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文档简介

福建省泉州三中2025届高考数学二模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,,,则()A. B.C. D.2.的展开式中的系数是()A.160 B.240 C.280 D.3203.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.5.双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.6.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是()A.或 B. C. D.7.在三角形中,,,求()A. B. C. D.8.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.9.下列函数中,在区间上为减函数的是()A. B. C. D.10.已知集合则()A. B. C. D.11.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种A. B. C. D.12.下列函数中,值域为的偶函数是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,则曲线在点处的切线方程为___________.14.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,,是边长为2的正三角形,,则球的体积为__________.15.实数,满足约束条件,则的最大值为__________.16.在中,,.若,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数()(1)函数在点处的切线方程为,求函数的极值;(2)当时,对于任意,当时,不等式恒成立,求出实数的取值范围.18.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)当m=7时,求函数f(x)的定义域;(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.19.(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.(1)证明:点在轴的右侧;(2)设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率20.(12分)已知函数的导函数的两个零点为和.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的普通方程;(2)若P,Q分别为曲线,上的动点,求的最大值.22.(10分)已知数列满足:对一切成立.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.2、C【解析】

首先把看作为一个整体,进而利用二项展开式求得的系数,再求的展开式中的系数,二者相乘即可求解.【详解】由二项展开式的通项公式可得的第项为,令,则,又的第为,令,则,所以的系数是.故选:C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于基础题.3、C【解析】

讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,若时,要使得恒成立,则,即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出是的充分条件;若,则推出是的必要条件.4、D【解析】

如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.5、C【解析】

根据双曲线的标准方程,即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为,故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于容易题.6、C【解析】

设公差为,则由题意可得,解得,可得.令

,可得

当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.【详解】解:等差数列中,已知,且,设公差为,

则,解得

,.

,可得,故当时,,当时,,

故数列前项和中最小的是.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.7、A【解析】

利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【详解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故选:A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.8、A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.9、C【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性,进而可得出结果.【详解】对于A选项,函数在区间上为增函数;对于B选项,函数在区间上为增函数;对于C选项,函数在区间上为减函数;对于D选项,函数在区间上为增函数.故选:C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断,熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键,属于基础题.10、B【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.【详解】集合解得由集合交集运算可得,故选:B.【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,对数不等式解法,属于基础题.11、B【解析】

间接法求解,两盆锦紫苏不相邻,被另3盆隔开有,扣除郁金香在两边有,即可求出结论.【详解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有种,然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种,根据分步乘法计数原理有,扣除郁金香在两边,排盆虞美人、盆郁金香有种,再将盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有,所以共有种.故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理,不相邻问题插空法是解题的关键,属于中档题.12、C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C.考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率,利用点斜式求切线方程.【详解】因为,所以,又故切线方程为,整理为,故答案为:【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于容易题.14、【解析】

由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直,则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,求出正方体的对角线的长,就是球的直径,然后求出球的体积.【详解】解:因为,为正三角形,所以,因为,所以三棱锥的三条侧棱两两垂直,所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,因为正方体的对角线长为,所以其外接球的半径为,所以球的体积为故答案为:【点睛】此题考查球的体积,几何体的外接球,考查空间想象能力,计算能力,属于中档题.15、10【解析】

画出可行域,根据目标函数截距可求.【详解】解:作出可行域如下:由得,平移直线,当经过点时,截距最小,最大解得的最大值为10故答案为:10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法,基础题.16、【解析】分析:首先设出相应的直角边长,利用余弦勾股定理得到相应的斜边长,之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系,从而应用正切函数的定义,对边比临边,求得对应角的正切值,即可得结果.详解:根据题意,设,则,根据,得,由勾股定理可得,根据余弦定理可得,化简整理得,即,解得,所以,故答案是.点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,在解题的过程中,注意分析要求对应角的正切值,需要求谁,而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线,设出直角边长,利用所给的角的余弦值,利用余弦定理得到相应的等量关系,求得最后的结果.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)极小值为,极大值为.(2)【解析】

(1)根据斜线的斜率即可求得参数,再对函数求导,即可求得函数的极值;(2)根据题意,对目标式进行变形,构造函数,根据是单调减函数,分离参数,求函数的最值即可求得结果.【详解】(1)函数的定义域为,,,,可知,,解得,,可知在,时,,函数单调递增,在时,,函数单调递减,可知函数的极小值为,极大值为.(2)可以变形为,可得,可知函数在上单调递减,,可得,设,,可知函数在单调递减,,可知,可知参数的取值范围为.【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值,以及对具体函数极值的求解,涉及构造函数法,以及利用导数求函数的值域;第二问的难点在于对目标式的变形,属综合性中档题.18、(1),(2)【解析】试题分析:用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式,根据绝对值三角不等式得出,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,只需m+4≤3,得出的范围.试题解析:(1)由题设知:|x+1|+|x﹣2|>7,不等式的解集是以下不等式组解集的并集:,或,或,解得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞).(2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,∵x∈R时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,∴m+4≤3,m的取值范围是(﹣∞,﹣1].19、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)设出直线的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出;(2)根据线段的垂直平分线求出点的坐标,即可求出的面积,再表示出的面积,由与的面积相等列式,即可解出直线的斜率.【详解】(1)由题意,得,直线()设,,联立消去,得,显然,,则点的横坐标,因为,所以点在轴的右侧.(2)由(1)得点的纵坐标.即.所以线段的垂直平分线方程为:.令,得;令,得.所以的面积,的面积.因为与的面积相等,所以,解得.所以当与的面积相等时,直线的斜率.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用,以及三角形的面积的计算,意在考查学生的数学运算能力,属于中档题.20、(1)单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)最大值是.【解析】

(1)求得,由题意可知和是函数的两个零点,根据函数的符号变化可得出的符号变化,进而可得出函数的单调递增区间和递减区间;(2)由(1)中的结论知,函数的极小值为,进而得出,解出、、的值,然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】(1),令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.又因为,所以当时,,即;当或时,,即.所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)由(1)知,是的极小值点,所以有,解得,,,所以.因为函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.所以为函数的极大值,故在区间上的最大值取和中的最大者,而,所以函数在区间上的最大值是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值,考查计算能力,属于中等题.21、(1),;(2)【解析】试题分析:(1)由消去参数,可得

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