湘教版八年级数学上册压轴题：分式方程及分式方程的实际应用（七种模型）原卷版+解析

专题05分式方程及分式方程的实际应用压轴题七种模型全攻略

.【考点导航】

【典型例题】

【考点一分式方程的定义】

【考点二解分式方程】

【考点三已知分式方程的增根求参数】

【考点四已知分式方程的无解求参数】

【考点五根据分式方程解的情况求值】

【考点六列分式方程】

【考点七分式方程的实际应用】

尸口

LB【典型例题】

【考点一分式方程的定义】

例题：（2023春・浙江•七年级专题练习）下列是分式方程的是（）

【变式训练】

1.（2023春・陕西西安•八年级高新一中校考阶段练习）下列关于x的方程中，是分式方程的是（）

[Q22，，

2.（2023春•全国•八年级专题练习）已知方程：①匕咨=0,0-+—=1,③龙+—=2+二，④

x22x+2x—2

4

（x+-）（x-6）=-l.这四个方程中，分式方程的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【考点二解分式方程】

例题：（2023春・广东清远•八年级校考期中）解方程:

1-x-4x-2x

⑴⑵———+2=------

x—2x—1x+1

【变式训练】

1.（2023春•河北保定•八年级保定十三中校考阶段练习）解方程

⑴主型=」--2；（2）-----------=1.

x-33-xx-2x+2

2.（2023•四川攀枝花•校考一模）解方程:

⑴匚1）已；

【考点三已知分式方程的增根求参数】

例题：（2023•湖南永州•统考中考真题）若关于x的分式方程-----=1（m为常数）有增根，则增根是

x-44-x

【变式训练】

1.（2023•黑龙江大庆•统考三模）关于x的方程"2Y-+Y]YLH+l有增根，则根的值是____.

x-33-x

2HtX|

2.（2023•全国•九年级专题练习）已知关于x的分式方程「+三有增根，则加的值为

X—IIX—1IIX+IX十，

【考点四已知分式方程的无解求参数】

Z7V4

例题：（2023春•湖北武汉•八年级统考开学考试）如果关于尤的方程」"+三匚=1无解，则a的值为—

【变式训练】

1.（2023春•安徽蚌埠•七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于x的方程三=1+含有增根,

则增根是％=.

②若关于X的方程三=1+言无解，则。的值为.

1mm+S

2.（2023•安徽滁州•校联考二模）若关于x的分式方程一1+1=:^无解，则用的值为_____.

x-5x+5x-25

【考点五根据分式方程解的情况求值】

例题：（2023春•福建泉州•八年级校联考期中）若关于x的分式方程--3='）的解是正数.则相的取

x—3x—3

值范围是.

【变式训练】

1.（2023•四川眉山•统考中考真题）关于x的方程五1=二的解为非负数，则机的取值范围是

x—22—x

2.（2023春•浙江•七年级专题练习）若关于x的分式方程T+W巴=4的解为正整数，则正数机的值是

x—33—x

【考点六列分式方程】

例题：（2023,辽宁鞍山•统考三模）己知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两

厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧x吨煤，则根据题意列方程为

【变式训练】

1.（2023,江苏宿迁,统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该

活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间

相同.设实际每天植树尤棵，则可列方程为.

2.（2023•山西晋城•校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译

为白话文是：把一份文件送到900里（1里=0.5千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时

间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天.已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定

的时间.设规定的时间为尤天，则可列方程为.

【考点七分式方程的实际应用】

例题：（2023•吉林白山•校联考三模）第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务，经测试5G下载速

度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间

快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？

【变式训练】

1.（2023•湖南岳阳•统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好.小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮

名片已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg,今年龙虾的总产量是6000kg,且去年与今年的养殖面积

相同，平均亩产量去年比今年少60kg,求今年龙虾的平均亩产量.

2.（2023春•广东佛山•八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾害，为响应政府救援号召，

甲、乙两公司组织全体员工参与"众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共携款100000元，乙公司共捐款

140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

我们公司的人数比我们公司的人均捐款

你们公司少30人。数是你们公司的看倍。

甲公司员工乙公司员工

⑴甲、乙两公司各有多少人？

⑵现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物

资每箱12000元.若购买8种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：A、8两

种防疫物资均需购买，并按整箱配送）.

