2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中数学质量检测试题（含解析）

2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知与是互斥事件，且，则（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.92．已知直线的倾斜角为，则实数的值为（）A． B． C． D．3．已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（）A．1 B． C．2 D．−24．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为（

）A． B． C． D．5．已知空间向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（）A．4 B． C． D．7．已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．在中，若动点满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（

）A．A与互斥 B．A与相互独立C．与对立 D．与相互独立10．如图，已知正方体的棱长为2，点为正方体的中心，点满足，则（）A．平面B．平面C．在上的投影向量为D．平面与平面夹角的余弦值为11．已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（）A．圆与圆的公共弦方程为B．满足的点有2个C．若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为D．的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是.13．若点和点关于直线对称，则．14．已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点.(1)用表示，并求的值；(2)求的值.16．已知圆经过点和，其圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线过点且与圆相切，求的方程.17．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.（1）求和的值；（2）试求两人共答对3道题的概率.18．如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动.(1)证明.(2)求异面直线与所成角的余弦值.(3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.19．定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线（为切点）相互垂直，记圆经过点，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.已知为坐标原点，圆为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.(1)求点所在曲线的方程.(2)已知点的横坐标为6，且位于第一象限.（i）求圆的方程；（ii）已知为过点所作的圆的两条切线的切点，直线与轴分别交于点，过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，求的方程.

答案1．【正确答案】D【详解】由，可得.由于与是互斥事件，故.故选：D2．【正确答案】C【详解】直线的倾斜角为，所以斜率一定存在，且，直线即，所以斜率,即.故选：C3．【正确答案】A【详解】依题意，方程表示圆，则，解得.因为坐标原点不在圆的内部，所以.综上所述，，结合选项可知A符合题意.故选：A4．【正确答案】B【详解】记三名男生为A，B，C，两名女生为1，2，任意选出两人的样本空间为，，共10个样本点，恰好一男生和一女生的样本点有6个，所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为.故选：B.5．【正确答案】C【详解】设与的夹角为.由，得，两边平方得，所以，解得.又，所以.故选：C.6．【正确答案】C【详解】可化为，可得圆心，半径．当时，MN最小，此时点到的距离，所以MN的最小值为.故选：C7．【正确答案】B【详解】由，可得，所以直线恒过点，则，由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可，故的取值范围为.故选：B8．【正确答案】C【详解】设，则，即，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.又，所以的取值范围为.故选：C9．【正确答案】ABD【详解】试验的样本空间，，，.事件，.对于A，A与没有公共的基本事件，A与互斥，正确；对于B，与相互独立，B正确；对于C，显然，与可以同时发生，C错误；对于D，与相互独立，D正确.故选：ABD.10．【正确答案】AD【详解】以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，对于A，由，得平面，A正确；对于B，，得EO不与平面平行，B错误；对于C，在上的投影向量为，C错误；对于D，平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，D正确.故选：AD11．【正确答案】ABD【详解】对于A，和两式作差，可得，故A正确.对于B，由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆，圆心的坐标为，两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，由3，得两圆相交，则满足条件的点有2个，故B正确.对于C，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，所以圆的半径的最小值为，故C错误.对于D，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有．设，则有，化简得．因为，所以，解得，则，所以，故D正确．故选：ABD12．【正确答案】/【详解】他们至少有一人命中的概率是.故13．【正确答案】−2【详解】因为点和点关于直线对称，所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得.又AB的中点坐标为，，所以，解得，.故.故答案为.14．【正确答案】【详解】依题意，，则，则，的面积为，，则球的半径,设平面ABC的法向量为，则，令，得，则点到平面ABC的距离，球面上的点到平面距离最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为.故15．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意可知：，且，则；（2）易知，所以.16．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆的标准方程为，所以，解得，故圆的标准方程为．（2）由（1）可知圆心为．①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得，此时直线的方程为．综上，所求直线的方程为或．17．【正确答案】（1），；（2）.【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．【详解】解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，.由题意可得即解得或由于，所以，.（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.由题意得，，，，.设{甲乙二人共答对3道题}，则.由于和相互独立，与相互互斥，所以.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．18．【正确答案】(1)证明见详解；(2)；(3).【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，又为正方形，所以两两垂直，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，则，所以（2）解：由（1）可得，所以，故异面直线与所成角的余弦值为（3）解：设.因为，所以，则由（1）可得.设平面的法向量为，则取设直线与平面所成的角为，则.令，则，所以当，即时，取得最大值，最大值为1；当，即时，取得最小值，最小值为.故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为19．【正确答案】(1)(2)（i）；（ii）.【详解】（1）因为为圆的“伴随点”，所以四边形