故，即，故，故选：C方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.9．ABD【分析】根据概率的基本概念和独立事件的基本运算求解即可.【详解】因为，，，，所以，故A选项正确；作出示意图如下，则A与B不互斥，故C选项错误；又，，,所以事件A与B相互独立，故B、D选项正确；故选：ABD.10．AC【分析】由斜率公式，两点间距离公式，平行线间的距离公式进行分析计算验证即可．【详解】对于A选项，，直线的倾斜角为135°，故A选项错误；对于B选项，点关于y轴的对称点为，则AC即为的最小值，为，故B选项正确；对于C选项，将化为，与平行，则两条直线间的距离为，故C选项错误；对于D选项，，，如图所示，又因为直线l与线段AB有公共点，所以直线的斜率k满足或，故D选项正确.故选：AC11．ABD【分析】对于A:利用和数量积的计算公式可求；对于B：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于C：先判断出，结合的范围即可判断；对于D：利用求出范围，即可判断.【详解】设.对于A:因为，所以D为BC的中点.因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.故A正确；对于B：，又，当且仅当“"时,取“=”此时，所以.故B正确；对于C：因为，所以，所以.当时，D、E重合，取得最大值3.可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故C错误；对于D：若为中点，则.故D正确.故选：ABD.12．BC【分析】连接，若，利用等腰三角形性质、线面垂直的判定可证面，进而有，得到矛盾结论排除A；连接，利用线面垂直的判定和性质判断是否成立，判断B；根据二面角定义判断的平面角，判断C；由题图仅当时直线DA与BP所成角是∠GEC或其补角，即可判断D.【详解】连接，侧面ABCD是等腰梯形，有，又E、F分别是AB、CD的中点，则，若，则，即，由，面，则面，而面，则，又，与过直线外一点有且仅有一条直线与垂直矛盾，A错误；连接，由E，G分别是AB，AP的中点，则，又，即，且，面，所以面，面，则，B正确；由面面，面，面，所以∠FEG是二面角的平面角，C正确；由于不一定相等，即不一定是平行四边形，故不一定平行，所以异面直线DA与BP所成角不一定是∠GEC，D错误.故选：BC13．－1【分析】根据两直线平行的条件求解．【详解】时，两直线显然不平行，因此，所以由得，解得，故．14．或【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设，过点，则，即；当直线不过原点时，设，过点，则，即；综上所述：直线方程为或.故或.15．先求出底面三角形的面积，求出的长度后利用余弦定理可求的长，从而可求底面外接圆的半径，再根据公式可求外接球的半径，从而可求外接球的表面积.【详解】设底面外接圆的半径为，圆心为，连接，则平面.又，故，所以，所以，故由余弦定理可得，故，所以，故，取的中点为，连接，则，因为平面，故，而平面，故.在矩形中，外接圆，故球的表面积为，故答案为.方法点睛：求三棱锥外接球的半径，关键是球心位置的确定，一般地，球心在过底面三角形的外心且垂直于底面的直线上，如果球心的位置不易确定，则可以补体来确定外接球半径满足的关系.16．【分析】先设，根据，，得到，再由题意，得到，求解，即可得出结果.【详解】由题意设，因为点，，所以，整理得：①因为直线上存在点满足，所以方程①有解，因此，解得.故答案为本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.17．（1）；；74.5；（2）.【分析】（1）根据甲测试成绩的中位数为75，由，求得y,再利用各矩形的面积的和为1，求得x,然后利用平均数公式求解.（2）易得甲测试成绩不足60分的试卷数2，乙测试成绩不足60分的试卷数3，先得到从中抽3份的基本事件数，再找出恰有2份来自乙的基本事件数，代入古典概型公式求解.【详解】（1）因为甲测试成绩的中位数为75，所以，解得．所以，解得．同学甲的平均分为．（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为，设为A，B．乙测试成绩不足60分的试卷数为，设为a，b，c．从中抽3份的情况有，，，，，，，，，，共10种情况．满足条件的有，，，，（，，共6种情况，故恰有2份来自乙的概率为．18．(1)(2)【分析】（1）设点，由，所在的直线方程建立方程求解即可；（2）根据角平分线的性质求关于直线的对称点，即可求直线方程.【详解】（1）设，则由题意可知①，又，所以②，联立①②方程解得，即；（2）

设关于直线的对称点，则有的中点在直线上，即，解之得，显然直线为的角平分线，即直线与重合，则，所以直线的方程为.19．(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，.20．(1)；(2)【分析】（1）角化边，由余弦定理可得角C；（2）由（1）可知，所以，化简可求取值范围.【详解】（1）在锐角中，因为，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，因为，所以．（2）在锐角中，，所以，解得，，因为，所以，所以．即．故的取值范围为.21．(1)，直线的方程为(2)【分析】（1）设点A坐标并表示中点D坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得A，利用角平分线的性质可得点B关于直线的对称点，从而求方程；（2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可.【详解】（1）由题意可设，则，由直线，的方程可知：，即，设点B关于直线的对称点，则中点坐标为，，