《数学分析华师大》课件

《数学分析华师大》课程介绍本课程为高等数学的重要组成部分，是学习后续相关课程的基础。课程将深入讲解实数、函数、极限、连续、导数、积分等数学概念，并探讨其应用。课程大纲极限概念极限的定义与性质单侧极限和双侧极限无穷大与无穷小的概念极限的计算方法极限存在的必要条件连续函数连续函数的定义连续函数的性质复合函数的连续性初等函数的连续性间断点的分类导数概念导数的定义及几何意义导数的计算规则高阶导数隐函数的微分函数的单调性与极值微分学的应用平面曲线的切线与法线微分中值定理洛必达法则函数的凹凸性与拐点函数的渐近线第一章极限概念极限概念是微积分学的基础，是理解连续函数、导数、积分等核心概念的关键。本章将介绍极限的定义、性质、计算方法以及极限存在的必要条件。极限的定义及性质1极限定义极限概念是数学分析的基础,是描述函数值在自变量无限接近某点时趋于一个固定值的现象.2极限性质极限运算具有许多重要的性质,包括极限的唯一性、有界性、保号性等等.3极限计算掌握极限的定义和性质,可以利用极限的计算方法,例如代入法、等价无穷小代换法、洛必达法则等.单侧极限与双侧极限单侧极限单侧极限指的是函数在自变量趋近于某一点时，仅从一个方向趋近于该点时，函数值的极限。例如，函数f(x)在x趋近于a时，从左侧趋近于a的极限记为limx→a-f(x)，从右侧趋近于a的极限记为limx→a+f(x)。双侧极限双侧极限是指函数在自变量趋近于某一点时，无论从左侧还是右侧趋近于该点，函数值的极限都存在且相等。双侧极限存在的前提是左右单侧极限都存在且相等。记为limx→af(x)。无穷大与无穷小的概念无穷大无穷大表示一个无限大的值，它不受任何界限的限制。无穷小无穷小表示一个无限小的值，它接近于零但永远不等于零。极限的计算方法直接代入法当函数在自变量趋于极限值时，函数的值也趋于一个确定的值，则可以用直接代入法求极限。例如，函数f(x)=x^2+1在x趋于2时，函数的值趋于5，因此极限值为5。因式分解法当函数在自变量趋于极限值时，函数的值可能出现无穷大或无穷小，可以用因式分解法化简函数，消除无穷大或无穷小，进而求极限。等价无穷小替换法当函数在自变量趋于极限值时，可以用等价无穷小替换法，用更简单的函数替换原函数，求极限。洛必达法则当函数在自变量趋于极限值时，函数的值可能出现0/0或∞/∞的不确定形式，可以使用洛必达法则求极限。极限存在的必要条件有界性如果一个函数在某点附近有极限，则它在该点附近一定有界。这意味着函数的值不会无限增长或下降。单调性如果一个函数在某点附近单调增加或单调减少，则它在该点附近可能存在极限，但也有可能不存在。柯西收敛准则柯西收敛准则是判定函数极限存在的一个重要条件，它与函数的振荡有关。第二章连续函数连续函数是数学分析的重要概念之一。本章将介绍连续函数的定义、性质及其相关应用。连续函数的定义11.函数值存在函数在定义域内每个点都有唯一的值，且该值是有限的。22.极限值存在当自变量趋于某个点时，函数的值也趋于某个确定的值。33.极限值等于函数值在该点处的极限值必须等于该点处的函数值。连续函数的性质中间值定理如果函数在一个闭区间上连续，那么它在这个区间内取遍所有介于函数值之间的值。介值定理连续函数的图像在两点之间没有间断，也就是说它可以在两个点之间平滑地连接。最大值最小值定理连续函数在一个闭区间上必取得最大值和最小值，这表示它在这个区间内存在最高点和最低点。复合函数的连续性复合函数一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成复合函数。连续性函数在定义域内没有间断点，图像连续不断。链式法则复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。初等函数的连续性初等函数的类型常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等都属于初等函数。连续性证明证明初等函数的连续性，通常采用极限的定义或利用已知函数的连续性。常见结论初等函数在其定义域内都是连续函数，这在数学分析中是一个重要结论。间断点的分类第一类间断点函数在该点处有左右极限且极限值相等。