云南省昆明市某中学2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试题

云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上

学期期中考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数z=W,则z+i=（）

i

A--1B-l+2iC--l+2iD-1

2.集合4={耶尤2-10尤+3<0},贝严，是sm尤>0的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.,既不充分也不必要条件

3.已知直线。，b,c,平面or,p,下列选项能推出“〃6的是（）

A.a±c，b±cB.a,6与所成角相同

C.aPa,a〃夕，aC\/3=bD.aPaJbua

4.如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民

a的数为（）

D.10

5.已知函数/（%）=/,记2

试卷第11页，共33页

A.B.

a<b<ca<c<b

CD

b<a<c'c<a<b

6.已知直线♦x-阳+1=°与幻*+>-加+2=。交于点尸，点4G°）,则的最

大值为（）

A-2V2B.2+&C.3D.4

7.已知三棱锥尸的所有顶点都在球0的球面上，其中AP/B为正三角形，YABC为

等腰直角三角形，ZACB=~,"3=2,PC=址，则球。的表面积为（）

2

A20兀&8兀28兀「32兀

A.D.C.D.

333

22

8.双曲线c：3—/Ui?。®。,，®。]的左焦点坐标为生£一。,0勺，直线

/：y=9（x+c）与双曲线。交于“'8两点（其中A在第一象限），己知°片。/=-C2,

耶=/即（O为坐标原点），则;1=（）

二、多选题

9.函数/（x）=cos[s+：ko</<l）的部分图象如图所示，则（）

试卷第21页，共33页

A.的最小正周期为3兀

B.的图象可由y=cos|x的图象向左平移§个单位得到

C.若点（X。，%）在jH/fx®的图象上，则点七一天,-为］也在的图

象上

D.若点（X。，为）在jH/Sx®的图象上，则点，］一%,％］也在》的图

象上

10.己知定点/（TO）,3（1,0）,动点尸到8的距离和它到直线/：x=4的距离的比是常数

则下列说法正确的是（）

2

2

A.点尸的轨迹方程为：土+/=1

4-

B.P,A,8不共线时，AP/8面积的最大值为百

C.存在点尸,使得N/p8=90。

D.0为坐标原点，忸0|+2忸则的最小值为4

11.在棱长为1的正方体48co中，。为AC；的中点，。为48的中点，动点尸

试卷第31页，共33页

满足方=%存+〃而，其中4e[0,1]，〃式05，则（）

A.当"二°,时，平面〃尸。截正方体所得截面为四边形

B.当4+〃=2时，4Pl平面08/

c.当，+〃=1时，P/+PG的最小值为也上，!

2

D.当op=叵时，动点P的轨迹长度为叵

64

三、填空题

12.圆锥的底面积为兀，其母线与底面所成角为“，且c°sO=巫，则该圆锥的体积为一

10

13.在V"8C中，内角a8,C所对的边分别为a,b,c.已知"“方。的面积为”祖,

4

b-c=22兀,sinC

’r则嬴?

14.已知函数〃x）=lnx+f_ax+2有两个极值点，则。的取值范围为一；若〃x）的极

小值小于零，则a的取值范围为

四、解答题

15.甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的

骰子，如果点数为1或2,从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3,4,5,6,从乙袋中

随机摸出2个球.

试卷第41页，共33页

(1)记摸出红球的个数为X,求X的分布列和期望E(x)；

(2)已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率.

16.已知在长方形/geo中，4D=2，A8=4，点”是边CD的中点，如图甲所示•将

AADM沿AM翻折到APAM,连接PB,PC，得到四棱锥P-ABCM,其中尸g=2行，

如图乙所示.

(1)求证：平面平面/BCM；

(2)求平面尸和平面尸3c夹角的余弦值•

17.已知函数/（x）=x2+0a）x+l.