【过关检测】

一、选择题

921

1.（2023秋・河北石家庄•八年级校考期末）分式方程k大——==的解为（）

x-9x-3x+3

A.2B.-3C.3或一3D.无解

2.（2023春•全国•八年级专题练习）已知方程：①匕咨=o；②二+土=i③工+三=2+三；④

xx2x-2x-2

，+：（x-6）=T.这四个方程中，分式方程的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2023•四川南充•统考二模）关于无的方程伫1=1的解是负数，则〃的取值范围是（）

X+1

A.a<2B.a>lC.a>l,且aw2D.a<2,且awl

4.（2023•黑龙江绥化•统考二模）若关于x的分式方程2*TH无解，则根的值为（）

xx—2

A,05.2或4C.4D0或2

5.（2023・湖南林K州•统考中考真题）小王从A地开车去5地，两地相距240%M.原计划平均速度为了6/力,

实际平均速度提高了50%,结果提前1小时到达.由此可建立方程为（）

2402401240240।240240।

A.-----=1B.---------二1C.-------------=1D.x+1.5x=240

0.5尤xx1.5%1.5xx

二、填空题

6.（2023春•浙江•七年级专题练习）下列方程是关于x的方程,其中是分式方程的是.（只填序号）

ax+b；②）x+5lxa+ba+b

=5*+Z?+2=词*+2=比三；④=—:（5）1+—=2--；⑥

23a2x-\xxxxa

/zx111b小x—b小x+b小x—nx+m八

⑦——="——；⑧——=2+——；⑨——十——=2.

axbxaax+mx—n

7.（2023春・上海徐汇•八年级上海市园南中学校考阶段练习）某校组织学生步行去相距5千米的科技馆春游,

返回时由于步行速度比去时每小时少2千米，结果时间比去时多用了半小时，如果设学生去时的步行速度

是1千米/时，则可根据题目列出方程.

8.（2023春・上海宝山•八年级校考期中）已知解关于x的方程产生增根，那么加的值是.

9.（2023春•全国,七年级专题练习）若关于无的分式方程三+7=三无解，则机的值为.

x-2x-4尤+2-

YYI3

10.（2023春・全国•八年级专题练习）关于x的分式方程—+2=—；有正数解，则符合条件的负整数小的

1-xx-1

和是.

三、解答题

n.(2023春•浙江•七年级专题练习)解分式方程:

(1)^^+^—=3

2x-ll-2x

736

⑵-~—7

X+XX—XX—1

12.(2023春•浙江•七年级专题练习)解方程

⑴，=2；

x-lX+1

，72%21

(2)---1--------=------.

x2-9x+3x-3

13.（2023春•全国•八年级专题练习）解下列分式方程:

…x8x+2

(1)+-——7=------

x+24—xx—2

(2)1=r-------------

x-2x-4x+4

713

(3)

X—xX2+X

(x2—x2无一尤2x2—3x+2

14.（2023春•浙江•七年级专题练习）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于

4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计18.75万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元.这两

批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，问：3,4月

份一共购进多少件T恤衫？商店售完后可获利润（销售收入减去进价总计）多少元？

15.（2023•山西阳泉•校联考模拟预测）据山西省住房和城乡建设厅消息，2023年，山西省将开工改造城镇

老旧小区1855个，优先将养老托幼、日间照料、社区食堂等公共服务设施配套建设作为提升改造内容.某

社区改造社区食堂需要租用垃圾专用车清理建筑垃圾，调研发现：若租用甲、乙两车运送，两车各运12趟

可完成，已知甲、乙两车单独运完这些垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，求甲、乙两车单独运完这些垃

圾各需运多少趟？

2JTIX1

16.(2023春・全国•八年级专题练习)已知关于％的方程一--=--

x-1(x-l)(x+2)X+2

(1)已知加=4,求方程的解；

⑵若该方程无解，试求机的值；

17.(2023・重庆•三模)为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，

九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工.经调查知：甲队每天清淤

的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的1.5倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2

天.

⑴甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？

⑵若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤.已知甲队施工一天的费用为3.2万

元，乙队施工一天的费用为2.8万元，求完成该条河道清淤施工的总费用.