该点称为可去间断点。可去间断点可以通过重新定义函数值来消除间断性。第二类间断点函数在该点处左右极限存在但不相等，或左右极限中至少有一个不存在。该点称为跳跃间断点。无穷间断点函数在该点处左右极限中至少有一个为无穷大，该点称为无穷间断点。第三章导数概念导数是微积分的核心概念之一，它反映了函数在某一点的变化率。导数的概念不仅在数学领域有广泛应用，还与物理、经济、工程等众多学科密切相关。导数的定义及几何意义导数定义导数表示函数在某一点的变化率。几何意义导数表示函数曲线在该点切线的斜率。函数图像导数可以帮助我们分析函数图像的形状、变化趋势和极值。导数的计算规则求导公式常用的导数计算公式，例如常数的导数为0，幂函数的导数，三角函数的导数等。求导法则包含求导法则，例如求和、求差、乘积、除法的导数。链式法则计算复合函数的导数，例如y=f(u),u=g(x)的导数y'=f'(u)*g'(x)。高阶导数11.二阶导数当一个函数的导数是另一个函数时，可以对导数再求导，得到二阶导数。22.高阶导数的定义函数的n阶导数就是对该函数进行n次求导得到的函数，它描述了函数的变化率的變化率。33.常见函数的高阶导数对于一些常见的函数，例如多项式函数、指数函数、三角函数，它们的n阶导数可以很容易地求出。44.高阶导数的应用高阶导数在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用，例如在曲线的凹凸性分析和泰勒展开式中。隐函数的微分定义隐函数是指无法直接表示为y=f(x)的函数，其关系式通常用方程的形式表示。对于隐函数F(x,y)=0，要计算y对于x的导数，需要使用隐函数微分法。步骤对方程两边同时求导。使用链式法则求导。将所有y'项移到一边，其余项移到另一边。解出y'，得到y对于x的导数表达式。函数的单调性与极值单调性函数的单调性是指函数值随自变量的变化趋势。极值极值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。求单调性可以通过导数的正负号来判断函数的单调性。求极值可以通过求导数为零或不存在的点来找到极值点。第四章微分学的应用本章将介绍微分学在数学、物理和工程等领域的应用。通过微分学，我们可以分析函数的性质，解决实际问题，并进行更深层的探索。平面曲线的切线与法线切线切线是与曲线在某一点相切的直线，它表示曲线在该点处的瞬时方向。法线法线是与切线垂直的直线，它垂直于曲线在该点处的切线。应用切线和法线在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如计算物体在曲线路径上的速度和加速度。微分中值定理11.拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)上至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).22.柯西中值定理如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且g'(x)在(a,b)上不为零，那么在(a,b)上至少存在一点ξ，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ).33.应用微分中值定理可以用来证明一些重要的结论，例如泰勒公式、积分中值定理等.洛必达法则极限计算洛必达法则应用于求解极限，尤其是在无法直接计算的情况下。条件判断使用该法则需要满足特定条件，例如分母与分子均趋近于零或无穷大。导数运算洛必达法则利用导数的性质，通过计算导数求极限。应用范围该法则在数学分析、微积分以及相关领域广泛应用。函数的凹凸性与拐点凹凸性函数图像的凹凸性是指函数图像的弯曲方向。拐点拐点是函数图像凹凸性发生变化的点。二阶导数二阶导数可以用来判断函数的凹凸性，并找出拐点。图像分析通过图像可以直观地观察函数的凹凸性与拐点。函数的渐近线水平渐近线当自变量趋于正负无穷时，函数的值趋于一个常数，则该常数对应的直线称为函数的水平渐近线。例如，函数y=1/x的水平渐近线为y=0。垂直渐近线当自变量趋于某个值时，函数的值趋于正负无穷，则该