专题03 高二上期末真题精-选（人教A版（2019）选择性必修第二册数列常考63题 压轴17题）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

专题03高二上期末真题精选（数列常考65题压轴17题）数列常考题考点01：等差数列通项的基本量计算考点02：等差数列角标和性质考点03：等差数列前项和基本量计算考点04：等差数列前项和性质考点05：等比数列通项的基本量计算考点06：等比数列角标和性质考点07：等比数列前项和基本量计算考点08：等比数列前项和性质考点09：数列求通项考点10：数列求和之倒序相加法考点11：数列求和之分组求和法考点12：数列求和之裂项相消法考点13：数列求和之错位相减法数列压轴题压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）压轴二：数列求和之裂项相加法压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题一、等差数列通项的基本量计算（共4小题）1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（

）A．5050 B．10010 C．10100 D．11000【答案】C【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案【详解】∵，∴，解得，所以.故选：C.2．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【知识点】等差数列通项公式的基本量计算【分析】根据等差数列基本量运算求解即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，且，所以，所以．故选：C．3．（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】等差数列通项公式的基本量计算【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围.【详解】由，得，得，因为是正项无穷的等差数列，所以，所以，得，即的公差的取值范围是.故选：D4．（23-24高二下·四川成都·期末）记Sn为等差数列的前项和，若，则（

）A．2 B．3 C．10 D．4【答案】A【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算【分析】先根据等差数列求和公式化简即得.【详解】是等差数列，可得,所以.故选：A.二、等差数列角标和性质（共4小题）1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（

）A．0 B．8 C．10 D．19【答案】A【知识点】判断等差数列、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到【详解】因为即，所以数列为等差数列，因为且，所以，得，所以.故选：A.2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．【答案】B【知识点】利用等差数列的性质计算、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可.【详解】根据等差数列性质可得，则，，当且仅当，即时，取“”号.故选：B.3．（23-24高二上·陕西西安·期末）设为等差数列的前项和，若，则（

）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】D【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】直接由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意，解得，所以.故选：D.4．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可.【详解】因为数列为等差数列，则，若始终是一个定值，所以是定值，故B正确；又因为，，所以与也为定值，所以C，D正确；没有足够条件判断A，故A错误；故选：BCD．三、等差数列前项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可.【详解】因为，所以,所以.故选：A.2．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．【答案】CD【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值、等差数列的单调性【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案.【详解】ABD选项，设的公差为，，故，，故，所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确.C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确.故选：CD3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列的前项和为，若，则．【答案】110【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和【分析】由等差数列性质得，结合等差数列求和公式即可求解.【详解】因为，所以．故答案为：110.四、等差数列前项和性质（共6小题）1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．30 B．26 C．56 D．42【答案】D【知识点】等差数列片段和的性质及应用【分析】先通过求出，再利用求解即可.【详解】设等差数列的公差为由已知，则，得，.故选：D.2．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题【分析】利用等差数列前项和公式及其性质计算即可.【详解】因为，所以.故选：A3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、两个等差数列的前n项和之比问题【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可．【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，，因为等差数列前项和公式为，所以不妨令为常数，且，所以时，，．，，，.故选：A4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（

）.A．若为等差数列，则一定是等差数列B．若为等比数列，则一定是等比数列C．若，则一定是等比数列D．若，则一定是等比数列【答案】AC【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等比数列片段和性质及应用、等差数列片段和的性质及应用、由定义判定等比数列【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解A，举反例即可求解BD，根据的关系，结合等比数列的定义即可求解C.【详解】对于A，设等差数列的公差为，则，则，同理可得，所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确；对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确；对于C，由可得时，，相减可得（），由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确，对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误．故选：AC．5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，若，则.【答案】46【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用、利用等差数列的性质计算【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列的前两项依次求解可得.【详解】由等差数列的性质可知成等差数列，即1，8，成等差数列，且公差为，所以，得.故答案为：.6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则.【答案】【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题【分析】利用计算可得答案.【详解】因为，所以，所以，故.故答案为：.五、等比数列通项的基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（

