2025版新教材高考数学全程一轮总复习第四章三角函数与解三角形第七节正弦定理余弦定理学生用书

第七节正弦定理、余弦定理【课标标准】1.驾驭正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简洁的三角形度量问题．必备学问·夯实双基学问梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin＝________＝2Ra2＝____________；b2＝____________；c2＝____________变形(1)a＝2RsinA，b＝________，c＝________．(2)sinA＝a2RsinB＝________，sinC＝________；(3)a∶b∶c＝________．(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝____________；cosB＝____________；cosC＝____________2.三角形的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12ab(3)S＝12r(a＋b＋c)(r[常用结论]1．三角形的内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A+B2＝2．三角形中的三角函数关系：在△ABC中，(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC(4)cosA+B2＝sinC3．角平分线定理：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，则BDCD＝AB夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知随意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．()2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．π6B．C．2π33．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．4．(易错)在△ABC中，B＝30°，b＝2，c＝2，则A＝()A．15°B．45°C．15°或105°D．45°或135°5．(易错)在△ABC中，若sin2A＝sin2C，则△ABC的形态为________．关键实力·题型突破题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝45°，a＝2，b＝3，则∠C＝()A．60°B．75°C．60°或120°D．15°或75°(2)已知a，b，c为△ABC的内角所对的边，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且a＝3，则△ABC外接圆的半径为()A．1B．2C．2D．4(3)[2024·黑龙江哈尔滨月考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a-bc-bA．π6B．C．2π3D．π题后师说利用正弦、余弦定理的解题策略巩固训练1(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝π3，a＝23，b＝22，则BA．π4B．C．π4或3π4D．(2)已知△ABC中，a2＝b2＋c2－3bc，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°(3)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知3cosAcosC＝ac，且a2－c2A．4B．3C．2D．1题型二推断三角形的形态例2(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2a＝b＋c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形(2)[2024·河南济源月考]在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosAcosB＋bcos2A＝acosA，则△ABC的形态是________．题后师说推断三角形形态的方法巩固训练2(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝ccosB，则△ABC的形态是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinC－bsinB＝asinA，则△ABC的形态为________三角形．题型三与面积有关的问题例3[2024·河北邯郸模拟]在①b2＋c2－a2＝23acsinB；②sin2B＋sin2C－sin2A＝3sinBsinC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，________．(1)求角A；(2)若a＝8，b＋c＝10，求△ABC的面积．题后师说与三角形面积有关问题的解题策略巩固训练3[2024·辽宁鞍山模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosB(3a＋bsinC)＋bsinBcosC＝0.(1)求角B；(2)若2c＝a，△ABC的面积为233，求△第七节正弦定理、余弦定理必备学问·夯实双基学问梳理1.bsinBcsinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC（1）2RsinB2RsinC（2）（3）sinA∶sinB∶sinCb2+c2夯实双基1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝b2+c2-a22bc＝9+25-4930＝－1故选C.答案：C3．解析：在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c.由题意及余弦定理得cosA＝b2+c2-a2所以S＝12bcsinA＝12×4×2×sin60°＝2答案：234．解析：由正弦定理得sinC＝csinBb＝2∵c>b，B＝30°，∴C＝45°或135°，当C＝45°时，A＝105°；当C＝135°时，A＝15°.故选C.答案：C5．解析：在△ABC中，若sin2A＝sin2C.可得2A＝2C或2A＋2C＝π，所以A＝C或A＋C＝π2所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形关键实力·题型突破例1解析：(1)因为在△ABC中，∠A＝45°，a＝2，b＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，可得sinB＝bsin又由0°<B<180°，所以B＝60°或B＝120°，当B＝60°时，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°；当B＝120°时，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋120°)＝15°.故选D.(2)因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2+c2-a22bc＝12.又因为A∈(0°，180°)，所以A故选A.(3)因为a-bc-b＝sinCsinA+sinB，由正弦定理得a-bc由余弦定理得cosA＝b2+c2-又因为A∈(0，π)，所以A＝π3故选B.答案：(1)D(2)A(3)B巩固训练1解析：(1)由正弦定理可得asinA＝则sinB＝bsinAa＝2故B＝π4或B＝3因为b<a，所以B<A，所以B＝π4故选A.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－3bc可得cosA＝b2+c由于A∈(0，π)，故A＝π6故选A.(3)3cosAcosC＝ac，即为3ccosA即有3c·b2+c2-即有a2－c2＝12b2又a2－c2＝2b，则2b＝12b2解得b＝4.故选A.答案：(1)A(2)A(3)A例2解析：(1)由sin2A＝sinBsinC及正弦定理得(a2R)2＝b2R·c2R，即a2又2a＝b＋c，即a＝b+c2将②代入①可得(b－c)2＝0即b＝c③，将③代入①得a＝c，所以a＝b＝c，从而△ABC为等边三角形．故选C.(2)若cosA＝0，即A＝π2，则acosAcosB＋bcos2A＝acosA若cosA≠0，则由acosAcosB＋bcos2A＝acosA得acosB＋bcosA＝a，所以sinAcosB＋sinBcosA＝sinA，sin(A＋B)＝sinC＝sinA，所以C＝A或C＋A＝π(舍去)，所以三角形为直角三角形或等腰三角形．答案：(1)C(2)等腰或直角三角形巩固训练2解析：(1)∵在△ABC中，a＝ccosB，∴由正弦定理得sinA＝sinCcosB，又sinA＝sin(B＋C)，∴sin(B＋C)＝sinCcosB，即sinBcosC＋sinCcosB＝sinCcosB，∴sinBcosC＝0，∵在△ABC中B∈(0，π)，sinB>0，∴cosC＝0，又C∈(0，π)，∴C＝π2∴△ABC是直角三角形．故选B.(2)依据正弦定理得c2－b2＝a2，则c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形．答案：(1)B(2)直角例3解析：(1)选择①：因为b2＋c2－a2＝23acsinB，由余弦定理可得2bccosA＝23acsinB，所以结合正弦定理可得sinBcosA＝3sinAsinB.因为B∈(0，π)，则sinB>0，所以cosA＝3sinA，即tanA＝33因为A∈(0，π)，所以A＝π6选择②：因为sin2B＋sin2C－sin2A＝3sinBsinC，由正弦定理得b2＋c2－a2＝3bc，由余弦定理得cosA＝b2+c因为A∈(0，π)，所以A＝π6(2)由(1)知A＝π6，又已知a＝8，b＋c由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－(2＋3)bc，即64＝100－(2＋3)bc，所以bc＝362+所以△ABC的面积为12bcsinA＝12bcsinπ6巩固训练3解析：(1)∵cosB(3a＋bsinC)＋bsinBcosC＝0，∴3acosB＋b(sinCcosB＋c