18.(2023春•安徽蚌埠•七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习)同学们学过分式方程，分式方程有一步必

不可少的一验根.下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点：

若x+J_=2+8，则方程的解为2或;；

x2/

111

若1+―=3+彳，则方程的解为3或:；

x33

111

若兀+—=4+:，则方程的解为4或工；

x44

请你用观察出的特点解决以下问题：

(1)若%+，=6+，，则方程的解为元=_____.

x6

(2)苦x+—匚=9］，求此方程的解.

⑶若％+_L_=d±即土1,求此方程的解(用含有。的代数式表示).

9x-63a

专题05分式方程及分式方程的实际应用压轴题七种模型全攻略

..【考点导航】

目录

【典型例题】...................................................................................1

【考点一分式方程的定义】.................................................................1

【考点二解分式方程】.....................................................................1

【考点三已知分式方程的增根求参数】.......................................................2

【考点四已知分式方程的无解求参数】.......................................................2

【考点五根据分式方程解的情况求值1...................................................................................3

【考点六列分式方程】.....................................................................3

【考点七分式方程的实际应用】.............................................................3

【过关检测】...................................................................................

尸.1

J注【典型例题】

【考点一分式方程的定义】

例题：（2023春・浙江•七年级专题练习）下列是分式方程的是（

x+4nxx-5八D.-^—+1=0

B.-+------=0

从Ui*342x+2

【答案】D

【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未

知数的方程，即可得解.

【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；

8、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；

C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；

D、分母含有未知数%所以。是分式方程；

故选：D.

【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的概念是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023春・陕西西安・八年级高新一中校考阶段练习）下列关于x的方程中，是分式方程的是（）

3

D.—x—1

5

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义判断选择即可.

【详解】解：A.孚，是一元一次方程，不符合题意;

56

B.是一元一次方程，不符合题意；

23

Y—1

C,铝=3,是分式方程，符合题意；

7+x

3

D.|x=l,是一元一次方程，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查分式方程的定义.掌握分式方程是指分母里含有未知数的有理方程是解答本题的关键.

2.（2023春•全国•八年级专题练习）己知方程：①上孚=0,②2+工=1,③龙+三=2+士，④

x22x+2x-2

4

（x+-）（x-6）=-l,这四个方程中，分式方程的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可.

【详解】解：①上¥=0,是分式方程；

X

2

@-+—=1,是整式方程；

22

③1+—-=2+—是分式方程；

x+2x—2

④（尤+令（尤-6）=-1,是整式方程，

则分式方程的个数是2.

故选：C.

【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键.

【考点二解分式方程】

例题：(2023春•广东清远•八年级校考期中)解方程:

【答案】⑴x=l

(2)无解

【分析】(1)方程两边同乘以(x-2)化为整式方程求解；

(2)方程两边同乘以化为整式方程求解.

【详解】(1)去分母得：1-尤=-2-2元+4,

解得：x=l,

经检验x=l是分式方程的解；

(2)去分母得：-4X+2%2-2=2%2-2X,

解得：X=T,

经检验x=-l是增根，分式方程无解.

【点睛】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，并

且注意要检验方程的解.

【变式训练】

1.(2023春•河北保定•八年级保定十三中校考阶段练习)解方程

⑴生三=」--2；(2)————=1.

x-33-xx-2x+2

【答案】⑴无解

[2}x=-6

【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的

解；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】(1)解：土2-—r=91--2,

x-53-x

去分母得：2—x=-1—2(x—3),

解得：x-3,

检验：把x=2代入得：x-3=0,是增根,

二分式方程无解；

x—2x+2

去分母得：x(x+2)—(x—2)=(x+2)(x—2),

解得：x--6,

检验：把x=-6代入得：(X+2)(X-2)H0,

.••分式方程的解为x=-6.

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

2.(2023•四川攀枝花•校考一模)解方程:

2r?14

(D—+1=—7；(2)--+--=

x+1x—1a+QCL—aa—1

【答案】(l)x=3是原分式方程的解

⑵原分式方程无解

【分析】(1)根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验；

(2)根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验.