）.A．1 B．2. C．3 D．5【答案】C【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差与首项的关系即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，整理得，则，所以的公比.故选：C2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据通项公式求公比，再由等比数列求和公式可得首项.【详解】设等比数列的公比为，，即，，，．故选：B．3．（23-24高二下·江西九江·期末）设是等比数列，且，则.【答案】32【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，求得，即可求得答案.【详解】设的公比为，则，由，得，解得，所以.故答案为：32六、等比数列角标和性质（共3小题）1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（

）A．64 B．128 C． D．【答案】B【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列下标和性质及应用【分析】结合等比数列的性质求解．【详解】由题意得，得，则.由，得.所以.故选：B．2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用【分析】运用等比数列的下标性质，结合对数性质可解.【详解】，则，根据等比数列的性质，知道,则，则，即，则.故选：C.3．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则．【答案】3【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用【分析】根据等比数列性质和对数运算即可.【详解】由题意得.故答案为：3.七、等比数列前项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则．【答案】1【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算【分析】由等比数列前项和以及等比数列基本量的计算可先算的公比，从而由即可得解.【详解】设公比为，由题意，所以，又，所以，解得满足题意，所以.故答案为：1.2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则.【答案】1【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列的定义【分析】根据等比数列的定义，得到数列是公比为等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由数列满足，知，否则，与矛盾，所以数列为等比数列，且公比为，又由，解得.故答案为：1.3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，则.【答案】64【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列前n项和的基本量计算【分析】根据等比数列前项和公式列出方程组，解出首项公比，根据通项公式求出.【详解】设等比数列公比为，首项为，由已知，可得，解得，所以，故答案为：64.八、等比数列前项和性质（共3小题）1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】AB【知识点】数列不等式恒成立问题、累加法求数列通项【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果.【详解】因为，当时，，又，所以，又时，满足，所以，由，得到，令，则，当时，，得到，当时，，所以，又，当为偶数时，，得到，当为奇数时，，得到，所以，故选：AB.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解.2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为.【答案】35【知识点】等比数列片段和性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算【分析】由等比数列的前ｎ项和的性质得也是等比数列,运算即可．【详解】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则．故答案为：．3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列的前项和为，若，则.【答案】28【知识点】等比数列片段和性质及应用【分析】由题可知的公比不为，故成等比数列，列式即可求出答案.【详解】由题可知的公比不为，故成等比数列，所以，因为，解得，故答案为：28九、数列求通项（共16小题）1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（

