2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．3．数列，…的一个通项公式可能是（

）A． B． C． D．4．已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（

）A． B． C． D．6．已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（）A． B．C． D．7．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．8．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于Ax1,y1,BA．线段AB长度的最小值为B．当直线斜率为时，中点坐标为C．以线段为直径的圆与直线相切D．存在点，使得二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线的方程为，则（

）A．直线在轴上的截距为2B．直线在轴上的截距为3C．直线的倾斜角为锐角D．过原点且与垂直的直线方程为10．曲线，下列结论正确的有（）A．若曲线C表示椭圆，则且不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值C．若，则短轴长为 D．若，则渐近线为11．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．点到渐近线的距离为4D．直线与直线的斜率乘积为三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线：，：，若，则实数.13．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为．14．椭圆上的点到直线的最远距离为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知关于的方程：．(1)当为何值时，方程表示圆；(2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值．16．已知数列的前n项和，.(1)写出数列的通项公式.(2)证明：数列是等差数列；17．顶点在原点，焦点在轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为．(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线相交于、两点，求的长．18．如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN(1)求椭圆的方程；(2)若，求MN的方程；(3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.19．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点P在定直线上.

答案1．【正确答案】D【详解】由题意可知：直线，即，可知直线l的斜率，设直线l的倾斜角为，则，所以.故选：D.2．【正确答案】C【详解】由题意得，，解得，，故，故双曲线渐近线方程为.故选：C3．【正确答案】D【详解】解：因为，，，所以此数列的一个通项公式可以是.故选：D.4．【正确答案】C【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有.故选：C5．【正确答案】C【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以.当时，，所以水面宽度为.故选：C.6．【正确答案】B【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）又在椭圆上，则①，②，由，可得，将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，故直线的方程为：，即.故选：B.7．【正确答案】A【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．【正确答案】B【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，Ax1,y1,B联立，可得，且，所以，所以，且，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：因为，所以，所以，所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误；对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线，垂足分别为，如下图：由抛物线的定义可知：，即等于以为直径的圆的半径长，故C正确；对于D：当时，.所以，由选项A可知：，所以，所以此时，所以的倾斜角互补，所以，故D正确；故选：B9．【正确答案】BCD【详解】在中，令，得，所以A不正确；令，得，所以B正确；因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.故选：BCD10．【正确答案】ACD【详解】当曲线表示椭圆时，，且，即且，故A正确；若曲线C表示双曲线，焦点在轴上时，则，所以，当焦点在轴上时，，所以，故B错误；当时，方程为，故，，故C正确；当时，方程为，所以渐近线方程为，故D正确.故选：ACD11．【正确答案】BD【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可.【详解】由双曲线知，，，对于A，双曲线的离心率为，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；故选：BD.12．【正确答案】3【详解】故3.13．【正确答案】【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解．【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线，由题可知，的周长为，又，易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．故答案为.14．【正确答案】【详解】设椭圆上的点，则点到直线的距离：，显然当时，，所以椭圆上的点到直线的最远距离为.故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由圆的一般方程性质可知：解得，所以当时，方程表示圆.（2）由，得，所以该圆圆心为，半径所以圆心到直线的距离根据弦长公式可知：解得.16．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，当时，，满足，即数列的通项公式．（2），当时，为常数，则数列是等差数列．17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线的标准方程为，因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，故抛物线的标准方程为.（2）抛物线的焦点坐标为，且点在直线上，

设点、，联立，消去可得，，由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得.18．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由椭圆C:x2a2+得，解得，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立，消去得，由，得，则．，解得或，当时，直线的方程为；当时，直线经过点，不符合题意，舍去．所以当时，的方程为．（3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，所以，所以为定