工程力学 第5版 课件 第6章 动力学基本方程和动静法

第六章动力学基本方程和动静法运动学只研究如何描述物体的运动，静力学只研究作用于物体上的力系的简化和平衡条件，并不考虑当作用于物体上的力系不满足平衡条件时物体将如何运动，或其运动状态将发生何种改变。动力学研究的是物体的运动与其所受到的力之间的关系。目前我们研究的对象是质点、质点系和刚体，动力学是刚体力学中的核心内容。本章还将对动静法，即达朗贝尔原理做简单介绍。第六章动力学基本方程和动静法6.1质点动力学基本方程6.2质心运动定理6.3质点动力学问题的动静法6.4刚体绕定轴转动动力学方程6.5质点系的动静法第六章动力学基本方程和动静法6.1质点动力学基本方程第六章动力学基本方程和动静法6.1质点动力学基本方程IssacNewton1687《自然哲学的数学原理》6.1质点动力学基本方程牛顿第一定律（原文）每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。牛顿第二定律（原文）

运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。牛顿第三定律（原文）每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反。6.1质点动力学基本方程质点动力学基本方程牛顿第二定律质点受力作用时所获得的加速度大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。以上建立了质量m、力F、加速度a之间的关系，称为质点动力学的基本方程。

此定律是推导其他动力学方程的出发点。

若质点同时受到多个力的作用，那么其中的力F应理解为这些力的合力。6.1质点动力学基本方程质点动力学基本方程质点的加速度不仅取决于作用力，同时与质点的质量有关。较大质量的质点获得同样的加速度，显然需要更大的力。较大质量的质点具有较大的惯性。质量是质点惯性的度量。质量单位:kg6.1质点动力学基本方程质量与重力的关系以及国际单位制在地球表面上，质量为m的物体，在只有重力W作用而自由下落时，其加速度为重力加速度g。重力和质量是两个不同的概念。在不同地区，重力加速度稍有差异，物体的重力也略有不同。在一般计算中，可取g=9.8m/s2；而质量是物体惯性的度量，是物体的固有属性，它不随物体的位置变化而改变。在古典力学中，它是不变的常量。6.1质点动力学基本方程质量与重力的关系以及国际单位制国际单位制中，长度单位是m(米)，质量单位是kg(千克)，时间单位是s(秒)。力的单位为导出单位，根据牛顿第二定律，力的单位是kg·m/s，称为N(牛顿)。即是使1kg质量的物体，产生1m/s2的加速度所需施加力的大小为1N。于是质量为1kg的物体，它的重力为6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用矢量形式的质点运动微分方程直角坐标形式的质点运动微分方程6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用自然坐标形式的质点运动微分方程6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用已知运动求力问题（微分过程）1)选择正确的研究对象；2)分析作用在研究对象上的各个力，画出受力分析图；3)进行运动分析，包括速度，加速度等，必要时画出速度分析图，加速度分析图；4)建立恰当的坐标系，建立恰当形式的质点运动微分方程；5)求解未知量。6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【例题】升降台以匀加速a上升，台面上放置重力为G的重物，如图所示。求重物对台面的压力。6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【解】根据作用力和反作用力定律，重物对台面的压力为G(1+a/g)。它可以看作是两部分组成，一部分是重物的重力G，它是升降台处于静止或匀速直线运动时台面所受到的压力，称为静压力；另一部分为(a/g)G，是由物体作加速运动而附加产生的压力，称为附加动压力。令动载荷因数6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【例题】卷扬小车连同起吊重物一起沿横梁以匀速v0向右运动。此时钢索中的拉力等于物体的重力G。当卷扬小车突然制动时，重物将向右摆动，如图所示。求此时钢索中的拉力，已知钢索长为l。6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【解】小车突然制动、重物向前摆动的瞬间，j=0，此时钢索中的拉力达最大值6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【例题】如图所示，设质量为m

的质点M

在Oxy平面内运动,其运动方程为:x=acoskty=bsinkta,b,k

为常数试求作用在质点上的力F6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【解】x=acoskty=bsinkt轨迹方程：力F

的投影:矢径OM:r由此确定力F

的方向.(有心力)6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用已知力求运动问题（积分过程）已知的作用力可能是常力,也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。1)选择合理的研究对象；2)分析作用在研究对象上的力，画出受力图；3)正确进行运动分析；(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件)4)选择并列出适当的质点运动微分方程；5)求解未知量。6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【例题】如图所示，液压减振器工作时，活塞在液压缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力正比于活塞的速度v，即FR=cv，其中c