）A．16 B．31 C．47 D．63【答案】C【知识点】由定义判定等比数列、构造法求数列通项、利用等比数列的通项公式求数列中的项【分析】根据题意，当时，，两式相减化简得到，得到数列是等比数列，求得，即可求解.【详解】因为数列的前项和为，且，所以当时，，两式相减得，即，可得，当时，可得，即，解得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以.故选：C.2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则．【答案】160【知识点】等比数列片段和性质及应用【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可.【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列，则，解得或（舍去），则，解得．故答案为：1603．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和.【答案】/0.375【知识点】裂项相消法求和、求等差数列前n项和、累加法求数列通项【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由题意可知，，，，……，所以，，，，当时，上式也成立，故，，所以数列，.故答案为：4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则.【答案】5【知识点】对数的运算、累加法求数列通项【分析】用累加法求解.【详解】，，…，各式累加得.故答案为：5.5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则．【答案】210【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可.【详解】由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴,故答案为：210.6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则．【答案】【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、累乘法求数列通项【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得.【详解】因，故有，即得，所以．故答案为：.7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为.【答案】【知识点】累乘法求数列通项【分析】由题意可得，然后利用累乘法可求得结果.【详解】因为，所以，所以，，，……，，，所以，所以，因为，所以符号该式，故答案为：8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则【答案】【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明数列是等差数列【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2的等差数列，求出，从而可求出，再利用可求得答案.【详解】因为，所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以，当时，，因为不满足上式，所以.故答案为：9．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为．【答案】【知识点】构造法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项.【详解】数列中，，当时，，两式相减得，即，则有，因此数列是常数列，则，所以数列的通项公式为.故答案为：10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式．【答案】【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项【分析】由，知，两式作差，即可证明为等差数列，从而求出.【详解】由题意,则，又，，，，，为等差数列，，，，，，故答案为：11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则.【答案】【知识点】构造法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式【分析】根据的关系即可得，进而根据构造法可证明为等差数列，即可求解.【详解】当时，，相减可得，所以，又，所以故为等差数列，且公差为，首项为2，故，，故答案为：12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝.【答案】192【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项【分析】利用的关系求出，进而可得，然后结合等差数列的求和公式求即可.【详解】当时，，当时，，经检验不满足上式，所以，设，则，所以.故答案为：192.13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则.【答案】【知识点】构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解.【详解】因为，，则，因为，显然，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则.故答案为：14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式.【答案】【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、构造法求数列通项【分析】构造，得到是等比数列，求出通项公式，进而得到.【详解】设，即，故，解得：，故变形为，，故是首项为4的等比数列，公比为3，则，所以，故答案为：15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则；的最小值为.【答案】【知识点】构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式、确定数列中的最大（小）项【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值.【详解】由，得，而，则，因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，，所以当时，取得最小值.故答案为：；16．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得.【详解】数列中，由，得，即，而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此，即，所以数列的通项公式为.故答案为：十、数列求和之倒序相加法（共4小题）1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【知识点】倒序相加法求和【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C．2．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，且，设函数，则，.【答案】/【知识点】倒序相加法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】根据，作差即可求出的通项公式，再由的解析式及诱导公式得到，再利用倒序相加法求和.【详解】解：由于，①，当时，所以，当时，，②，①②得：，所以，显然时也成立，当时，，当时也成立，所以；根据函数，所以，，所以；所以．故答案为：；3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则．【答案】/9.5【知识点】求函数值、倒序相加法求和、等比数列下标和性质及应用【分析】根据给定条件计算当时，的值，再结合等比数列性质计算作答.【详解】函数，当时，，因数列是正项等比数列，且，则，，同理，令，又，则有，，所以.故答案为：4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数，定义，其中，，则.【答案】0【知识点】对数的运算、倒序相加法求和、函数对称性的应用【分析】由函数的解析式可得，由倒序相加法可得答案.【详解】由题意，所以由

