浙江省某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷

浙江省宁波中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试

卷

学校:—_______姓名：__________班级：___________考号：—

一、单选题

1.已知集合{1,2,4,7}，N={4,6,7}，则MC|N=()

A.{1,2,4,6,7)B-{1,2,6)

。{4,7}D.{2,4}

2.命题“W九£N，/+〃+2eZ”的否定为（）

A.VneN，/+〃+2eZB.X/〃eN,+a+2eZ

C.ReN,/+〃+2£ZD.3neN,/+〃+2eZ

3.已知°=3。2,6=3%C=202,则()

A

•b>a>ca>b>c

c

•b>c>aa>c>b

已知正实数“"满足"+则最小值为

4.，6=2,3+2的()

ab

27

A.—B.14C.15D.27

2

5.函数/（工）=彳的图象大致为（）

e|x|

试卷第11页，共33页

A.■B.

6-设”，R，“…!"是“方程疗i+"4=。在区间”）上有两个不等实

根”的（）条件.

A.充分必要B.充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

7.中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：c=〃iog2（l+E），它表示：

在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率c取决于信道带宽平、信道内信号的平均功率

,、信道内部的高斯噪声功率"的大小，其中9叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽

N

”,将信噪比❷从2000提升至10000,贝产大约增加了（322°3010）（）

N

A-18%B-21%C'23%D-25%

8.己知函数/（x）为R上的奇函数，当x20时，f（x）=x2-lx）若函数g（x）满足

试卷第21页，共33页

/(x),x-°，且g(〃x)i=°有8个不同的解，则实数"的取值范围为()

-/(x),x<0

B--l<a<0

c

JO<6Z<1

、多选题

9.已知〃，。为实数，且Q>6〉0,则下列不等式正确的是(

A.—<—B.----<----

aba-cb-c

ac>be

io.已知函数/(x)=lg(Jx2_2x+2_x+l),则下列说法正确的是()

A.”x)的值域为R

B./(x+1)关于原点对称

c.“X)在(1,+8)上单调递增

D.“X)在xe口-私1+河上的最大值、最小值分别为M、N，则A/+N=0

11.已知函数/(x)满足：对于x,yeR,都有/(x-y)=/(x)/U)+/(l+x)/(l+y)，且

/(0)0/(2)，则以下选项正确的是()

A./(0)=0B./(1)=0

C./(l+x)+/(l-x)=0D./(x+4)=/(x)

试卷第31页，共33页

三、填空题

12.函数/（x）=log3（3x+l）的定义域为一•

13.定义〃x）=「x]（其中「月表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如

-口]=_1，[2_1]=3，「4]=4•以下描述正确的是—•（请填写序号）

①若y（x）=2024,则xe（2023,2024],②若_71Vl+1240'贝1Jxe（2,4],

③/（x）=「回是口上的奇函数，④"X）在R上单调递增•

14.已知“，6满足/+a6_2/j2=1,贝！13a2-2ab的最小值为_

四、解答题

15.求值

（1）</4X322+lnVe-2024°

⑵（log25+log40.2）（log52+log250.5）

16.已知集合八科"+lW2mT},5=L1<2^<81.

⑴求B；

（2）若求实数加的取值范围•

17.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果

特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量少（单位：千克）与使用肥料x（单位:

试卷第41页，共33页

10(X2+3),0<X<21lx

千克)满足如下关系：W(x)=<,肥料成本投入为元，其他成本投

100--,2<x<5

x+1

入(如培育管理、施肥等人工费)25x元•已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路

畅通供不应求.记该水果树的单株利润为了(X)(单位：元)•

⑴求/(x)的函数关系式；

(2)当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？

18.已知函数〃力=今”为奇函数，

⑴求°的值；

(2)判断了J)的单调性，并用单调性定义加以证明；

⑶求关于x的不等式/+2x)+/(X-4)<0的解集.

19.已知函数/(x)=卜-4-3+。，(a*R),

(1)若a=l,求关于x的方程/(x)=l的解；

(2)若关于x的方程〃无)=2有三个不同的正实数根占，％,退且再<尤2<

a

(i)求°的取值范围；

5)证明：W3>3.

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案CDAADCBBADABD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为M={1,2,4,7}，N={4,6,7}，

所以{4,7}•

故选：C.

2.D

【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.

【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论，

所以命题“eN，I+〃+2eZ”的否定为eN,n2+n+2^Z-

故选：D.