为比例常数，设初始速度为v0，试求活塞相对于液压缸的运动规律，并确定液压缸的长度。6.1质点动力学基本方程质点运动微分方程及其应用【求解】令初始条件

t=0v=v0初始条件

t=0x=0

t

∞6.2质心运动定理第六章动力学基本方程和动静法6.2质心运动定理质心的概念点C称为质点系的质量中心，简称质心在重力场中，质点系的质心与重心的位置是重合的。质心反映了构成质点系的各质点质量的大小及质点的分布情况；而重心是各质点所受的重力组成的平行力系的中心，在失重状态下，重心也就没有意义了，面质心却始终存在。6.2质心运动定理质心运动定理求导求导质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上外力的矢量和(或外力系的主矢)，这就是质心运动定理。6.2质心运动定理质心运动定理质心运动定理的投影表达6.2质心运动定理质心运动守恒定理根据质心运动定理：内力不能影响质心的运动，如果作用在质点系的外力的矢量和等于0，则质心位置不变或作匀速直线运动。如果作用与质点系的外力在某一轴上的投影的代数和等于0，则质心在该轴上的速度投影保持不变；若质心的速度投影原来就等于0，则质心沿该轴就没有位移。6.2质心运动定理【例题】

如图所示，电动机外壳和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转子的质量为m2，由于制造或安装误差，转子的质心O2到转轴中心O1的距离为e，转轴中心的高度为h，已知转子以等角速度w

转动。（1）如果电动机用螺栓固定在刚性基础上，求电动机机座水平和铅直方向的约束力。（2）如果电动机机座与基础之间没有螺栓固定，且接触面绝对光滑，初始时，j

=0,v10=0,v20=v20y=ew，求电机外壳的运动。6.2质心运动定理【例题】（1）电动机固定在基础上的情形受力分析运动分析由质心运动定理可得：解得水平和铅直约束力：6.2质心运动定理【例题】

电动机约束力是时间的正弦和余弦函数，并存在最大值和最小值。其中，由重力引起的约束力称为静约束力，由转子的运动引起的约束力称为动约束力。动约束力与静约束力的差，称为附加动约束力。由转子偏心引起的力将使电动机和机座发生振动。6.2质心运动定理【例题】（2）电动机没有固定的情形系统初始：系统质心：在

t

瞬时，设电动机位移为x，则系统质心由xC0=xC这就是电动机在水平方向的运动方程，它是一个平衡中心在的简谐运动。6.2质心运动定理【例题】此时电动机在铅直方向的反力Fy在没有基础固定时，电动机可能脱离地面跳起当：即：电动机将会跳起。6.2质心运动定理【课堂思考与讨论】【问题】均质杆长l，直立在光滑的水平面上，试求它从铅垂位置无初速度倒下时，端点A相对图示坐标系的轨迹。【解答】水平方向无外力，且初始静止，因此质心水平位置守恒。任意时刻如图所示：轨迹为椭圆6.3质点动力学问题的动静法第六章动力学基本方程和动静法6.3质点动力学问题的动静法

假设质量为m的质点M,受到主动力F和约束力FN的作用,沿曲线运动,产生加速度a,如图惯性力FI:则形式上有:

表明:在任一瞬时,作用于质点上的主动力,约束反力和虚加在质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.这就是质点的达朗贝尔原理.6.3质点动力学问题的动静法

当质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时,由于质点本身的惯性,对施力物体产生反作用力,这种反作用力称为质点的惯性力.

惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积,方向与加速度方向相反,但作用于施力物体上.6.3质点动力学问题的动静法

例如，人推车前进，这个力向后作用在人手上。正是通过这个力，我们感到了物体运动的惯性，所以这个力就称为惯性力。对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于ma的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生改变的物体上。6.3质点动力学问题的动静法直角坐标系投影自然坐标系投影6.3质点动力学问题的动静法求解有约束质点系动力问题的一个原理，是法国数学家JeanleRondd'Alembert于1743年最先提出的,因而得名。达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍方法，即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。JeanleRondd'Alembert18世纪法国启蒙运动的先驱历史上第一个偏微分方程的提出者-波动方程无神论者第一个把时间作为第四维的科学家6.3质点动力学问题的动静法【例题】

