向量中的最值（范围）问题-2025高考数学一轮复习

向量中的最值（范围）问题

题型分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题

综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范

围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立

目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的

双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.

题型一与系数有关的最值（范围）问题

例1（2023・广州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点R为

2一3%

线段3。上的一动点，若汁=振+丁虎（x>0,y>0）,则了干的最大值为（）

C.lD.2

答案A

解析设3D,AE交于点。，因为

DEC

AB

所以

A。ABc

所以瓦―瓦—2，

所以AO=2OE,则放=妙，

所以4=法方+>虎=亍庶+用，

因为。，F,5三点共线，

3

所以尹+尸1,即2—3%=2y,

诉I、/2—3x2y2

所以4/+「"+「』，

7y

因为x>0,y>0,

所以4y+；N2yJ4y〈=4,

当且仅当4y=，即y=T时等号成立,

1

时

此-

X-3

221

所以-w--

14

+-

y

2-

感悟提升此类问题的一般解题步骤是

第一步：利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；

第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最值.

训练1已知应，油是两个夹角为120。的单位向量，如图所示，点。在以。为

圆心的◎上运动.若反=了以+丁/，其中x,y£R,则x+y的最大值是（）

A

A.^2B.2

C.小D.3

答案B

解析由题意，以。为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C（cos

e,sin。)，0°W8W120°,

可得A(l,0),dV，2

由沆=龙(1,0)+J-1,

=(cos0,sin0),

得％—»=cos6,之>=sin仇

.,.»=，§sin0,

.*.x+y=[x—^+1y=cos0+yf3sme=2sin（6+30°）,

V0°^^<120°,.•.30°We+30°W150。，

I.当。=60。时，x+y的最大值为2,此时C为弧AB的中点.

所以x+j的最大值是2.

题型二与数量积有关的最值（范围）问题

例2（2020.新高考I卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则屈.屈

的取值范围是（）

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(—4,6)

答案A

解析法一如图，取A为坐标原点，A3所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则A(0,0),BQ,0),C(3,小)，F(-l,®

设P(x,y),则成=(x,y),AB=(2,0),且一l<x<3.

所以祚•检=(x,y)-(2,0)=2xG(—2,6).

法二设能与油的夹角为仇则由3在协上的投影向量的模为由^cos。,

由图可知|由WosOGl—1,3),

B

则成•协=|成||Z>|cos6G(—2,6),

即APAB的取值范围是（一2,6）.

感悟提升数量积最值（范围）的解法：

（1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.

（2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.

训I练2（2023•漳州质检）已知△ABC是边长为2的正三角形,P为线段A3上一点（包

含端点），则丽•无的取值范围为（）

A.一2B.一4

C.[0,2]D.[0,4]

答案A

解析取线段A3的中点。，连接。C,则。CLA3,以。为坐标原点，OB,OC

所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设P(a,0),则一lWoWl,5(1,0),C(0,小)，PB=(l-a,0),PC=(~a,小),

nz11

_

a-4--4-.故选

2J,2A.

题型三与模有关的最值（范围）问题

例3（2023•南通模拟）已知向量a,b满足⑷=L\b\=2,ab=0,若向量c满足|a

+b-2c\=l,则|c|的取值范围是.

答案用,『

解析法一由题意可设

a=(0,1),b=(2,0),c=(x,y),

则—2c=(2—2x,1—2y),

由|a+Z>—2c尸1,

可得(2—2切+(1—2y)2=l,

化简可得（X—1）2+（丁一］

该方程表示以1,以1为半径的圆,

则|C|表示圆上的点到原点的距离d,

而d=

所以|c|=、/+y2的取值范围是［.一厂,d+r］,

法二由|0=1,|。|=2,ab=O,

得|a+b|=4，

又||a+臼一|2c||W|a+b—2c|=l,

即小一lW|2c|W小+1,

即⑷一,交

感悟提升求向量模的最值（范围）的方法，通常有：

（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借

助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值

的方法求解；

（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、

平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图

形求解.

训练3已知点A,B,C在圆f+产=1上运动，且协•病=0,若点尸的坐标为（2,

0）,则|戌+港+7%］的最大值为（）

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析由协•比=0可知AC为直径,

，戌+无=2两=（—4,0）,

设3（cos仇sin0）,则丽=（cos。-2,sin0）,

：.\PA+RB+PC\=\2PO+PB\=yl（-6+cos0）2+sin2/9=^37-12cos6»,

当。=2E+兀，左©Z时，|戌+而+南|的最大值为7.