(1)若直线y=3是曲线V=/(x)的一条切线，求。的值;

e

⑵若/(X)在［0,2］上的最大值为1，求。的取值范围•

18.设厂为抛物线%/=2内储＞0)的焦点，过可［夕3作抛物线准线的垂线，垂足为

M△EAW的面积为

⑴求抛物线"的方程；

(2)直线点》-了-1=0与£交于点4B(/在X轴上方)，直线小了一了一6=0仅＞1卢

试卷第51页，共33页

£交于点C,D(。在x轴上方)，直线/c与8。的交点为〃

①证明：〃在一条定直线上；

②若〃坐标(4,2),求AFCD的面积.

19.已知数列｛%｝的前〃项和为耳，若耳=(。％+疗(“eN*),其中，qeR,reN*,则

称｛%｝为“P-q-r数列”.

⑴若｛(｝是“2-2-2数列”，求满足条件的一个

(2)若｛叫是“""I数列",且证明：*安；

"2P2

(3)是否存在等差数列｛%｝是“p-4-r数列”？若存在，求出所有满足条件的｛%｝,并指

出(。一l)2+g_])2取最小值时｛叫的通项；若不存在，请说明理由

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案DACABBCCACBD

题号11

答案BC

1.D

【分析】根据复数的运算法则计算.

【详解】z+i=—+i=(1+i)(~i：)+i=-i+l+i=l,

ii-(-i)

故选：D.

2.A

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】由已知/={x|；<x<3},由0<；<x<3爪，因此充分性满足,

但当x=2时，smx=l>。，但亚冷，必要性不满足，

22

应是充分不必要条件，

故选：A.

3.C

【分析】根据两直线的位置关系，结合直线与平面的位置关系判断各选项.

【详解】选项A,直线凡方可能相交，可能平行也可能异面，A错;

选项B,直线°力可能相交，可能平行也可能异面，B错；

选项C,如图，apa,a///3,aC\/3=b,

过a作平面7rlor=c,〈alia,，a//c，

同理过。作平面5口0="，〃户，

:,c/Id，又cua,d(za<•-d//a>而夕0夕=6，du尸，

答案第11页，共22页

•,dllb''-allb-C正确.

选项D中，直线应6可能平行也可能异面，D错；

故选：C.

4.A

【分析】首先判断。位于［7.2,10.2)之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论.

【详解】因为3(0.077+0.107)=0.552<0.60，3(0.077+0.107+0.043)=0.681>0,6，

所以a应在［7.2,10.2),

所以3(0.077+0.107)+(A-7.2)x0.043=0.60>解得”8.316•

故最接近8.316的数为8s

故选：A.

5.B

【分析】确定函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性转化，结合对数函数与指数函数性质比

较大小，再利用单调性得结论.

【详解】是偶函数，在9+°°)上是增函数，

b=/(log31)=/(-log32)=/(log32),

log32>log3V3=1,5下=5<：'

答案第21页，共22页

即0<5下<；<1。832，所以/(5《)</(；)</(logs?)，即.〈。〈方，

故选：B.

6.B

【分析】由直线方程确定尸点轨迹是以"N为直径的圆，圆心为2(0,-1),求出A到圆心距

离后再加上半径即得最大值.

【详解】由直线4的方程是x-〃V+1=0知直线4过定点直线的方程是

加x+y-〃2+2=0知直线过定点N(l,-2),

又m=0时两直线方程分别为x=-1和y=-2，它们垂直，

时，两直线的斜率分别为上和，而(_")=_],因此它们垂直，

mm

即4-L4-

所以P点轨迹是以""为直径的圆，圆心为以°'一D,半径为r=(一J1)2+2=后,

又|/同=4")?+1=2,

所以|/训最大值是2+收，

答案第31页，共22页

7.C

【分析】找到球心的位置，计算出球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】依题意，AB=PA=PB=2,AC=BC=日

设的中点为q,则Q是等腰直角三角形48。的外心,

设连接POi＞设o2是等边三角形PAB的外心，则P0,：=2:1，

pO\=6,co、=i,pc=4i，在三角形尸eq中，

1+3-7V3

由余弦理得COSZPO{C=----,

2x1x62

所以“尸℃为钝角，且/尸℃=*

由于PQ1AB,CO,LAB'所以NPqC是二面角尸一N8-C的平面角,

过«作平面48。的垂线，过2作平面尸48的垂线，设两条垂线相交于0,

则0是三棱锥p_ABC外接球的球心.