重量为W的小球M系于不可伸长的软绳下端，软绳的长度为l。小球以匀速率v绕铅垂线做圆周运动，绳与铅垂线始终保持a

角，求绳子的拉力FT和小球的速率v。6.3质点动力学问题的动静法【求解】运动分析受力分析建立形式上的平衡方程并求解求得：6.3质点动力学问题的动静法如图所示，物块A放在车的斜面上，斜面倾角为30°，物块A与斜面的摩擦因数ms=0.2。若车向左加速运动，试求物块不致沿斜面下滑的加速度a的大小。【例题】6.3质点动力学问题的动静法【求解】以小物块A为研究对象，并视其为质点。其惯性力的大小为FI=(G/g)a6.3质点动力学问题的动静法【求解】6.3质点动力学问题的动静法如图所示，球磨机的滚筒以等角速度w绕水平轴O转动，内装钢球和需要研磨的物料。钢球被筒壁带到一定高度后脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下。已知滚筒的半径为r，试求脱离处半径OA与铅垂线的夹角a。【例题】6.3质点动力学问题的动静法以最外层的一个钢球为研究对象【求解】钢球作匀速圆周运动，只有法向加速度。惯性力大小惯性力方向：通过点A背向滚筒中心O6.3质点动力学问题的动静法【求解】钢球脱离筒壁的条件为此种情况相当于钢球始终不脱离筒壁对球磨机而言，应要求6.4刚体绕定轴转动动力学方程第六章动力学基本方程和动静法6.4刚体绕定轴转动动力学方程定轴转动刚体的动力学基本方程取刚体上任一点i，其质量为mi，其上作用有外力Fi，在它上面虚加切向(t方向)惯性力FIit、法向惯性力FIin后，形成一个形式上的平衡力系，故有将上式对于全部质点进行累加，则有6.4刚体绕定轴转动动力学方程定轴转动刚体的动力学基本方程定义刚体对轴O的转动惯量

刚体绕定轴转动时，刚体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和外力矩之总和用M表示，则可得到刚体绕定轴转动的动力学方程6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量转动惯量

r:微质量dm

到a轴的垂直距离单位:kg·m2质量连续分布的情况：量纲:dimJ=ML2

转动惯量是正标量，其大小不仅与刚体质量大小和质量的分布情况有关，还与对应的a轴的位置有关。

转动惯量是刚体定轴转动时惯性的量度。6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量引入回转半径转动惯量

对于均质刚体，回转半径仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量均质等厚薄圆板如图6-14所示，其半径为R，质量为m，求它对于通过板质心C且垂直于圆板的轴zC的转动惯量。【例题】6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量【解】6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量平行移轴公式

如图所示两个平行轴，其中一轴通过刚体质心，另一轴为与质心轴平行的任意轴。

若d

为两平行轴的垂直距离，则有:

刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量如图所示，刚体的质量为m，对z1轴的转动惯量为J,求对z2轴的转动惯量。×6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量【例题】直杆的质量:m1

均质圆盘质量:m2

在某瞬时角速度等于

w,计算系统对垂直于平面且通过O点的轴的转动惯量。6.4刚体绕定轴转动动力学方程转动惯量【解】注意平行移轴公式在本例中的应用6.4刚体绕定轴转动动力学方程【例题】PhysicalPendulum(复摆)

摆的质量:m

摆的质心位置:C摆对悬挂点的转动惯量JO求摆微幅摆动的周期T6.4刚体绕定轴转动动力学方程【解答】分析作用在刚体上的力根据刚体定轴转动微分方程若j

很小6.4刚体绕定轴转动动力学方程【解答】注意,若已知JC则有JO=JC+ma2利用本例，可以通过测出零部件的摆动周期，再求出它的转动惯量。6.4刚体绕定轴转动动力学方程6.4刚体绕定轴转动动力学方程

系统重心越高，系统对地面支点的转动惯量越大，转动惯量的大小与重心对地面高度的平方成正比，而人体在失衡倾斜一个小的角度时，使人体旋转的重力矩也增加了，在倾斜角度相同时，重力矩的大小与重心的高度成正比，于是重心越高，重力矩产生的角加速度越小，产生同样倾斜角度所用的时间越长，人体就越有时间通过肢体运动调整自己重心的位置，处于动态平衡状态