【详解】(1)解：方式方程两边同时乘以(x+l)(x-1),

得2(x—=,

解得尤=3,

当x=3时，(x+l)(x—1)w0,

所以原分式方程的解是x=3；

(2)解：原分式方程可化为，

214

-----1-----=--------

两边同时乘以々(。+1)(。—1),

得2(〃-l)+(a+l)=4ci,

解得a=-l,

当a=-1时，a(a+l)(a-1)=0,

所以原分式方程无解.

【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键.

【考点三已知分式方程的增根求参数】

例题：（2023・湖南永州•统考中考真题）若关于x的分式方程一1--m4=1（m为常数）有增根，则增根是

x-44-x

【答案】x=4

【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可.

【详解】团关于x的分式方I程4yn=1（小为常数）有增根，

x-44-x

团无一4=0,

解得x=4,

故答案为：x=4.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•黑龙江大庆•统考三模）关于x的方程口=4+1有增根，则根的值是____.

x—33-x

【答案】-7

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出机

的值.

【详解】解：去分母得：2x+l=f?+x-3,

解得X=-772-4,

由分式方程有增根，得到x-3=0,即x=3,

团一力z-4=3,

解得：m=—7.

故答案为：-7.

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相关字母的值.

2HTX|

2.（2023•全国•九年级专题练习）已知关于尤的分式方程丁+仆1“一,=力有增根，则机的值为

X—1IX—1IIA+ZIX-rZ

【答案】-6或1.5

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出机的值；由分式方程增

根求出X的值，代入整式方程求出m的值即可.

2mx1

【详解】解：hg)(x+2)F

2(x+2)+mx=x-l

2x+4+mx=x—1

(m+l)x=-5,

当(x-l)(x+2)=0,即x=l或x=-2时，分式方程有增根，

当x=l时，心+1=-5,解得m=-6；

当x=—2时，—2。〃+1)=-5,解得机=1.5；

故机的值是-6或1.5,

故答案为：-6或1.5.

【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键.

【考点四已知分式方程的无解求参数】

例题：(2023春•湖北武汉•八年级统考开学考试)如果关于x的方程旦;+4一=1无解，则。的值为一.

x-22-x

【答案】1或2

【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是x=2或整式方程无解，即可求出a.

【详解】解：将方程两边同时乘以(x-2),

彳导：cix—4-x—2,

整理得：(a-l)x=2,

团该分式方程无解，

„2

回。一1=0或——=2,

a-1

回。=1或2,

故答案为：1或2.

【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或

整式方程的解使分母为零.

【变式训练】

1.（2023春•安徽蚌埠•七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于x的方程三=1+含有增根,

则增根是工=.

②若关于x的方程==1+」二无解，则〃的值为_____.

x-4x-4

【答案】42或3

【分析】①根据分式方程有增根，即分母为。进行求解即可；

②分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可.

【详解】解：①国分式方程有增根，

团无一4=0,

回x=4,

故答案为:4；

②工=1+3

x-4x-4

去分母得：3x=x-A+ax,

移项得：3x—x—ax=-4,

合并同类项得：（2-〃）%=-4,

当2-〃=0,即a=2时，（2）％=-4无解，分式方程无解；

当2—awO时，系数化为1得：工=4_4，

2-a

团分式方程有增根，

团光—4=0,BPX=4,

-4

团---=4,

2—CL

解得4=3,

经检验，。=3是m=4的解，

2—a

团Q=3,

综上可知，。=2或。=3,

故答案为：2或3；

【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0.

2.（2023•安徽滁州•校联考二模）若关于x的分式方程工+/[=/三无解，则根的值为______.

x-5x+5x-25

【答案】T或5或-,

【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.

1mm+5

【详解】解:-------1-------=-------

x—5%+5x—25

去分母得：x+5+m(x-5)=m+5,

可得：（根+1）x=6M，

当根+1=0时，一元一次方程无解，

此时机=-1；

6H7

当根+1W0,入=一；=±5时，分式方程无解，

m+1

解得：〃?=5或一得；

故答案为：-1或5或-

【点睛】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论不要漏解是解题关键.

【考点五根据分式方程解的情况求值】

例题：（2023春•福建泉州•八年级校联考期中）若关于尤的分式方程*-3==的解是正数.则m的取

x-3x-3

值范围是.