3.A

【分析】利用指数函数的单调性与募函数的单调性即可判断得解.

【详解】因为>=3*为单调递增函数，所以3°3>30,2,则6>.，

因为y=92为增函数，所以3皿>2微，则a>c,

综上'b>a>c'

故选：A.

4.A

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因正实数。，%满足a+6=2，

所以3121,八12115+色+以4+2

切“一+—=-(a+b)A

ab2b2ab

答案第11页，共22页

当且仅当独=效，即=4时取等号，

ab33

所以3+U的最小值为

ab2

故选：A

5.D

【分析】先利用奇偶函数的定义判断得的奇偶性排除AB,再利用指数函数的性质分

析得“X）的正负情况，从而排除°，由此得解.

【详解】对于〃x）=弓，其定义域为，

又/'（9===一¥=一〃刈，则"X）是奇函数，排除AB,

当x>0时，3x>0>e'=e*>0，所以/（无）>0，排除C,

又选项D的图象满足上述性质，故D正确.

故选：D.

6.C

【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解.

【详解】当加〈-工时，取冽二一3,

2

则方程加2__（加+3）1+4=o为9/+4=0，显然无解，即充分性不成立；

当方程加2_—（加+3）工+4=O在区间（2,+oo）上有两个不等实根时，

答案第21页，共22页

2加w031

m>0——<m<——

3.52

A3=_>0加2〉——<m<l

5

加+3

则x=—^>23、则

2m2——<m<0或0<m<\

4

4m2-2(m+3)+4>0

/J

——或加)1

此时仅<-,成立，即必要性成立；

2

所以前者是后者的必要不充分，故C正确.

故选：C.

7.B

【分析】由已知公式，将信噪比*看作整体，分别取200°/000°求出相应的0值，再利用

N

对数运算性质与换底公式变形即可得解.

【详解】由题意，将信噪比2从2000提升至10000,

N

则最大信息传递速率C从C1=少log2(1+2000)增加至C?=匹log2(1+10000)，

10001

所以所-<=沙log?10001-乎log?2001=logz^ooT

一log2001

G—?Flog220012

,10001,10000,10

lg

1g-------1g--------_T1—0.301

_2001〜2000=-----------«0.21=21%

1g2001~1g2000lg2+lgl030.301+3

故选：B.

8.B

【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到/(x)与g(x)的解析式，设/=/1),作出函

数g«)的图象，数形结合，分类讨论函数q<_1、一1<.<0与a>()三种情况，得到对应情

答案第31页，共22页

况下g(/(x))-。=0的解的个数，从而得解・

【详解】因为函数“X)为R上的奇函数，当X20时〃x)=/_2x，

令x<0,贝IJ-x>0,贝U/(_》)=X2+2X，

又/(x)=-7'(f)=-x2-2x

x2—2x,x>0|j||i,、x2-2x,x>0

gW=，

*_2x,…’V+2x,x<0

设f=/(x)，作出函数g(/)的图象,

对于A,当°＜一1时，函数g«)=q没有实数根，不满足题意;

对于B,当-1＜”0时，函数g⑺=〃有四个根"也网,小

其中％e(-2,-1)，”(T，0)，6(0,1)-z4e(l,2)；

作出/(x)与y=%、y=t,、＞=4与了=。的图象，如图，

答案第41页，共22页

显然几个函数恰有8个交点，则g(/(x))-a=O有8个不同的解，故B正确；

对于CD,当0>0时，函数g(t)=q有两个根,其中，［€(-%-2),^€(2,+(»)，

与选项B同理可知/(x)与>=/r>=弓各有一个交点，

则g(/(x))-a=。只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误•

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9.AD

【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可.

【详解】因为—>o，

选项A：1-1=—<0,所以［<!，故A说法正确；

ababab

a-cb-c(q-c)(b-c)

^,a>b>c_^c>a>b,b-a八刖11

当或时n,5c)"c)"即=;

当">c>6时，b-a>0,即—L>」_,故B说法错误;

^a-c)\b-c)a-cb-c

选项c：当c=0时，ac=bc，故C说法错误；

选项D：因为［>(),所以乌>々，故D说法正确；

ccc

答案第51页，共22页

故选：AD

10.ABD

【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A,构造函数NxjfglVTIT-x),研究

Mx)的性质判断B,利用/x)的单调性与奇偶性判断CD,从而得解.