15兀兀兀

。。2=严^^00,02=--

23

所以=2002=平

所以外接球的半径R=02=

728兀

所以外接球的表面积为47r斫=X—=---------

33

故选：C

答案第41页，共22页

【点睛】思路点睛：

构造辅助线与几何位置确定：首先通过辅助线构造，确定了三角形的中点和外心，从而找

到球心的位置.

使用余弦定理判断角度：利用余弦定理来判断三角形中的角度性质，以此作为进一步计算

球半径的依据.

计算半径并推导表面积：通过几何关系求出外接球的半径，并利用球的公式计算其表面积.

8.C

【分析】利用已知可求得点儿的少)，利用点在直线上可求得,=囱。，b=区,进而利用

a

片2=4瓦3,求得点2(2%_c,或)，代入椭圆方程求解可.

a

【详解】设/(尤,y)(X>0/>0),所以。3=(x,y)，西=(-c,0)

由西•厉=一02,可得一XC=-02,解得X=C,

代入双曲线方程E一心=1,可得且_廿=1,解得尸里，

a2b2a2b2ya

所以/(c，9，又点4(c,\)在/：y="(x+c)上，所以d="(c+c)

所以/二述4，所以/一/=空或，所以3/-2也%一3a2=0,

33

答案第51页，共22页

所以(V§c+a)(6c-30)=0，解得c=所以6=收”，

设.⑼，由电=2帚，所以5+c,〃)=2(2c,&，解得相=2日…=型,

aa

所以8(2立-(:,生)，又点3(22c-c,生)在双曲线。:£-匕=1上,

aacrb-

/、23(22-1)2-2%=110A2-12A+2=0

所以(24-1)2,2(丁)所以，所以

------0------------0---=1

ab

所以5日62+1=0,所以(5"1)("1)=0,解得为=g或"=%舍去).

故选：C.

【点睛】思路点睛：利用向量的坐标运算求得点A的坐标，进而表示出点R是关键，在平

AD

面几何中注重向量的运算.

9.AC

【分析】由图象确定函数解析式，然后由周期性判断A,由图象变换判断B,由对称性判

断CD.

【详解】由已知/(W^cos(5-+-)=0,又(女,0)在“X)的减区间上,

8

二匚I、I38c兀兀16左+2

所以---+-=2ft,+-Z左Gco=女WZ,

8423

答案第61页，共22页

„0<®<l.2

又，所fiC以h。=一,

3

2兀

即/(x)=cos(jx+-),

7=多=3兀

最小正周期是2，A正确;

3

y=cos|x的图象向左平移1个单位得到＞=cos=cos］§x+%］的图象，B错;

图象关于点（包,0）对称,则竭-X（=yfX所以，若点（不，%）在丁目/曾莉的图

84

象上，则点［曰一］也在jH/Sx®的图象上C正确,

点（-%,0）不是函数图象的对称点，若点（X。，%）在的图象上，则点

8

不一定在的图象上，所以D错误，

故选：AC.

10.BD

【分析】设P（x,y），用坐标表示出题设条件化简即得轨迹方程，从而判断A,由椭圆的性

质确定三角形面积最大值判断B,利用以为直径的圆与椭圆是否相交判断C,把4尸回

转化为尸到直线/:x=4的距离0尸01后，当。，尸,C共线时取得最小值，从而判断D.

答案第71页，共22页

【详解】选项A,设玖“J）,则jiy+v,1,平方整理得旦+《=i，即为尸点轨迹

\x-4\243

方程，A错；

选项B,由轨迹方程知P点轨迹是椭圆，a=2,b=6由于4-3=1，椭圆的焦点是42,

当尸点为椭圆短轴顶点时，△以"面积最大，此时面积为S=LX2X^=VLB正确；

2

选项C,由于％=®>i=c，因此以为直径的圆与椭圆没有交点，因此不存在P,使得

ZAPB=90°-C错；

选项D,如图,作尸C_U，C为垂足,则1Pq=2|尸四,\PO\+2\PB\=\PO\+\PC\'

当且仅当O,尸,C共线时，|po|+|pq取得最小值4,即|po|+21P目的最小值为4,D正确.

