福建漳州某中学2024年上学期期中九年级数学试卷（含答案）

2024-2025学年上学期漳州三中初中部期中考

九年级数学试卷

（考试时间：120分钟满分:150分）

友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位，越界答题！

注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画图在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重

描确认，否则无效.

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂.

1.关于尤的一元二次方程21-3%-5=°的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（）

A.2,3,5B.2,-3,-5C.-2,-3,5D.2,3,-5

2.下列命题中，属于真命题的是（）

A.有一个角是直角的四边形是矩形

B.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

D.对角线相等的平行四边形是矩形

3.下列各组线段中，成比例的是（）

A.30,60,80,40B.4,6,8,10

C.11,22,33,66D.2,4,9,5

4.观察下列表格，二次函数y=。必+6x+c（。70,a,b,c,是常数）的部分对应值列表如下:

X・・・-2-101・・・

・・・・・・

y-2-3-21

则代数式a-b+c的值为（）

A.-3B.-2C.-1D.1

5.用配方法解方程好-6%+4=0,原方程变形为（）

A.(x-3)2=5B.(%+3)2=4C.(x+3)2=-5D.(x-3)?=-4

6.如图，在平行四边形A3CD中，对角线AC与5。相交于点O,则添加下列结论中的一个条件后，能判

定平行四边形A3CD是矩形的是（）

第1页/共8页

D,C

/^C）\/

------

A.ADAC=9Q°B.AC1BDC.OA=OCD.AC=BD

7.由二次函数y=2（x—3y+1,可知（）

A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x=-3

C.其最小值为1D.当x<3时，y随x的增大而增大

8.如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（1,O）,对称轴是直线x=-1,则抛物线与x轴的另一交点的坐

标是（）

C.(-4,0)D.(-5,0)

9.如图，直线。〃匕〃c,它们依次交直线机、〃于点A、B、C和。、E、F,已知A3=4,BC=6,

C.6D.5

10.如图，菱形A2CD的对角线相交于点O,AC=12,跳）=16,点P为边3c上一点，且点P不与点8、

C重合.过点尸作尸ELAC于点E,于点R连结EF,则EF的最小值为（）

第2页/共8页

A.4B,4.8C.5D.6

二.填空题：本小题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题纸的相应位置。

11.如图，A3与CD相交于点。，连接AC,BD,添加一个条件，使△ACOSAB。。.你添加的条

12.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活

动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两个月售价的月均下降

率是x,则所列方程为.

13.如图，AABCS^ADE,若NA=60。，/ABC=45°,那么NE=.

14.如图，在矩形ABCD中，3C=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向

沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快—s后，四边形

ABPQ成为矩形.

ba

15.已知aw入，且满足2/一5。+1=0，2b2-5b+1=0>那么一+7的值为.

ab

16.如图，抛物线丁=。必+6x+c（awO）与X轴交于点顶点坐标与V轴的交点在

（0,3）,（0,4）之间（包含端点），则下列结论正确的有（填编号）①3a+6<0；②

4

--<a<-1；③对于任意实数加，a+Z>2a加2+方〃恒成立；④关于万的方程口必+6x+°=〃+1有两个

第3页/共8页

相等的实数根.

三.解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答

题纸的相应位置解答.

17.解方程：

⑴/一2%-3=0，

（2）x（2x+l）=4（2x+l）.

18.如图，ZSABC与△ADE中，NC=NE,Zl=Z2；证明：

A

C

19.在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为：y=ax-+bx+c

（1）根据表达式补全表格：

抛物线顶点坐标与X轴交点坐标与y轴交点坐标

(2,1)（0「3）

（2）在如图的坐标系中画出抛物线.

第4页/共8页

(3)当一lWx<4时，y的最大值y的最小值.

20.如图，在平行四边形A3CD中，AD>AB.

(1)求作四边形ABE/L使得点E,P分别在边5C,AD上，且AE平分/B4D,AF=A8；(要

求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)求证：四边形A8所是菱形.

21.如图，已知二次函数丁=必+加；+。的图象与x轴交于A3两点，与y轴交于点C,其中

A（-2,0）,C（0,-2）.

(1)求二次函数的表达式;

(2)若尸是二次函数图象上的一点，且点尸在第二象限，线段PC交x轴于点。,△PD3的面积是

△CD3的面积的2倍，求点尸的坐标.

22.如图，AABC中，42=8厘米，AC=16厘米，点尸从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点。从

第5页/共8页

C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运

动的时间为人

(1)用含/的代数式表示：AP=,AQ=.

(2)当以A,P,。为顶点的三角形与aABC相似时，求运动时间是多少？

23.根据以下素材，完成探索任务.