题型四与夹角有关的最值（范围）问题

例4平面向量a"满足|a—回=3,|a|=2|臼，则a—8与a夹角最大值时|目为（）

A.小B.小

C.2^2D.2小

答案D

解析因为平面向量a,1满足|a—勿=3,|a|=2向,

所以（a—8）2=/—2°仍+庐=4店一2a-Z>+"=9,

59

所以ab=^b2~y

所以（“一瓦）以=/-4.方=4"一多>2+3='|。2+±.

3^+9

由夹角公式，得COS<a~b,a>=一二二丽二=才回+而**

（当且仅当击回=焉，即步|=小时等号成立；

因为0W〈a~b,a）Wm

JT

所以0W{a~b,a}Wj,

即|例=小时,{a-b,a）值最大为,

此时⑷=2|臼=2小.

感悟提升求夹角的最值（范围）问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等

式或函数的性质进行.

训练4已知矩形A3CD中，AB=2,AD=1,点E,F,G,H分别在边AB,BC,

CD,AD上（包含端点），若由.寿=2,则就与前夹角的余弦值的最大值是

答案5

解析如图建立直角坐标系，则可设俞=«,1),寿=(2,s),—2W/W2,—lWsWl,

所以病•寿=2/+s=2,

M,寿〉=旦立

COS■\pH、4+s2—、(s/)2+4/+$+4

\EG\-\HF\

222

7(st)2—4st+(2f+s)2+4N(st)、-4s/+8yj(st-2)2+45

当s/WO时，(st—2)224,

当4>0时，由27+s=2,故s>0,t>0,

••2=2?+s；'：2\j2st,

：.st^,当且仅当s=l,时取等号,

:.St最大值为3，

.,.(s/—2)2的最小值为g—2)=*

24

此时qI(st—；2)、2+”4取得最大值为三5，

即E一G与H一F夹角的余弦值的最大值为处4

r■极化恒等式拓展视野

极化恒等式的证明过程与几何意义

证明过程：如图,

^AB=a,AD=b,则公=a+Z>,DB=a-b.

\AC\2=(a+b)2=\a\2+2a-b+\b\2,

\DB\2=(a-b)2=\a\z~2a-b+\b\2,

两式相减得a-b=^[(a+b)2-(a-b)2],此即极化恒等式.

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角

线长”与“差对角线长”平方差的看

例(1)如图，在三角形A3C中，。是3C的中点，E,R是AD上的两个三等分点,

5ACA=4,RFCF=-\,则踮.前值为^_______.

答案

OR

解析设虎=a,DF=b,

荫@=|曲2一|曲2=9-4,

BF&=\Fb\2-\BD\2=b2-a1=-l,

513

解得62=g,a2=-g~,

7

BECE=|ED|2一|友)|2=4户一层=-

o

(2)已知点A,B,C均在半径为明的圆上,若依司=2,则Ad庆:的最大值为.

答案2+26

解析设A,B,C三点所在圆的圆心为。，取A3中点。，

故公法=CACB=CD2-^AB2=cb2-1,

因为A,B,C三点在圆上，

所以CD长度最大为r+d,

其中d为圆心。到弦A3的距离,

故最大值为1+巾,

所以诙2—1的最大值为（1+6）2—1=2+2吸.

训练（2022•北京卷）在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。？为△ABC所在平面

内的动点，且PC=1,则成•丽的取值范围是（）

A.[—5,3]B.[-3,5]

C.[—6,4]D.[—4,6]

答案D

解析法一以C为坐标原点，C4,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直

角坐标系（图略），

则A（3,0）,3（0,4）.设P（x,y）,

则f+丁2=1,PA=（3—x,—y）,PB=（—x,4—y）,

所以戌•丽=f—3x+y2—4y=j一习+0—2）2—冬

又（x—1『+（厂2）2表示圆x2+j2=l上一点到点（I，2）距离的平方，圆心（0,0）

到点住,2）的距离为|,

所以画•丽晶—if甫/1+1）2—苧」

即戌•西七[—4,6],故选D.