【详解】AP=AAB+piAD'则尸在平面/BCD中，

选项A,当“二°,时，尸在棱上，"上，且

延长尸。交C8延长线于s，则8S=4P，过D悍DTHPS交CB于T

DP^T1T

则是平行四边形，所以ST=DP>L,所以在线段上（不含端点），

2

答案第81页，共22页

作交GA于点M，则M在线段4G上（不含端点），

连接MS交台用于五，连接。R，则截面为五边形PQ?Aff）i，A错;

选项B,当为+〃=2时，则2=〃=1,即万=万+赤=就，P与C重合，

如图，正方体中44]_L平面44G2，片"u平面44G2，贝1

又用2_L4C，A41c4cl=4，X4]，4Gu平面A4£C，

所以耳〃_L平面44]C]C，而&Cu平面44clC，所以耳同理/月，/©，

又因为N8JBQi=Bl，481,耳〃u平面48.，

所以&C_L平面42Q]，即4Pl平面442，B正确;

选项C,当彳+〃=1时，P在8。上，把等腰直角△/瓦）和等边AMG沿3。摊平到一个平

面上，

如图，则当4P，G三点共线时，/P+GP最小，

答案第91页，共22页

由图可知这个最小值是1+1*拒=立上"，c正确;

222

D

选项D,如图，设〃是底面45co中对角线的交点，即为底面中心，

OH_*ABCDPHUREABCD.OH1PH曰八八〃1

由正方体性质知平面，平面，则n，易知=

2

所以P/Z=slOP2-OH2=/（乎PT，=g'

因此尸点轨迹是平面,BCD内以“为圆心，'［为半径的圆在正方形“'0。内的部分,

3

正方形边长是1,因此该圆与正方形的四边都相交，设其与的交点为/“，

由对称性得

=HJ=HI'

是正三角形，ZIHJ=~,

3

所以动点尸的轨迹长度为如南萍屋匚=工,D错,

3339

答案第101页，共22页

故选：BC.

【点睛】方法点睛：本题考查向量基本定理的应用，考查空间图形的截面与轨迹问题.解

题时需要利用向量运算的法则确定尸点轨迹，然后再根据空间几何知识求解。对空间线段

和的最小值问题可以把空间问题平面化，利用平面上两点间距离线段最短的性质求解.

12.71

【分析】根据题意可求出圆锥的底面半径与母线的长，然后利用勾股定理求得高，从而可

求体积.

【详解】设圆锥的底面半径为『，母线为/,

因为圆锥的底面积为兀，所以3m2=,解得r=l,

又因为母线与底面所成角为"，且cosO=巫，所以二=巫，解得/=厢，

10I10

所以圆锥的高为：〃=（）_1=3，

所以圆锥的体积为.

3

故答案为：兀.

3

13.-

5

【分析】由面积公式求得儿，结合已知求得仇。,再利用正弦定理可得结论.

【详解】由已知s=」bcsinZ='bcsin@'

加c2234

由p-c=2,解得件5（负值舍去），

[be=15[c=3

答案第111页，共22页

sinCc_3

所以

sin5b~5

故答案为：

5

14.（2血,+oo）（3,+8）

A8=—>

a八

【分析】空1：求导，利用导数有两个正根可得%1+%2=->0,求解即可；空2：利用空

1

X1X2=~

1，可得函数/（X）的单调性，可得x=x?时，函数/（X）取得极小值，由已知计算可得超>1，

根据q=2%+,可求结论.