探索果园土地规划和销售利润问题

某农户承包了一块长方形果园A5CD,图1是果园

的平面图，其中A3=200米，5c=300米.准备

素在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都

材为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间

1部分种植水果.已知道路的路面造价是50元/m2；

出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12

（图1）

米，且不小于5米.

该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场

素调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓

材销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万

2元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需

25万元的养护、施肥、运输等其余费用.

问题解决

第6页/共8页

（1）请直接写出纵向道路宽度x的取

任

值范围.（2）若中间种植的面积是

务解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.

44800加2,则路面设置的宽度是否符

1

合要求.

任解决果园种植的预期利润问题.（净利润=草莓销售

（3）经过/年后，农户是否可以达到预期

务的总利润一路面造价费用一果园承包费用一新苗购

净利润400万元？请说明理由.

2置费用一其余费用，

24.【操作思考】如图1,将正方形纸片A5CD沿过点2的直线折叠，使点A落在正方形A3CD的内部,

点A的对应点为点G,折痕为BE,再将该纸片沿过点8的直线折叠，使3c与3G重合，折痕为8尸.

图1图2

（1）求NE3F的度数.

【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2,连结跖，作的中垂线分别交BE,BC

于点尸，H,连结尸尸，PA.

（2）求证：2PE2+BF2=2EF2.

（3）求证：AP平分N3AE.

25.如图，抛物线丁=。必+加；+6（0片0）与苫轴交于4（-1,0）,8（3,0）两点，与y轴交于点C,顶点为

点D

第7页/共8页

备用图①备用图②

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段上存在一点M,使得ZBMO=45°,求点M的坐标；

(3)点尸是y轴上一动点，点。是抛物线对称轴上一动点，是否存在点尸，Q,使得以点尸，Q,D为

顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

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2024-2025学年上学期漳州三中初中部期中考

九年级数学试卷

（考试时间：120分钟满分:150分）

友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位，越界答题！

注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画图在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重

描确认，否则无效.

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂.

1.关于尤的一元二次方程2必-3%-5=°的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（）

A.2,3,5B.2,-3,-5C.-2,-3,5D.2,3,-5

【答案】B

【详解】解：一元二次方程2必一3》-5=0的二次项系数为2、一次项系数为-3和常数项为-5,

故选：B.

2.下列命题中，属于真命题的是（）

A.有一个角是直角的四边形是矩形

B.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

D.对角线相等的平行四边形是矩形

【答案】D

【详解】解：A.有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，有三个角是直角的四边形是矩形，故本选

项不符合题意；

B.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形，是假命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选

项不符合题意；

C.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形，是假命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本

选项不符合题意；

D.对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项符合题意；

故选：D.

3.下列各组线段中，成比例的是（）

A.30,60,80,40B.4,6,8,10

C.11,22,33,66D.2,4,9,5

第1页/共22页

【答案】C

【详解】解：A、30x40^80x60,不能成比例，故本选项错误；

B、4x10/6x8,不能成比例，故本选项错误；

C11x66=22x33,能成比例，故本选项正确；

D、2x544x9,不能成比例，故本选项错误.

故选：C.

4.观察下列表格，二次函数y=ad+Z«+c(。。0,a,b,c,是常数)的部分对应值列表如下:

X•••-2-101.・・

y・・・-2-3-21・・・

则代数式0-方+c的值为()

A.-3B.-2C.-1D.1

【答案】A

【详解】解：由表格可知二次函数丁=依2+公+。过点(-1,-3),

a—b+c=—3,

故选：A.

5.用配方法解方程6%+4=0,原方程变形为()

22

A.(x-31=5B.(X+3)=4C.(x+3『=-5D.(x-3)=-4

【答案】A

【详解】解：X2-6X+4=0，

x2-6x=-4，

•••x2-6x+32=-4+32.

A(x-3)2=5,

故选：A.

6.如图，在平行四边形A3CD中，对角线AC与8。相交于点O,则添加下列结论中的一个条件后，能判

定平行四边形A3CD是矩形的是()

第2页/共22页

D,C

/^C）\/

-----

A.ADAC=90°B.AC1BDC.OA=OCD.AC=BD

【答案】D

【详解】解：A、；四边形ABC。是平行四边形，ZDAC=90°,则ZDAB=180°,证明不了平行四边

形A3CD是矩形，故该选项不符合题意；

B、：四边形A3CD是平行四边形，AC1BD,则四边形A3CD是菱形，证明不了平行四边形A3CD

是矩形，故该选项不符合题意；

C、；四边形A3CD是平行四边形，则。4=OC,证明不了平行四边形A5CD是矩形，故该选项不符合

题意；

D、•.•四边形A5CD是平行四边形，AC=BD,则四边形A3CD是矩形，故该选项符合题意；

故选：D

7.由二次函数y=2（x—3『+],可知（）

A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x=-3

C.其最小值为1D.当x<3时，y随x的增大而增大

【答案】C

【详解】解：由二次函数y=2（x—3丫+1,可知：

A：-：a=2>Q,其图象的开口向上，故此选项错误；

B.•.•其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误；

C.其最小值为1,故此选项正确；

D.抛物线开口向上，对称轴为直线％=3,则当尤<3时，y随X的增大而减小，故此选项错误.

