2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二上学期第二次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二上学期第二次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合A=，B=，则“”是“a=2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设，，向量，，，且，，则等于（）A． B．3 C． D．44．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最高气温的极差范围B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．最低气温低于0℃的月份有4个D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月5．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（）A． B． C． D．6．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定7．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（

）A．9 B．12 C．18 D．248．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．关于非零向量，，下列命题中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则10．已知直线l：，则下列选项正确的是（

）A．当直线l与直线平行时，B．当直线l与直线垂直时，C．当实数k变化时，直线，恒过点D．原点到直线l的距离最大值为11．已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（）A．点到原点的距离的最小值为2B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6C．的最大值为1D．过点作圆的切线有2条三、填空题（本大题共3小题）12．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为．13．已知点在直线上，则的最小值为14．已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在直线上，且过，两点.(1)求圆的标准方程；(2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.16．在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，点为边的中点，且，求边的值．17．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

(1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数；(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和80,90的概率；18．如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的大小；(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，则和的内积定义为，且.(1)写出所有3维信号向量；(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；

答案1．【正确答案】D【分析】由复数除法求得后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．【详解】由题意，对应点为，在第四象限．故选：D．2．【正确答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】，则，，或，充分性不满足，时，，因此有，必要性也满足，因此是必要不充分条件．故选：B．3．【正确答案】B【详解】由题意可得解得，所以，，则，所以.故选：B.4．【正确答案】C【详解】A选项，最高气温最低的月为月，最高气温最高的月为月，观察图象可知，最高气温的极差范围，A选项正确.B选项，通过观察折线图可知，10月的最高气温不低于5月的最高气温，B选项正确.C选项，最低气温低于0℃的月份有个，C选项错误.D选项，通过观察折线图可知，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，D选项正确.故选：C5．【正确答案】C【详解】由，解得，由余弦定理得，所以.故选：C.6．【正确答案】B【详解】因与圆相切，则.则到圆心的距离为，则在圆外.故选：B7．【正确答案】B【详解】设直线：，，因为直线过点，所以，即，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形面积.故选B.8．【正确答案】D【详解】圆的方程，即为，圆心，易知四边形PACB的外接圆的直径为PC，PC的最小值为圆心C到直线的距离，即，则四边形PACB的外接圆的半径为，所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为.故选：D9．【正确答案】BC【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.故选：BC.10．【正确答案】AB【详解】对于A，直线的斜率为，直线l与直线平行，所以直线的斜率为，所以故选项A正确；对于B，直线l与直线垂直时，则，故选项B正确；对于C，由，则，则，所以，所以直线过定点，故选项C错误；对于D，当且仅当原点到定点的距离为原点到直线l的距离时，原点到直线l的距离最大，即，故选项D错误.故选：AB.11．【正确答案】AD【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，对于选项A：点到原点的距离的最小值为，故A正确；对于选项B：因为，可知点在圆内，所以最短弦长为，故B错误；对于选项C：因为表示直线的斜率，

当与圆相切时，此时，取到最大值，故C错误；对于选项D：因为，可知点在圆外，所以过点作圆的切线有2条，故D正确；故选：AD.12．【正确答案】【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.故13．【正确答案】4【详解】，表示直线上的点到定点和的距离和，如图，点关于的对称点为，，当点三点重合时，最小，最小值为4.故414．【正确答案】【详解】直线恒过点.由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方.

当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为：，根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得，当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点，当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，综上得，实数的取值范围是.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）由，，则中点为，，易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率，则中垂线方程为，即，联立，解得，即圆心，半径，所以圆的方程为；（2）当直线斜率存在时，设直线，即，圆心到直线的距离，则弦长为，解得，即直线；当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离，弦长为成立；综上所述，直线的方程为或.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．（2）因为点为边的中点，所以，所以，解得或（舍），由余弦定理得，所以．17．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意得：，解得，因为，，设第60百分位数为，则，解得，即第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，在80,90的有人，设为.则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：，，设事件“两人得分分别来自和80,90”，则，因此所以两人得分分别来自和80,90的概率为.18．【正确答案】(1)证明见详解(2)(3)存在，【分析】(1)连接，由已知题设，可证明四边形为平行四边形，得到为的中点，再由三角形中位线性质与线面平行的判定定理即可证明；(2)先求得两两垂直，建立空间直角坐标系，再根据平面法向量求解平面夹角即可；(3)可设，求得平面与平面的法向量，再根据法向量垂直列出方程求解即可.【详解】（1）证明：在梯形中，因为为的中点，所以，连接，所以四边形为平行四边形，因为，所以为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.（2）在平行四边形中，因为，所以四边形为菱形，所以，所以在三棱锥中，.因为平面平面，所以即为二面角的平面角，所以，即.如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，所以.设平面的一个法向量为，则，令，得.易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面的夹角的大小为.（3）假设在线段上存在点，使得平面平面，设，因为，所以，所以，易知.设平面的一个法向量为，则，令，得.设平面的一个法向量为，则，令，得.由，解得，所以当为线段的中点时，平面平面，此时.19．【正确答案】(1)答案见解析(2)答案见解析（答案不唯一，符合题意即可）(3)证明见解析【详解】（1）所有3维信号向量如下：.