x2

【详解】空1：函数〃x）=lnx+/_ax+2的定义域为（0,+s）

求导得了，（x）」+2x-a=”W±l，令/'（x）=°,可得2X“6+I=°

xX

因为函数［（x）=ln尤+--办+2有两个极值点，所以2--办+1=0有两个不等的正根，

x1,x2x1<x2a>2^2

A8=(2d—>

a八

设两根分别为且,所以可得Xl+X2=">0,解得

1

X1X2=2

所以。的取值范围为（20,+00）；

答案第121页，共22页

空2：由(1)可得o<x<X］时，f,^x)>0?当为<%<%2时,

当%>12时，/所以％=%时，函数/(%)取得极小值，

所以丫g上且2只-陋+1=0,即办2=2尤+1,

242

极小值〃％)=1眸+¥-仁+2<0，所以lnx2-*+l<0，

令g(Z)=lnzY+1,求导可得ga)=J__2%=匕过<0，

x2x2

所以8(%)=111丁君+1在(字内)上为减函数，

又g⑴=lnl—F+1=0，所以工2>1时，g(x2)<0»

由"2=2*+1,可得4=2%+，，

x2

令人(%2)=2%2+,，可得〃'(%2)=2—-y>0,

*^2

所以〃(%)=2%+工在(1'+°°)上单调递增，心2)>如)=3,所以"3,

x2

所以a的取值范围为(3,+oo).

故答案案为：(2夜,+oo)；(3,+⑹・

【点睛】思路点睛：函数有极值点转化为导数为0的方程的根的问题，进而可转化为函数

的零点问题.

15.(1)分布列见解析，期望为4；

3

答案第131页，共22页

【分析】（1）分别求出从甲袋中摸出两球，两红，一红一白，两白的概率，从乙袋中摸出

两球，两红，一红一白，两白的概率，再计算出从甲摸球和从乙摸的概率，利用独立事件

的概率公式求得分布列，然后由期望公式求得期望；

（2）由（1）得两球是一红一白的概率，及从乙袋中摸得一白一红两球的概率，再由条件

概率公式计算.

【详解】（1）由题意X的可能值是0,1,2，

甲袋2个红球、2个白球，分别编号为红1,红2,白1,白2,

任意抽取2球的可能情形是：红1红2,红1白1,红1白2,红2白1,红2白2,白1白2

共6种，

因此抽取的两球均红的概率为一红一白的概率为3=2,两球均白的概率是工，

6636

乙袋1个红球、3个白球，3个白球编号为1,2,3，

抽取2球的可能情形有：红1,红2,红3,12,13,23共6种，

311

抽取的两球均红的概率为0,一红一白的概率为士=上，两球均白的概率是上，

622

又抽取的球从甲袋抽取的概率为47=上1，从乙袋抽取的概率是4々=74,

6363

117171?2151

所以P(X=0)=—x—+—x—=’,+—x—=p(x=2.)=-x-=

3632183293618

X的分布列为:

答案第141页，共22页

751?

MBH>3£1（X）=0x—+lx-+2x—=-；

189183

（2）由（1）知两球一红一白的概率是耳=*,一红一白两球是从乙袋中抽取的概率是

19

„211

P?——x—=一,

323

]_

P33

所以在摸出的2个球是1红1白，这2个球来自乙袋的概率D尸=工2=号=三.

9

16.（1）证明见解析.

11

【分析】（1）证明PM1BM,从而证得BAf_L平面/p/0，再由面面垂直的

判定定理得证面面垂直；

（2）以河为原点，过河平行于C8的直线为x轴，吹为V轴，过w平行于2Vp的直线为

z轴建立空间直角坐标系，求出平面P4W和平面尸8c的一个法向量，则法向量夹角的余

弦值得二面角的余弦值.

【详解】（1）连接因为M是CD中点，所以〃/*/2,2。万，

AM=BM=yjZ9+2?=272

AM2+BM2AB2,所以

又PB=2也，所以PA/2+3河2=尸台2,所以尸河_L8”,

AM^PM=M，平面/PM，

答案第151页，共22页

所以平面/PM，又因为BMu平面N8CW

所以平面APM，平面ABCM；

（2）取NM的中点N，连接PN，则尸N_LNAT又平面4PM_L平面48cA/，平面

APMn平面ABCM=AM，

所以PN?平面48cM）

PN^-AM=42,

2

以初为原点，过M平行于C3的直线为X轴，MC为y轴，过“平行于NP的直线为z轴

建立空间直角坐标系，如图,

则4(2,-2,0)，8(2,2,0)，N(l,T,0)，P(1,T,/)，C(0,2,0),

M4=(2,-2,0),CB=(2,0,0),Aff=(1,-1,V2),CP=(1,-3,A/2);