【答案】机<9且〃件3

【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出机的范围.

【详解】解：去分母得：x-3（x-3）=m,

团分式方程解为正数，

9-m-„9-m一

0------>0,且-----K3,

22

解得：机<9且W3,

故答案为：m<9且〃件3.

【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为。这个条件.

【变式训练】

1.（2023・四川眉山•统考中考真题）关于尤的方程巨：-1=品■的解为非负数，则相的取值范围是

x-22-x

【答案】mW—1且nzw—3

【分析】解分式方程，可用加表示了,再根据题意得到关于加的一元一次不等式即可解答.

【详解】解：解=-1=三±可得尤=-帆-1,

x-22-x

x的方程"?-1=三土的解为非负数，

x-22-x

一m—1之0,

解得机4-1,

x—2w0,

-in—1—2w0,

即mw—3,

机的取值范围是加工一1且加w-3,

故答案为：机＜-1且加。-3.

【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键.

2.（2023春•浙江•七年级专题练习）若关于％的分式方程江（+==4的解为正整数，则正数根的值是

x-33-x

【答案】6或9

【分析】先按照解分式方程的步骤求出尤=-$“+4,再根据X-3W0结合分式方程的解为正整数进行求解

即可.

【详解】解：=+三=4

x-33-x

去分母得:x+m-2m=4（x-3）,

去括号得：x+m-2m=4x-12f

移项得：%—4x=—12—m+2m,

合并同类项得：-3%=12,

系数化为1得：x=-jm+4,

回x—3。0,即xw3,

团——加+4w3,

3

团分式方程有正整数解，

回正数机的值是6或9.

故答案为：6或9.

【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为x=-gm+4是解题的关键.

【考点六列分式方程】

例题：（2023•辽宁鞍山•统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两

厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧x吨煤，则根据题意列方程为

120

【…答案3】——100=

x33T

【分析】设甲厂每天烧x吨煤，则乙厂每天烧（33-司吨煤，根据甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的

天数相同列出方程即可.

【详解】解：设甲厂每天烧x吨煤，则乙厂每天烧（33-力吨煤，根据题意得:

100_120

x33

M林上生100120

故答案为：一=—一.

x33-尤

【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，并用未知数表示出等量关

系式.

【变式训练】

1.（2023•江苏宿迁•统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该

活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间

相同.设实际每天植树尤棵，则可列方程为

400320

【答案】——=

Xx-40

【分析】设实际每天植树X棵，则原计划每天植树（X-40）棵，根据"实际植树400棵所需时间与原计划植树

320棵所需时间相同”列出分式方程即可.

【详解】解：设实际每天植树X棵，则原计划每天植树（X-40）棵,

400320

根据题意，得

x元一40

“科上320

故答案为：-4-0-0

x尤-40

【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程.

2.（2023•山西晋城•校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译

为白话文是：把一份文件送到900里（1里=0.5千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时

间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天.已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定

的时间.设规定的时间为无天，则可列方程为

【答案】

x+1x-3

【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可.

【详解】解：设规定的时间为X天，则慢马送的时间为（X+1）天，快马送的时间为（X-3）天,

+口900c900

根据题意，得--x2=-

x+1x-3

900.900

故答案为:——x2=------

x+1x—3

【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键.

【考点七分式方程的实际应用】

例题：（2023•吉林白山•校联考三模）第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务，经测试5G下载速

度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间

快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？

【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆

【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒16x兆，根据题意可得等量

关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间=150秒.然后根据等量关系，列出分式方程，再解

即可.

【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒工兆，则该地5G的下载速度是每秒16x兆,

小口古上/日9609601

由您思得：-----——=150,

Xlox

解得：x=6,

经检验：尤=6是原分式方程的解，且符合题意，

贝U16x=16*6=96,

答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆.

【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意

找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系.

【变式训练】

1.（2023,湖南岳阳•统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好.小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮

名片已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg,今年龙虾的总产量是6000kg,且去年与今年的养殖面积

相同，平均亩产量去年比今年少60kg,求今年龙虾的平均亩产量.

【答案】今年龙虾的平均亩产量300kg.

【分析】设今年龙虾的平均亩产量是xkg,则去年龙虾的平均亩产量是（x-60）kg,根据去年与今年的养殖

面积相同列出分式方程，解方程并检验即可.