故选：c.

8.如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（l,0）,对称轴是直线x=-1,则抛物线与x轴的另一交点的坐

标是（）

第3页/共22页

A.(-2,0)B.(-3,0)C.(-4,0)D.(-5,0)

【答案】B

【详解】解：设抛物线与X轴的另一个交点为8仅,0),

•.•抛物线与X轴的一个交点A(l,o),对称轴是直线x=-1,

.1+b1

..三’

解得。=一3,

.*.5(-3,0).

故选：B.

9.如图，直线它们依次交直线机、〃于点A、B、C和。、E、F,已知AB=4,BC=6,

DE=2,那么。尸等于()

【答案】D

【详解】＜a〃b〃c,

ABDE42

..---=----,即nn一=----

BCEF6EF

解得斯=3,

DF=DE+EF=5.

故选：D.

10.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=12,BD=16,点P为边BC上一点,且点P不与点8、

C重合.过点P作PELAC于点E,PFLBD于点F,连结ER则EP的最小值为()

第4页/共22页

A.4B.4.8C.5D.6

【答案】B

【详解】连接。尸，

:四边形ABCD是菱形，AC=12,BD=16,

11

：.AC±BD,B0=—BD=8,OC=-AC=6,

22

•••BC=7OB2+OC2=10，

•：PE±AC,PFLBD,ACLBD,

：.ZFOE=ZPEO=ZPFO=90°

四边形。£尸尸是矩形，

:.FE=OP,

•.,当OPLBC时,。尸有最小值，

“j11

此时SBC=-OB-OC=-BC-OP,

AO22

6x8

：.OP=4.8,

lo-

...EF的最小值为4.8,

故选：B.

二.填空题：本小题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题纸的相应位置。

11.如图，与CD相交于点。，连接AC,BD,添加一个条件，使你添加的条

件是.

【答案】ZA=ZB（答案不唯一）

【详解】VZAOC=ZBOD（对顶角相等），

要使△ACOsABDO,只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可,

...可以添加NA=ZB,

第5页/共22页

故答案为：ZA=ZB（答案不唯一）.

12.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活

动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两个月售价的月均下降

率是x,则所列方程为.

【答案】23（l-x）2=16

【详解】解：根据题意得：23（1-X）2=16.

故答案为：23（l-x）2=16.

13.如图，AABCCOAADE,若NA=60。，ZABC=45°,那么NE=.

【详解】解：：,

：.ZABC=ZD=45°,

-：ZA=60°,

：.ZE=18O°-ZA-ZD=180°-60°-45°=75°.

故答案为：75。.

14.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向

沿矩形ABCD的边运动，点尸和点。的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快—s后，四边形

ABPQ成为矩形.

【答案】4

【详解四边形ABCD是矩形，

AQ//BP,ZA=90°,AD^BC=20cm

第6页/共22页

.•.当A。=BP时，四边形A6P。为矩形

由题意得：BP=3t,QD=2t

：.AQ=20-2f

3t=20-2f,解得：f=4s

故答案为:4.

bci

15.已知且满足2a2—5a+i=0，2/-5。+1=0，那么一+7的值为.

ab

,21

【答案】—

2

【详解】解：；且满足2a2—5。+1=0，2/—5。+1=0，

:.a、b为方程2f—5x+l=0的两个实数根，

,5,1

ci+b=—,ab—一,

22

2⑶12x1

22

b+a_a+b_（a+b）-lab_[^2）2_21

ababab2

2

故答案为：—.

2

16.如图，抛物线y=o%2+b尤+c（awO）与％轴交于点A（—1,0）,顶点坐标。,〃），与,轴的交点在

（0,3）,（0,4）之间（包含端点），则下列结论正确的有（填编号）①3a+b<0；②

4

—<tz<-1；③对于任意实数加，a+b2a力/+方"恒成立；④关于％的方程ax?+6x+c="+1有两个

3

相等的实数根.

【答案】①②③

第7页/共22页

b

【详解】解：・・,抛物线对称轴为直线％=——=1,

2a

b=-2a,

・・,抛物线开口向下，

/.a<0,0>0,

[3〃+Z?=3〃-2〃=a<0,故①正确.