设平面尸4M的一个法向量是J=（X］，M，Z），

玉=1H=(1,1,0)

n•MA=2xx-2yl=0

则,取得

n-MP=xl-yi+近Z[=0

设平面MC的一个法向量是五=（%,%,z2），

答案第161页，共22页

y2-V2m=(0,V2,3)

mCB=2X2=0

,

则m-CP=x2-3y2+42z2=0取,得

__m-nV2Vil

cosm,n=,,,,=——T=='

|m||w|V2xVfT11

所以平面和平面尸'C夹角的余弦值为1.

11

17.⑴”。

(2)[3-e,+8)

【分析】(1)求导，令/(力=0,可得％或%=1，分类讨论计算可得结论；

(2)=,分心。，0<a<1,a=1,1<a<2,“22五种情况讨论可

得结论.

【详解】(1)因为切线为歹=士，所以切线斜率为0,

e

2-

由「()2x+(1—Q)—/(1Q)1-]—%+^6Z+1^X^7

令/，(x)=0,角军得％=〃或x=l,

若了=；是函数在“一"的切线，则有了⑷/2+(—”+1=3,

所以=?=1即3e"=e(a+l),

令g(a)=3e"-e(a+l)，求导得g<a)=3e"-e，令g[a)=。，解得a=l-ln3,

答案第171页，共22页

当Q<1-ln3时，gr(6z)<0，函数g(q)在(-oo,l-ln3)上单调递减，

当。〉1-ln3时,g，(a)>0,函数g(q)在(1-In3,+8)上单调递增，

所以g(l-如3尸3「i3一一次3+1)=34一e+e(ln3-1)=e(ln3-1)>0,

所以3e"=e(a+1)无解；

若y=m是函数在x=l的切线，/⑴」+(之)43,解得4=0；

eee

(2)因为/⑼少竺.=1，

因为/'(x)==(xq)(xl),

令r(x)=0，解得x=。或x=l，

当a40时，若0<x<l，(口)>0，函数/(x)在［01］单调递增，

所以/(I)>/(0)=1不符合题意，

当0<a<1时，

若0<x<a时，/(x)<0>函数/(尤)在(-8,a］单调递减，

若a<x<l，尸3>0,函数/(x)在［。，1］单调递增，

若x>l，/(尤)<0，函数［(x)在口,2］单调递减，

所以。时，函数在丫_1时取得极大值，

所以/⑴」+(1丁)+-1，解得"'"e,又。<1,所以3-皿<1

答案第181页，共22页

当a=l,可得xe［0,2］时，/<x)<0，函数/(x)在2］单调递减，符合题意；

当1<。<2时,若0〈尤<1，((x)<0，函数〃x)在QI］单调递减，

若l<x<a，f'(x)>0,函数/(x)在［1,单调递增，

若a<x<2，/(力<0，函数在3，2］单调递减，

所以"一“时函数/(X)取得极大值，又/⑷=/+0少「+1二号,

令=e"-(a+1)，求导/(a)=ea-l>0f所以=/z(l)=e-2>0J

即e">("+D,所以空所以1<°<2时，/(x)在［0,2］上的最大值为i,

ea

当“22时，在［0,1］单调递减，/(%)在［1,2］单调递增，

/⑵=22+(1：卜2+1=,<］,符合题意，

综上所述：a的取值范围为［3-e,+8).

18.(l)/=4x

⑵①证明见解析；②色1

2

【分析】(1)根据抛物线的焦点坐标、准线方程以及三角形面积公式来求解抛物线方程.

(2)①先联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再根据交点坐标求出直线方程，进而证明

交点在定直线上.

②，先求出方的值，再根据三角形面积公式求出AFC。的面积.