①则

②由①+②得所以故答案为：0十一、数列求和之分组求和法（共6小题）1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且．(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和【分析】（1）由递推公式得，有，即可求解；（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可．【详解】（1）由①得，当时，②，联立①②得，所以有，因为，所以．（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，由（1）知则，，综上：．2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列的前项和为，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式【分析】（1）设等差数列的公差为，则由题意列出方程组，解方程可求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案；（2）先求出，再由分组求和法求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由题意得解得数列的通项公式为．（2）由题意得，数列为等比数列，公比为，所以的通项公式为．．当为偶数时，；当为奇数时，．综上所述，．3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列的前项和为，首项，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和【分析】（1）利用数列的前项和与的关系，确定数列的通项公式；（2）利用并项求和法求数列的前项和.【详解】（1）因为：.当时，；两式相减得：即：.所以：是以为首项，以为公差的等差数列，故.（2）因为：，所以，所以：.所以：.4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前2n项和．【答案】(1)(2)【知识点】利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和【分析】（1）由题意得，代入等差数列通项公式即可求解；（2）由，代入求和即可.【详解】（1）由已知，得，解得，故（2）由（1）得，所以，得．5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前10项和．【答案】(1)(2)【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算【分析】（1）直接由等差数列前和以及等差数列基本量的计算可得公差，由此即可得解；（2）直接由等差数列、等比数列求和公式分组求和即可得解.【详解】（1）由题意，，因为，解得，所以等差数列的公差，所以数列的通项公式为.（2）由题意，所以数列的前10项和.6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列的前n项和为，点在直线的图象上．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和．【答案】(1)（）(2)【知识点】求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、由Sn求通项公式【分析】（1）先求出，当时，，再检验是否符合；（2）利用分组求和求解.【详解】（1）∵点在直线的图象上，∴，即当时，当时，又符合上式，∴（）（2）由题设可知则十二、数列求和之裂项相消法（共5小题）1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等比中项的应用【分析】（1）先根据等比中项得出等式再结合等差数列基本量运算即可；（2）应用裂项相消法求出即可.【详解】（1）由，得．因为12是，的等比中项，所以，则，则．设的公差为d，则，故．（2）由（1）可知，则．2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列的通项公式及其前项和；(3)若数列，证明：数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)，(3)证明见解析【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和【分析】（1）首先根据公式，求通项公式，再根据定义证明数列是等差数列；（2）首先根据（1）的结果，计算数列的第2项和第3项，再根据等比数列基本量计算求数列的通项公式和前项和；（3）根据前2问可知，，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为数列的前项和为，且，当时，；当时，，经验证，当时也满足；所以；又，所以是公差为2的等差数列，通项公式为.（2）由（1）知，于是又因为数列为等比数列，且分别为数列第二项和第三项，所以，则，，则，所以.（3）由已知，于是.3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和【分析】（1）根据条件式结合等差数列的前n项和公式，得出，进一步得出的二元一次方程，解出即可求得的通项公式；（2）由（1）可得，进一步得出，再采用裂项法即可求得.【详解】（1）由，得，又，所以，当时，，当时，，解得，所以，故的通项公式为.（2）由（1）可知，所以，故.4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）由题意，根据计算即可求解；（2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得，即可证明.【详解】（1）当时，，因为时，，满足上式，所以数列的通项公式为.（2），，因为，所以.5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式【分析】（1）利用变形整理可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用裂项相消法求和.【详解】（1）由题意知：且，两式相减，可得，，可得，又，当时，，即，解得或（舍去），所以，从而，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为.（2）由，可得，所以.十三、数列求和之错位相减法（共5小题）1．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：.(1)证明：数列是等比数列；(2)记数列，数列的前项和为，求.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】由定义判定等比数列、错位相减法求和、由递推关系证明数列是等差数列【分析】（1）根据给定条件，结合数列第项与前项和的关系变形，再利用等比数列定义推理即得.（2）由（1）求出，进而求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得.【详解】（1）由时，，知数列是等差数列，由得，知数列的公差为1，则，，当时，，且也满足上式，，，由为定值，知数列是等比数列.（2）易得，则则两式相减得，化简得.2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中．(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和【答案】(1)证明见解析，(2)【知识点】错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求；（2）利用数列的错位相减，可得结果.【详解】（1）当时，，解得，当时，由，得，作差得.所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列所以，故（2）令所以，，两式作差得所以3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且(1)求数列的通项公式；(2)若的前项和为，求.【答案】(1)(2)【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式；（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.【详解】（1）由，得，因为，所以，即，因为，所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以；（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以.4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，.(1)求证：是等比数列；(2)若，求的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】（1）根据等比数列的定义结合已知条件证明即可；（2）由（1）可求得，则，然后利用分组求和法与错位相减法可求出【详解】（1）.则是以1为首项2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，，，∴，设的前项和令①，②，①②得，，∵，.5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列的首项为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1);(2).【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式【分析】（1）利用取倒数构造等差数列来求通项；（2）利用错位相减法来求和.