分析：为什么可以轻易地顶一个鸡毛箪子在鼻尖上，使它处于动态平衡不倒下来，但却不容易顶一支铅笔在鼻尖上，使它不倒下来。6.4刚体绕定轴转动动力学方程【例题】

均质杆OA长l,质量为m,其O端用铰链支承，A端用细绳悬挂，如图所示。试求将细绳突然剪断的瞬时，铰链O处的约束反力。6.4刚体绕定轴转动动力学方程【解答】分析作用在杆上的力及其运动量:在剪断绳子的瞬时6.4刚体绕定轴转动动力学方程【解答】根据质心运动定理得到6.4刚体绕定轴转动动力学方程突然解除约束问题这类问题的力学特征是，在解除约束后，系统自由度会增加；解除约束前后的瞬间，其一阶运动量(速度、角速度)连续，但二阶运动量(加速度、角加速度)会发生突变，因此，突然解除约束问题属于动力学问题，而不是静力学问题。在外力已知的情况下，应用刚体定轴转动微分方程可以求得刚体的角加速度，在刚体的运动确定后，如果要求转轴处的约束力，可以应用质心运动定理。6.5质点系的动静法第六章动力学基本方程和动静法6.5质点系的动静法应用动静法解质点系的动力学问题时，需要在质点系中每个质点上假想地加上惯性力。刚体是由无数质点组成，对所有点计算惯性力，显然是不可能做到的。若应用静力学中力系简化的方法，将刚体上每个质点的惯性力组成的惯性力系加以简化，得到与此惯性力系等效的简化结果，则可直接在刚体上假想地加上此简化结果，从而省去了逐点施加惯性力的复杂过程。下面研究刚体作平面运动时惯性力系简化的结果。6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化惯性力系的主矢和主矩

与一般力系一样,所有惯性力组成的力的系统,称为惯性力系。惯性力系中所有惯性力的矢量和称为惯性力系的主矢。

惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。

惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力偶矩矢的矢量和称为惯性力系的主矩。

惯性力系的主矩和刚体的运动形式有关.6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化刚体平移（平动）时惯性力系的简化结果

刚体平移时,刚体上各点加速度相同,惯性力系构成一个同向的空间平行力系.将惯性力系向质心C简化:

惯性力系对质心C的主矩:由于:由于质心C

是简化中心,rC=06.5质点系的动静法刚体惯性力系简化刚体平移（平动）时惯性力系的简化结果上述结果表明:刚体作平移时,惯性力系的简化结果为一个通过质心的合力FIR,其大小等于刚体的质量和质心加速度的乘积,方向与质心加速度的方向相反.6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化刚体作定轴转动

仅讨论工程中常见的比较简单的情况.设刚体具有质量对称平面，且转轴垂直与质量对称平面。惯性力系主矢:由质心公式:6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化刚体作定轴转动惯性力系对坐标原点O

的主矩:6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化刚体作定轴转动–几种特殊情况刚体转轴不通过质心,作匀速转动6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化刚体绕质心轴转动,角加速度a不等于0质心加速度aC=0

惯性力系仅简化为一个力偶，其力偶矩：刚体作定轴转动–几种特殊情况6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化刚体作定轴转动–几种特殊情况刚体绕质心轴匀速转动质心加速度aC=0刚体角加速度a=0

惯性力系向点O简化的主矢和主矩都等于0。6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化平面运动刚体向质心C简化简化条件：刚体的质量对称面平行于运动平面=0=06.5质点系的动静法刚体惯性力系简化【课堂思考与讨论】已知均质杆长为

L，质量为m，角速度为零，角加速度为a1、将惯性力系向质心C简化2、将惯性力系向转轴A简化3、将惯性力系向杆上点B简化6.5质点系的动静法刚体惯性力系简化1、将惯性力系向质心C简化2、将惯性力系向转轴A简化3、将惯性力系向杆上点B简化6.5质点系的动静法质点系的动静法仅讨论平面问题6.5质点系的动静法质点系的动静法因为

质点系在运动的每一瞬时，作用于质点系上所有的外力与虚加在质点系上的惯性力系，在形式上构成一平衡力系。这就是质点系的动静法。运用动静法来解决刚体及刚体系统的动力学问题，特别是求解约束力较为方便。6.5质点系的动静法质点系的动静法直角杆ABD，质量为m=6kg。以绳AF和两等长且平行的杆