法二（极化恒等式）设A3的中点为由与次的夹角为仇

195—

由极化恒等式得庆•丽=闻/2—抻2=（屈一殍）2―彳=屈2+殍2—2说.我一

252525

了=1+1—5cosd~~^=1-5cos仇

因为cos1],

所以戌.丽©[—4,6],

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.已知平面向量a,b,|a|=L,步尸隹且。仍=1.若|c|=2,则（a+»-c的最大值

为（）

A.2小B.10

C.2D.5

答案A

解析设。十方，c的夹角为。，

则（a+Z>>c=|a+bHc|cos|a+Z>|-|c|=^/|a|2+|Z>|2+2a-Z>-|c|=2\[5,当a+b,c同向，

即0=Q时取等号.故选A.

2.（2023•泰州模拟）若向量a,8互相垂直，且满足（a+»・（2a—万）=2,则|a+"的最

小值为（）

A.-2B.1

C.2D.^2

答案B

解析由题设，知a仍=0且（a+b>（2a—瓦）=2/—0方+2a仍一"=2/—方2=2,

a2=1+y,而|a+例2=/+2a。+庐=/+62=1十%三i,当向=0时等号成立,

••\（L~\~b\min=1.

3.（2023•淄博模拟）已知△ABC中，AB=4,AC=3,cosA=|,若。为边3c上的

动点，则成•量）的取值范围是（）

A.[4#12]B.[8g,16]

C.[4,16]D.[2,4]

答案C

解析由题意得：AD=AAB+(1-^)AC,0W2W1,ABAD=AB-[AAB+(1-A)AC]

=AAB2+(1-A)|A5|-|AC|COSA=16A+4-4A=12A+4G[4,16].

4.(2022.杭州模拟)边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足:CM=|G4+ACB

(AER),则鼻.碗的取值范围是()

r441

C.—y3D.[—2.2]

答案B

解析因为点M在△ABC内部（包括边界），

所以0寸4，由瓦^/=瓦（病+狗=南.（就+9+7司=—2+1+24

2,「22一

一尹2沮-3_.

5.（2023•石家庄调研）已知平面向量a,b,c,若|旬=立，|例=巾，ab=0,\c-a\

=1,则|c—回的最大值为（）

A.2B.3

C.4D.7

答案C

解析因为|。|=6，|臼=巾，ab=0,

则|a-臼=y]（a—b）2=yja2-2ab+b2=3,

又|c—a|=l,

于是有|c—b|=|（c—a）+（a—b）|W|c—a|+|a—。|=4,当且仅当c—a与a-b同向共

线时取“=”，

所以|c—臼的最大值为4.

7T

6.已知左GR,向量a,8的夹角为『|a|=l,以=2,则|a—劭的最小值是（）

A.；B,1

C.坐D.y/3

答案C

解析法一由题可得|a—劭产二层十^方2—2左a•方=442—2左+1=4（左一十*

13

所以当左=^时，I。一左肝取得最小值不

、分

所以|a—劭|的最小值为•

法二如图，设为=a,OB=b,数形结合可知当（a—必），劭时,

B

jr、巧

|“一曲|的值最小，所以|a—H>|min=|absin2=2'

7.（2023•苏州模拟）已知△ABC为等边三角形，AB=2,AABC所在平面内的点尸

满足I成一油一危1=1,则由^1的最小值为（）

A.V3-1B.2吸—1

C.2小一1D市一1

答案C

解析H^7|A5+AC|2=AB2+AC2+2AB-AC=|A5|2+|AC|2+2|A5|•|AC|cos1=12,

所以|成十庆|=2#,

由平面向量模的三角不等式可得

\AP\=\(AP-AB-AC)+(AB+AC)|^AP-AB-AC\-\AB+AC\\=2y[3-\.

8.(2022.佛山二模)ZXABC中，AB=^2,ZACB=^,。是△ABC外接圆的圆心,

则沆.检+游.宓的最大值为()

A.OB.1

C.3D.5

答案C

7T

解析在△ABC中，ZACB=^,。是△ABC外接圆圆心，

如图所示，

C

AB

jr

则NAOB=2NAC3=1,

又因为AB=-\[2,

所以OA=OB=1,

即外接圆的半径厂=1,

所以反商+鼻遇=沅（/一为）+（为一沅）（<^?—西=沅2-2近，0C

=1—2cosZAOC,

因为A,C不重合，所以向量为与沅的夹角范围是（0,7i],

所以一IWCOSNAOCVI,

所以cosZAOC=—1,

即。为AC的中点时，历.成+N・所取得最大值为1—2X(—1)=3.

9.(2023•青岛质检)已知向量”=(加，1),b=(4—n,2),m>0,n>0,若a〃儿则去

+：4的最小值为.