【详解】对于A一一2x+2-

所以小-2X+2>(X-1)2»0，则G-2X+2>X-J

即G^T+1>0恒成立,所以小)的定义域为R,

且当x趋于无穷大时，片『^^+1接近于0，

X,-----------------------1

当趋于无穷小时，y=&-2x+2-x+l=,-----趋于无穷大，

v-2x+2+x-1

所以“X)的值域为R，故A正确；

对于B,因为/\x+l)=lg("(x+l)~-2(x+l)+2_(无+1)+1)=lg(+1-x),

令左(%)=九(，/+1-目,则/(x+D=Mx),易知Mx)的定义域为R,

又发(一X)+左(x)=1g(A/X?+1+x)+lg(Jx?+1-x)=1g1=0,

所以Mx)为奇函数，关于原点对称，即/(x+1)关于原点对称，故B正确；

对于c,因为乂上.行1-x)=ig〉L—在(°，+°°)上递减，

而将Mx)的图象向右平移一个单位可得了卜)的图象，

答案第61页，共22页

所以/（X）在（1,+00）上单调递减，故C错误；

对于D,因为《（X）在（0,+8）上递减，

且左（》）=坨（而［-%）为奇函数，则左（°）=°,

k（x）=lg（Vx2+l-x）在（f,+⑹上为减函数，

而将Mx）的图象向右平移一个单位可得/（x）的图象，

/（X）在（_Q0,+8）上为减函数，即/（X）在［1-加,1+〃”上单调递减，

则M+N=/（1-〃?）+/（1+机）=々（一加）+左（加）=0，故D正确.

故选：ABD.

II.BCD

【分析】利用赋值法，结合条件分析得的值，从而判断AB,利用赋值法，结合

AB中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD,从而得解.

【详解】对于B：令、=k°,则/'（。）=［/⑼了+［7（1）丁，

令、="1,则〃0）=［〃1）］2+［〃2）］2,所以［〃0）］2=［〃2）］

因为/（。）"2），所以〃0）=_〃2），

令x=l,y=o,则/⑴=+/⑵/（1）=0,故B正确；

对于A：由选项B可得〃0）=［/（0）］2,所以〃°）=°或/⑼=1,

若〃°）=°,贝"⑼=卜⑴了+［〃2）7=0,

答案第71页，共22页

所以"2)=0，这与〃0)w/(2)矛盾，舍去;

若/⑼=1,则八0)=[〃1)了+["2仃=0,解得〃2)=±1,

因为j(O)w/⑵,所以〃2)=-1，/(O)=P故A错误；

对于C令x=o,则/㈠)=〃0)/⑺+/(1)/(1+力，

因为/fl词。，〃0)=1，所以/(-力=/(.，所以〃x)为偶函数，

令x=l，则/(]—)=/■⑴/3+/⑵+田一+力

即/(l-x)=-/(l+x)，所以/(l+x)+〃l-x)=O,故C正确；

对于D：由选项C知=+,所以/(_尤)=_/(》+2)，

又/(x)为偶函数，所以〃X)=〃T)=_/(X+2)，即,

所以/ixH40H-/8xH20H/ix®,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取

特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系,

通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用.

12.|巾〉】:

【分析】根据对数式的意义即可求解.

【详解】要使函数有意义，则3x+l>0nx>」，

3

所以函数的定义域为日内-4.

答案第81页，共22页

故答案为：

13.①②

【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①

②，举反例，结合函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解.

【详解】因为「回表示不小于x的最小整数，

贝U有「目会且即R-

对于①，7(x)=[x]=2024，贝!12023<xV2024,即xe(2023,2024],故①正确；

对于②，令r=[x]，则不等式可化为/_7l+12W0，解得3W4，

又”口]为整数，贝卜=3或七4，

当”3时，即「x]=3,则2<x43;

当/=4时，即卜]=4，则3<xW4，

所以2<x44,则xe(2,4],故②正确；

对于③，因为/(x)=「x「则/(0.5)=1，/(-0.5)=0~/(0.5)，

则/(x)=「x]不是R上的奇函数，故③错误；

对于④，因为/卜)=「/|，则/(0.5)=1,/(0.6)=b即/(0.5)=〃0.6)，

所以“X)在R上不单调递增，故④错误.

故答案为：①②.

14.2

【分析】变形给定等式，换元0+26=加，用加表示凡/,，再代入，利用基本不等式求出最

小值.