【详解】（1）由，两边取倒数得：，可得：是等差数列，首项为，公差为3，所以通项为，即；（2）由得：，,则两式相减得：，，，即.压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和．【答案】(1)(2)135【知识点】累加法求数列通项、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和【分析】（1）利用累加法可得答案；（2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案.【详解】（1）因为，所以，可得，即；（2），当n为偶函数，，，，∴，则，，…，满足题意，，，∴，，，，满足题意，∴A中所有元素和为．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是分、求和，再求满足条的.2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列，满足的前项和，，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项【分析】（1）通过数列的通项公式，求数列的通项公式即可.（2）利用求得，分为奇数和为偶数两种情况，分组求和求出，再利用求出数列的通项公式，检验是否符合，最终确定的通项公式.【详解】（1）由题可知：，将化为,可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以数列的通项公式为.（2）由题，，则，两式相减可得，即，整理得，所以；令，可得，即，所以；当为偶数时，可得：①；当为奇数时，可得：，②；结合①②可得：，则，且满足上式，综上所述，【点睛】利用求数列的通项公式,检验是否符合；分组求和，讨论为奇数和为偶数两种情况.3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列的通项公式；(2)记正项数列的前项和为，，，，求.【答案】(1)(2)【知识点】等比中项的应用、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）选择条件①：先由为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由得出，两式做减即可得出，再验证时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过得出，两式相减结合已知即可得出，即数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列为等比数列，，即，，且设等比数列的公比为，，解得或（舍），，选条件②：，，即，由①②两式相减得：，即，令中得出也符合上式，故数列为首项，公比的等比数列，则，（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列为首项，公比的等比数列，即，则，，，，由③④两式相减得：，即，数列为正项数列，则，则数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，，即，数列前2n项中的全部偶数项之和为：，则.4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，数列满足，.(1)求数列和通项公式；(2)求的值；(3)证明【答案】(1)，；(2)－5000；(3)证明见解析.【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项、等差数列通项公式的基本量计算【分析】(1)设等差数列的公差为，根据题意列出关于和d的方程组即可求出；构造数列为等比数列，即可求出；(2)分奇数项和偶数项求和即可；(3)先求出，再求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，故数列的通项公式.∵，∴，即，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，，∴.（2）当，时，，当，时，，∴.（3），∴，当时，，∴.压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题）1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列是递增的等差数列，是等比数列，，求，(1)求数列和的通项公式；(2)记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数m的取值范围；(3)设，求的值.【答案】(1)(2)(3)【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出数列和的通项公式；（2）由（1），利用并项求和法可求出，则将问题转化为对恒成立，令，求出的最大值即可；（3）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）解：根据题意设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以，因为，，所以，解得或（舍去），所以；（2）解：由（1）知，所以，由，得，所以对恒成立，令，则当时，，当时，，当时，，所以由二次函数的性质可知当时，，所以最大，所以；（3）由（1）知，所以【点睛】关键点点睛：此题考查等差数列和等比数列的综合问题，考查分组求和与裂项相消求和法，考查数列与不等式的综合问题，第（2）问解的关键是求出后，将问题转化为对恒成立，再次转化为求出的最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列的前项和为，且．(1)求数列通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)若数列满足，求证：【答案】(1)(2)(3)证明见解析【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、由Sn求通项公式【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和关系求解；（2），利用裂项相消法求解.（3）由，利用分组求和法求解.【详解】（1）当时，．①，②，①-②得：，当时，也符合上式，所以；（2），，，．（3），③，④③-④得：，，，，．故.3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，且数列是等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和【分析】（1）根据题意，求得数列的公差，结合等差数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】（1）解：因为是等差数列，且数列满足，，设数列的公差为，则，所以，所以，所以数列的通项公式.（2）解：由（1）知，可得，所以.4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、判断等差数列【分析】（1）根据条件可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可求出结果.【详解】（1）由，可得，又，故数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等比数列前n项和的基本量计算【分析】（1）设公比为，根据已知求出，再求；（2）求出，利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）设公比为，因为，所以，又，解得，所以；（2）由（1）知，则，所以，所以数列的前项和.6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)已知数列，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式【分析】（1）根据和的关系、等比数列的定义即可解答.（2）利用裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）由，，当时，，即；当时，，整理得，即.，当时上式也成立.数列是以首项，为公比的等比数列，则，即.（2），.压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题）1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；（2）由已知可得，利用裂项相消法可求出，即可证得结论成立.【详解】（1）解：由已知可得，设等差数列的公差为，则，解得，所以，.（2）证明：，所以，.故对任意的，.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．【答案】(1)(2)11【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题【分析】（1）由等差数列基本量的关系列方程组即可求解.（2）首先得，由等差数列求和公式求，列不等式组即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，故．（2）由（1）可得，则，所以，则数列是等差数列，故．因为，所以，所以，所以或．因为，所以的最小值是11．3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值.【答案】(1)，(2)(3)2【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由Sn求通项公式、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题【分析】（1）根