【详解】⑴抛物线y=2830)的焦点/坐标为或⑼，准线方程为》=一勺

答案第191页，共22页

已知嗯M）,N（~gp）,则网=。，可明"

根据三角形面积公式的面积S=^-x|FAf|x|AfiV|=^-xpxp=2,

即#=2,解得1或I（因为。>。，舍去I）.

所以抛物线£的方程为/=4犷

（2）①设/（再必）,3（/必）,“工3皿）,。小,小4）・

联立]歹2=4%，得「_4歹_4=0,则必+8=4,必%=-4.

[x-yT=o

联立卜2=4x,得）2—4y-46=0,则％+乂=4,8乂=-46.

\x-y-b=0

金：了一切二21^—%）,代入玉=里花=正，

%]一%344

化简得%：（必+%）y=4x+M%，

同理得做：（%+%）y=4x+W

联立两直线方程，得到k乂％一%乂=必%-（4f）（4f）=4（必+乃）-16=2.

必+>3->2-^4必+>3一（4一必）一（4一P3）2（必+y3）-8

所以“在定直线y=2上.

②因为H（4,2）在直线ZC与5。的交点上，把H（4,2）代入直线/C,方程得到

必=2注一16,%=2区一16,由于乃％=-4

%—2%—2

答案第201页，共22页

2%T6*2%-16=_4,,4%乂-32（%+乂）+256=

%-2匕-2%”-2（%+%）+4

代入%+乂=4,为州=-46,,可得二1世土世=_4,可求出6=1.

-4b-4-2

所以丁⑺的面积为31_1卜乂_%|=,⑴+%）-”4=竽.

【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去

x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的

等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等

特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数

之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

19.⑴."一2"（答案不唯一）

（2）证明见解析

⑶存在；a，"””.；%=2〃-1或4=-2〃+1

【分析】（1）直接验证满足条件即可；

（2）使用数学归纳法即可证明结论；

=（27）”凶,再利用不等式方法确定

（3）先分类讨论确定所有可能的数列为为

（p_iy+（q_l）2取得最小值的情况对应的1的取值，即可确定相应的通项公式.

答案第211页，共22页

【详解】（1）当""二一2"时，有$=_2.竺」-2(2"-1)=-22+2=2%+2,故

"2-1

应=(2%+2户

所以2"是一个"2-2-2数列”.

是数列"，故（）2。，；.

（2）由于“""IS,=W"=

而%>0，故S〃〉0，从而由P2个=s〃〉0知夕

下面用数学归纳法证明：s>(«+1)3.

4/

Sa

当〃=1时，由"=P'"知H=P~a；=p-s；,所以q_]422_(1+1)2(1+1)2.

=---------------2----------------

S'下4p24p24P2_4P2

这表明结论在〃二1时成立;

假设当"二人时结论成立,即

4夕

Sz=p2a3,_,(

则由知内+i=加4+1=历同+1/)4加|Sy

所以以即

>0'

402402

2,也

1I小1)一+1

这就得到

2\p\—4P2

假设西-<-工，矛盾•

-2〃23

答案第221页，共22页

2(汇+咪+

1>&k+D+l1+J11+(左+1)左+2

所以6+i-

,故卮2=

而一2》2H21^|l\p\

所以g>(小2『,这表明结论在”=后+1时成立.

/i\2n

由数学归纳法知s工(〃+：)对任意正整数成立.

2

=s>("+(知(〃+l)t.r(〃+1

所以由p2“；42故%-

4P24P42P

(3)若存在公差为"的等差数列8«J是“Pff数列"，则由S=w+"("T)d，

〃12

%=4+5-1"S；=(M+q)2<力(〃-1)

=(p(4+("+

,以及，可知«1«+—；—d

若“=。，则(〃aj=(p%+q)2,从而(〃％),与，无关，由于rwN*，故％=0・

从而〃“=0，这就得到o=g2,所以g=o.

dwO((_八y

若，则由\"=(p(%+(〃_i)d)+q)~可知

n(n-l]

a^n-\——--d=|夕(。1+(〃-i)d)+g|,

假设’2