答案第91页，共22页

【详解】由-2/=1,得9+26)("6)=1,令a+2b=m,则…」,

m

角牟得。=生+-^-,3a-2b=a+2(tz-b)=—+-^―,

33m33机

因止匕3a2-lab=a(3a-2b)=(—+—)(—+—)=-(10+m2+^-)>-(10+2Im2-)=2,

33m33m9m9Vm

当且仅当/=/，即"『=4时取等号，

m

所以3片-2仍的最小值为2

故答案为：2

【点睛】关键点点睛：将/+46-2〃=1变形为(q+2b)(q-b)=1,令a+2b=m，再表示

出4力是求出最小值的关键.

15.⑴”

2

1

⑵I

【分析】(1)根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和

指数基性质即可计算得解.

(2)根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.

【详解】⑴原式=(22)%(25)；+91=2吊3一3=23一；=3

⑵原式=[log25+glog20.2¥log52+|log50.5)

答案第101页，共22页

log5+loglogs2+logsj=log2V5xlog5V2

22I

xlgV|

lg2lg54

16.⑴3={X|-2WXV4}

⑵（f|_

【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合B；

（2）利用集合间的包含关系，分类讨论/=0与NX。两种情况，得到关于％的不等式

（组），解之即可得解.

【详解】（1）由得2-421423,

8

所以-3WX-1W3'解得-2WxW4'

所以8={x|-24x44卜

（2）因为A=^x\m+\<x<2m-1j）

当/=0时，加+1>2加-1，得m<2,满足条件；

当/N0时，加三2且124刃+1,解得24加一；

[2m-l<42

综上所述，加的取值范围是Joo].

答案第111页，共22页

200X2-36X+600,0<X<2

17.

(D/(x)=，2000-^^-36x,2<x<5

1+x

(2)当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是卷上元.

【分析】(1)根据单株产量少与施用肥料x满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.

(2)结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，

即可求得答案.

【详解】(1)依题意，

200(X2+3)-36X,0<X<2

/(x)=20f7(x)-25x-llx=20平(x)-36x=<

20(100-—)-36x,2<x<5

1+x

200x2-36x+600,0<x<2

2000-^^-36X,2<X<5

1+x

(2)当04x42时，/(X)=200X2-36X+600>则当x=2时，/(x)取得最大值〃2)=1328;

当2<*'5时，/(X)=2036-一36(1+x)=2036-4[四+9(1+x)]

1+x1+X

人1+X=，G(3,6]500、500立将500^(3,6]二的、田、泄讨

令,---+9(l+x)=——+9t,函数y=——十%在上单倜递减，

1+xtt

当’=6时，加=苧,此时-，〃x)取得最大值〃5)=写,而1328〈警,

因此当'=5时，"X)皿4460

3

所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是于元.

答案第121页，共22页

⑻（1）0=1

（2）/（x）在R上单调递增，证明见解析

⑶{x|-4<x<l}

【分析】（1）利用奇函数的性质/（（））=（）求得％再进行检验即可得解；

（2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解；

（3）利用“X）的奇偶性与单调性，将问题转化为/+2X<4_X，从而得解・

【详解】（1）因为/（》）=?£为奇函数，且定义域为R,

所以则上2=0,解得"=1,此时〃x）=:二=2，_:,

2°2-

贝I〃_司=2-，一.=一12:（）=一〃x），即〃x）为奇函数，

所以

（2）“x）在R上单调递增，证明如下：

任取Xi⑦eR，且网<马，则2»-2%<0，2X'-2X2>0

则〃再）-〃尤2）=2"

V'-2X1/、(1A

二2,—2%+----------=(2*一2*)1+----------<0>

2&.2工21々2X1-2X2)

所以/(x)</卜2)，故〃x)在R上单调递增,

(3)因为+2x)+/(x-4)<0，

答案第131页，共22页

所以/(Y+2x)<-f{x-4)=/(4-x)，

则，+2x<4-x，即r+3无一4<0，解得一4<%<1，

所以+2x)+/(x-4)<0的解集为{x|-4<x<l卜

19.⑴x=J_+姮

22

⑵⑴y+0新］；(ii)证明见解析

I2)

【分析】(1)根据题意得由=分类讨论XN1与X<1两种情况去掉绝对值即可得

解；

(2)(i)分段讨论“X)的解析式，结合对勾函数的性质分析得“X)的单调性，进而得到

关于。的不等式，解之即可得解；(ii)利用(i)中结论，分析得不三=3与演关于〃的表

达式，进而得解.

zy—12

【详解】(1)当时，/(x)