【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是xkg,则去年龙虾的平均亩产量是（x-60）kg,

60004800

由题意得,

xX—60

解得x=300，

经检验，x=300是分式方程的解且符合题意，

答：今年龙虾的平均亩产量300kg.

【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键.

2.（2023春•广东佛山•八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾容，为响应政府救援号召,

甲、乙两公司组织全体员工参与"众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共推款100000元，乙公司共捐款

140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

我们公司的人均捐款

数是你们公司的看倍。

乙公司员工

⑴甲、乙两公司各有多少人？

⑵现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、8两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物

资每箱12000元.若购买3种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：A、8两

种防疫物资均需购买，并按整箱配送).

【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有18。人

(2)有2种购买方案：购买8箱A种防疫物资、10箱8种防疫物资，或购买4箱A种防疫物资、15箱8种防

疫物资

【分析】(1)设乙公司有x人，则甲公司有(x-30)人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检

验后即可得出结论；

(2)(2)设购买A种防疫物资机箱，购买8种防疫物资〃箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款

4

140000元.列出方程，求解出俏根据整数解，约束出机、〃的值，即可得出方案.

【详解】(1)解：设乙公司有x人，则甲公司有(尤-30)人，

由题意得

1000007140000

---------x——----------,

%—306x

解得尤=180.

经检验，x=180是原方程的解.

0x-3O=15O.

答：甲公司有150人，乙公司有180人.

(2)解:设购买A种防疫物资加箱，购买6种防疫物资〃箱，由题意得

4

15000%+12000〃=100000+140000,整理得m=16--n.

又因为”>10,且机、”为正整数，

fm=8[m=4

所以in,K

[n=10]〃=15

答：有2种购买方案：购买8箱A种防疫物资、10箱B种防疫物资，或购买4箱A种防疫物资、15箱5种

防疫物资.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方

程是解题的关键.

【过关检测】

一、选择题

1.（2023秋・河北石家庄•八年级校考期末）分式方程F9三——2-=―1的解为（）

x-9x-3尤+3

A.2B.-3C.3或-3D.无解

【答案】A

【分析】方程两边都乘（x+3）（x-3）得出9-2（x+3）=x-3,求出方程的解，再进行检验即可.

9__2_1

【详解】解:

炉—9x~3%+3

方程两边都乘（％+3）（x—3）,得9—2（九+3）=x—3,

解得：x=2,

检验：当元=2时，（x+3）（x—3）工。，

所以1=2是分式方程的解，

故选A.

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

1_Q22o?

2.（2023春•全国•八年级专题练习）已知方程：①上空=0；②二+土=1③x+\=2+展；④

xx2x-2x-2

jx+g）（x-6）=T.这四个方程中，分式方程的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可.

【详解】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，

故选：B.

【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键.

3.（2023・四川南充•统考二模）关于x的方程QH—1=1的解是负数，贝匹的取值范围是（）

x+1

A.a<2B.a>lC.a>l,且aw2D.〃<2,且awl

【答案】D

【分析】先解关于x的分式方程，求得尤的值，然后再依据“解是负数"建立不等式求。的取值范围即可.

【详解】解：去分母，得a-l=x+l,

解得x=a—2,

团方程的解是负数，

0—2<0,且。一2+1/0,

回。＜2,且awl.

故选：D.

【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做

方程的解.

m

4.（2023•黑龙江绥化•统考二模）若关于x的分式方程2*=无解，则相的值为（）

xx-2

A.03.2或4C.4D0或2

【答案】D

【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当相-4=0时，当根-4。0时,

分别进行计算即可.

【详解】解：方程两边同乘MX-2）,得2（x-2）=如,

整理得（利-2）%=T,

团原方程无解，

团当机一2=0时，m=2；

当〃2—2w0时，止匕时，X—-----,

m-2

4,

当％=0时，----^二0无解；

m-2

4

当％=2时，------=2,角毕得机=0；

m-2

综上，加的值为。或2；

故选：D.

【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式

方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键.

5.（2023•湖南郴州•统考中考真题）小王从A地开车去5地，两地相距240面.原计划平均速度为九6

实际平均速度提高