河北省邯郸市2025届高三上学期新高考单科模拟卷（11月期中）数学试题（四）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市2025届高三上学期新高考单科模拟卷（11月期中）数学试题（四）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高二年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：858687888990919192939394959799则这组数据的40%分位数为（）A.90 B.91 C.90.5 D.92【答案】C【解析】由题意，，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即.故选：C.2.已知圆C：及点，则下列说法正确的是（

）A.直线与圆C始终有两个交点B.若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为C.若点在圆C上，则直线PQ的斜率为D.圆C与轴相切【答案】B【解析】依题意，圆C：，圆心，半径，对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，故A不正确；对于B，，点Q在圆C外，由得：，故B正确.对于C，点在圆C上，则，解得，而点，则直线PQ的斜率为，故C不正确；对于D，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与轴相离，即圆C与x轴不相切，故D不正确；故选：B3.已知向量满足与垂直，则的最小值为（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】由与垂直，得，则，所以1，所以当时，的最小值为故选：C4.高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有种分法，4组人有种站法，故所求概率.故选：D.5.已知数列,的前n项和分别为,，记，则数列的前2024项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，；当时，所以.故选：A.6.已知球的直径，，，是球球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为（）.A B. C. D.【答案】B【解析】设球心为，等边三角形截面小圆的圆心为（也是等边三角形的中心）.由于是等边三角形，，所以平面，在面的投影即，也即等边三角形的中心，且平面，则.因为是直径，所以.所以，.由于是等边三角形的中心，所以，所以等边三角形的高，.所以三棱锥的体积为.故选：B.7.已知，且，则可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①当时，，，因为，所以，所以，因为，所以，②当时，，因为，所以，由于，所以解得，③当时，，因为，所以，由于，所以解得，综上，，或，或，故选：B8.已知f(x)为奇函数，当x∈[0,1]时，当，若关于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围为（）A.(-1,0)∪(0,+∞) B.C. D.(2,+∞)【答案】B【解析】若，，则，，则，是奇函数，，则，，，若，，则，，则，则，，，作出函数的图象如图：当时，的图象向左平移，如图，当的图象与在相切时，，此时对应直线斜率，由，即，得．此时，又切点在直线上，所以切点坐标为，即，解得，所以当时，不等式恒成立.当时，的图象向右平移，如图，显然不等式不恒成立.综上的取值范围是，故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中的两个集合相等的有（）.A.B.C.D.【答案】AC【解析】对于A：集合表示偶数集，集合也表示偶数集，所以，故A正确；对于B：，，所以，故B错误；对于C：，又，所以，即，所以，故C正确；对于D：集合为数集，集合为点集，所以，故D错误；故选：AC10.如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数的最小正周期是C.D.【答案】AD【解析】由题可知，该质点的角速度为，由于起始位置为点，沿逆时针方向运动，设经过时间s之后所成的角为，则，根据三角函数定义可知点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离，可得D正确，C错误；由解析式可知其最小正周期为，即A正确，B错误；故选：AD11.定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（）A.函数在上满足阶李普希兹条件B.若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为C.若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D.若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有【答案】ACD【解析】A选项：不妨设，，即，故，对，均有，A选项正确；B选项：不妨设，在单调递增，，，即，即对，恒成立，即在上单调递减，对恒成立，所以对恒成立，即，即的最小值为，B选项错误；C选项：假设方程在区间上有两个解，，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；D选项：不妨设，当时，，当时，，故对，，故D选项正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数（且），为虚数单位，则x在复平面内对应的点所在的象限为__________象限.【答案】第二【解析】易知复数在复平面内对应的点坐标为，由，可知，，故z在复平面内时对应的点所在的象限为第二象限.13.已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，所以的最大值为.14.地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为___________.(参考数据：)【答案】【解析】由题设可知平面与面的夹角为，取中点M，中点N，连接MN由二面角的定义可知为平面与面的夹角，即设正三棱柱的底面边长为，高为h，则所以，则又地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，即地球仪的最大圆与底面正三角形内切，所以内切圆的半径，解得所以三棱柱的高，底面边长为设三棱柱上、下底面中心，连线的中点O为球心，在直角，，所以三棱柱外接球的半径所以体积.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，恰好打了6局，乙获胜的概率为，所以比赛结束时恰好打了6局的概率为.（2）X的可能取值为2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.16.已知，，其中，函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.解：（1）因为，，则，，故，因为最小正周期为，所以，所以，故，由，，解得，，所以的单调递增区间为，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又为锐角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，则，所以.17.如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．（1）用分别表示线段BC和PD长度；（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．解：（1）连接OP，由题意O为的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以为直角三角形．设半球与面PBC的切点为E，则且．在中，，所以．在中，．（2）由题知，，化简得，，令，则上述函数变形为，，所以，令，得．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，三棱锥的侧面积S的最小值为．18.如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．（1）求曲线C的方程；（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设，，则，由题意知，所以，得(，所以，因为，得，故曲线C的方程为．（2）由题意可知，直线不平行坐标轴，则可设的方程为：，此时直线的方程为．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．当时，直线的斜率存在，，则直线的方程为，所以直线过定点．当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，综上所述：直线过定点．（3）假设存在点R使得，设，因为，所以，即，所以，所以，直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，设，易知点，直线方程是，令得点P横坐标，直线方程是，令得点Q横坐标，由，得，又在椭圆上，所以，所以，解得，所以存在点，使得成立．19.对于无穷数列，“若存在（、，且），必有”，则称数列具有性质.（1）若数列满足，判断数列否具有性质？数列是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.解：（1）因为，，但，所以数列不具有性质，设（、，且），因为，必有，所以数列具有性质.（2）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且（、），满足，即，由性质的含义可得，，，…，，，所以数