答案|+^2

解析'：a//b,2m=4—n,

.*.^(2m+n)=l,

.「4fl.4^J1、C.n.8mA1r,l8m]3r-

=(~、—n——(

.m+~n\jnnJ*74V2m+n)7=74i\6+—m+n-J^74^6+2\lmnJ=^2+Jv2.

10汝口图，在△043中，。是A3的中点，尸在线段。。上，且沆=2。力.过点P的

直线交线段。4,。3分别于点N,M,且砺=而宓，ON=nOA,其中机，n^[0,

1],则机+〃的最小值为.

答案1

解析由题意得沆=夕以+宿），

则2d>=*丽+上血），OP=-T~两+4OM,

2\nm）4〃4m

又P,M,N共线，...»+*=1.

又加，〃£[0,1],

"+〃=(m+”)[，+[)=照+1+1+*12+2{1务1,当且仅当m=n

=g时取等号.

11.(2023・金华模拟)已知平面单位向量ei,e2满足|2ei—62|忘就.设a=ei+e2,b=

3ei+e2,向量a,〃的夹角为仇则sin。的最大值是.

宏安2^22

口本29

角星析:|2ei——e2\W啦,

3

.*•4—4ei・e2+1W2,/.eieN不

又ei・C2W|ei||c2|=l,

3

则WWeigWl,

又〃=61+。2,8=3ei+c2,

则|a|=q2+2ei・C2,\b\=yj10+6erC2,

。•力=4+4e「e2,

又向量a,b的夹角为仇

ni.ab_2(l+eie)

人cosyl+ei・e2y5+3ei0'

3

设％=ei・C2,则a&Wl,

I2(1+1)2,1+%

则cos人产后r-？

_______、/]一tIQ7

则sin0=^=^l-CO^=^^=yJ3(3/+5)-3,

「313\[29

又丁=财在[不1]为减函数，则当/=/，期取最大值为小

12.(2023•广州综合测试)已知菱形ABCD的边长为2,NA3C=60。，点P在3C边

上（包括端点），则量）•存的取值范围是.

答案L2,2]

解析法一根据点P在线段上，

可设第=2庆X0W4W1）,

则成一屈=2（AC-AB）,

则成=（1一丸）油+丸公，

又四边形A3CD是菱形，ZABC=60°,

所以庆=协+助，

所以崩=（1—7）协+4（检+助）=油+7助.

则心量）=（屈+7量））屈=曲量）+疝）2,

因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且乙钻C=60。，

所以N3AD=120。，AB=AD=2,

则Akib=|检Hib卜cos12（）O=2X2X（—0=—2,AD2=4,

所以力Zb=47—2,

因为0W2W1,所以修•助d[—2,2].

法二因为四边形ABCD是菱形，

所以ACL3。，

记AC,BD的交点、为0,以。为坐标原点，AC,3。所在直线分别为x,y轴建

立平面直角坐标系，如图所示.

因为菱形A3CD的边长为2,且NABC=60。,

所以AC=2,BD=2小,

则A(—1,0),3(0,一小)，C(l,0),D(0,小),

y

则直线BC的方程为一小1,

即y=-\l3x—y[3,

因为点P在线段上，

所以设P(xo,y[3xo—^3),且OWxoWl,

则助=（1,小）,AP=（xo+l,小xo一小）,

所以设lX（xo+1）+^3X（仍次一仍）=4xo—2,

又OWxoWl,所以^方G[—2,2].

【B级能力提升】

13.平面直角坐标系中,。为坐标原点.已知点A（—2,0）,点尸（cos。，sine）（8WR）,

则向量屐＞与能的夹角的取值范围是（）

「兀兀]「八兀

A1一了6jB.[0,g

兀兀八兀

C.[—4,4JD.[o,4

答案B

解析根据题意，设向量才3与能的夹角为a,点A(—2,0),点P(cosasin6),

则劭=(2,0),AP=(cos0+2,sin》,

则|花|:2,|AP|=AJ4COS0+5,

AOAP=2(cos8+2)=2cos。+4,

reAb-AP2cos8+4cos0+2ifr.7777।_3、

人c°s"一的油-2*q4cos。+5-44cos。+5-/C°S14cos小米

又由4cos4+5三1,

________3

则山3"5+53小，2小，

当且仅当cose=一：时等号成立，

则cos2，

jr

又由故