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文档简介
江西丰城市第二中学2025届高三下学期联考数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有.则不等式的解集为().A. B.C.或 D.或2.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于的概率为()A. B. C. D.3.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()A. B. C. D.4.空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面,,两两互相垂直,点,点到,的距离都是3,点是上的动点,满足到的距离与到点的距离相等,则点的轨迹上的点到的距离的最小值是()A. B.3 C. D.5.函数在上的大致图象是()A. B.C. D.6.设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.8.已知函数,若,,,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.9.已知等差数列中,若,则此数列中一定为0的是()A. B. C. D.10.设,,则()A. B. C. D.11.已知,,,则()A. B. C. D.12.()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,则的取值范围为__________.14.已知点是双曲线渐近线上的一点,则双曲线的离心率为_______15.已知向量满足,且,则_________.16.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的_______条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,求证:.(2)讨论函数的极值;(3)是否存在实数,使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.18.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.19.(12分)语音交互是人工智能的方向之一,现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱,它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度,从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人,具体数据如下:“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人?(2)根据列联表,能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)如图,在平行四边形中,,,现沿对角线将折起,使点A到达点P,点M,N分别在直线,上,且A,B,M,N四点共面.(1)求证:;(2)若平面平面,二面角平面角大小为,求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)已知为各项均为整数的等差数列,为的前项和,若为和的等比中项,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求最大的正整数,使得.22.(10分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数,再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数,则由题可知,所以在时为增函数;由为奇函数,为奇函数,所以为偶函数;又,即即又为开口向上的偶函数所以,解得或故选:D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目.2、C【解析】
由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.3、D【解析】
根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.【详解】类产品共两件,类产品共三件,则第一次检测出类产品的概率为;不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;故选:D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.4、D【解析】
建立平面直角坐标系,将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值,利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程,得到,进而得到所求最小值.【详解】如图,原题等价于在直角坐标系中,点,是第一象限内的动点,满足到轴的距离等于点到点的距离,求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值.设,则,化简得:,则,解得:,即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选:.【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解,关键是能够准确求得动点轨迹方程,进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.5、D【解析】
讨论的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时,,则,所以函数在上单调递增,令,则,根据三角函数的性质,当时,,故切线的斜率变小,当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;当时,,则,所以函数在上单调递增,令,,当时,,故切线的斜率变大,当时,,故切线的斜率变小,可排除C,故选:D【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题.6、B【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.【详解】因为,均为非零的平面向量,存在负数,使得,所以向量,共线且方向相反,所以,即充分性成立;反之,当向量,的夹角为钝角时,满足,但此时,不共线且反向,所以必要性不成立.所以“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件.故选B.【点睛】判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.7、A【解析】
首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个,具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1____,__1__,____1.剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个.故不同的样本点数为8个,.故选:A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题8、D【解析】
根据题意,求出函数的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数,又由,分析可得答案.【详解】解:根据题意,函数,其导数函数,则有在上恒成立,则在上为增函数;又由,则;故选:.【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数单调性的性质,属于基础题.9、A【解析】
将已知条件转化为的形式,由此确定数列为的项.【详解】由于等差数列中,所以,化简得,所以为.故选:A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算,属于基础题.10、D【解析】
集合是一次不等式的解集,分别求出再求交集即可【详解】,,则故选【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算,属于基础题.11、B【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性,将数据和做对比,即可判断.【详解】由于,,故.故选:B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,属基础题.12、D【解析】
利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
真数有最小值,根据已知可得的范围,求出函数的最小值,建立关于的不等量关系,求解即可.【详解】,且(且)有最小值,,的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查对数型复合函数的性质,熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键,属于基础题.14、【解析】
先表示出渐近线,再代入点,求出,则离心率易求.【详解】解:的渐近线是因为在渐近线上,所以,故答案为:【点睛】考查双曲线的离心率的求法,是基础题.15、【解析】
由数量积的运算律求得,再由数量积的定义可得结论.【详解】由题意,∴,即,∴.故答案为:.【点睛】本题考查求向量的夹角,掌握数量积的定义与运算律是解题关键.16、必要不充分【解析】
先求解直线l1与直线l2平行的等价条件,然后进行判断.【详解】“直线l1:与直线l2:平行”等价于a=±2,故“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的必要不充分条件.故答案为:必要不充分.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定,把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)见解析;(3)存在,1.【解析】
(1),求出单调区间,进而求出,即可证明结论;(2)对(或)是否恒成立分类讨论,若恒成立,没有极值点,若不恒成立,求出的解,即可求出结论;(3)令,可证恒成立,而,由(2)得,在为减函数,在上单调递减,在都存在,不满足,当时,设,且,只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】(1),,,当时,,当时,,∴,故.(2)由题知,,,①当时,,所以在上单调递减,没有极值;②当时,,得,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.故在处取得极小值,无极大值.(3)不妨令,设在恒成立,在单调递增,,在恒成立,所以,当时,,由(2)知,当时,在上单调递减,恒成立;所以不等式在上恒成立,只能.当时,,由(1)知在上单调递减,所以,不满足题意.当时,设,因为,所以,,即,所以在上单调递增,又,所以时,恒成立,即恒成立,故存在,使得不等式在上恒成立,此时的最小值是1.【点睛】本题考查导数综合应用,涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明,考查分类讨论思想,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.18、(1)(2).【解析】
(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组,求解即可.(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系,联立方程结合韦达定理可求.【详解】解:(1)设焦距为2c,由题意知:;解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直线l的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题,椭圆方程一般利用待定系数法,建立方程组进行求解,面积问题的合理转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.19、(1)多2350人;(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【解析】
(1)根据题意,知100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数,即可求得答案;(2)根据列联表和给出的公式,求出,与临界值比较,即可得出结论.【详解】解:(1)由题可知,100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,由于地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,估计购买“小爱同学”的女性有人.估计购买“天猫精灵”的女性有人.则,∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.(2)由题可知,,∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用,考查计算能力.20、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)根据余弦定理,可得,利用//,可得//平面,然后利用线面平行的性质定理,//,最后可得结果.(2)根据二面角平面角大小为,可知N为的中点,然后利用建系,计算以及平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,可得结果.【详解】(1)不妨设,则,在中,,则,因为,所以,因为//,且A、B、M、N四点共面,所
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