•・,抛物线经过（—1,0）,

••ci—b+c=3ci+c=0,

••c——3a,

V抛物线与y轴的交点在（0,3）,（0,4）之间，

3<c<4,即3W—3aW4,

4

解得——WaV—1,故②正确.

3

：x=l时，y=a+0+c为最大值，

，对任意实数加，x=时，对应的函数值不大于a+6+c.

a+b+c>am2+bm+c-

a+b>am2+bm-故③正确.

•.•直线y=〃+l在抛物线顶点上方，抛物线开口向下，

抛物线与直线y=〃+1没有交点.

关于尤的方程a/+云+°=〃+1没有实数解.故④错误.

故答案为：①②③.

三.解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答

题纸的相应位置解答.

17.解方程：

⑴X2-2X-3=0.

（2）x（2x+l）=4（2x+l）.

【答案】（1）石=T,%=3

(2)x1=4x2=0.5

第8页/共22页

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元二次方程：

(1)把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案；

(2)先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案.

【小问1详解】

解：Z—2x-3=0，

/.(x+l)(x-3)=0,

x+l=0或x—3=0,

解得％=T,%=3；

【小问2详解】

解：：x(2x+l)=4(2x+l),

/.x(2x+1)-4(2x+1)=0,

.•.(x-4)(2x+l)=0,

x-4=0或2x+1=0,

解得罚=4,x2=0.5.

18.如图，ZSABC与△ADE中，NC=NE,Z1=Z2；证明：AABCsaADE.

【答案】见解析

【详解】证明：•••/：!=N2,

Zl+ZDAC=Z2+ADAC,

：.ABAC=ZDAE,

第9页/共22页

NC=NE,

：./\ABCS/\ADE.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

19.在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为：y=ax2+bx+c

(1)根据表达式补全表格：

抛物线顶点坐标与X轴交点坐标与y轴交点坐标

(2,1)(。，-3)

(3)当时，y的最大值________,y的最小值.

【答案】(1)y=-%2+4x-3,(1,0),(3,0)；

(2)见解析；(3)1,-8.

【解析】

【小问1详解】

解：设函数解析式为：y=<7(x-/z)2+k,

:函数的顶点坐标为(2,1),

y=。(％-2)一+1,

•.•函数与。轴交于(0,-3),

第10页/共22页

t/(O-2)2+l=-3,

解得：a=—l>

-（x-2）+1=—%2+4x—3,

令y=°,则-丁+4%-3=0，

解得：%=1,x2=3,

函数与工轴的交点坐标为：（1,0）,（3,0）,

故答案为：y=-x2+4x-3,（1,0）,（3,0）；

【小问2详解】

解：列表：

X01234

y=-x2+4x-3-3010-3

当x=_］时，y=-x1+4x-3=_(-1)一+4x(-1)-3=-8,

当x=4时，y=-x2+4x-3=-42+4x4-3=-3,

...当—时，y的最大值为1,y的最小值为-8,

故答案为：1,—8.

第11页/共22页

20.如图，在平行四边形ABC。中，AD>AB.

（1）求作四边形ABEB,使得点E,尸分别在边5C,AD上，且AE平分/BAD,AF=AB；（要

求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）求证：四边形是菱形.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【小问1详解】

解：如图所示四边形ABE产为所求作的图形，

【小问2详解】

证明：平分NBA。，

Z1=Z2.

四边形ABCD是平行四边形,

；•BE//AF,

：.N2=/3,

ZA=N3,

AB=EB,

由作图可得，AB=AF,

：.BE=AF,

又•:BE//AF,

四边形A8EF是平行四边形，

又：AB=BE,

四边形ABEF是菱形.

D

AF

第12页/共22页

21.如图，已知二次函数丁=必+法+。的图象与％轴交于AB两点，与y轴交于点c,其中

A(-2,0),C(0,-2).

（1）求二次函数的表达式;

（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交工轴于点。,△PD3的面积是

△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.

【答案】（1）y=x2+x—2

(2)(-3,4)

【解析】

【小问1详解】

解:将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c,

4一2Z?+c=0

得

c=-2

b=\

解得《

c=-29

所以，二次函数的表达式为y=d+x—2.

【小问2详解】

设尸（九”），因为点尸在第二象限，所以相＜0,”0.

c-BD-n

依题意，得产生=2,即-------=2,所以1=2.

'△CDB-BDCOC0

2

由已知，得。。=2,

第13页/共22页

所以〃=2CO=4.

由加2+加一2=4，

解得叫=-3,加2=2(舍去),

所以点尸坐标为(-3,4).

22.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点尸从A出发，以每秒2厘米的速度向8运动，点。从

C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运

动的时间为九

(1)用含/的代数式表示：AP=,AQ=.

(2)当以A,P,。为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？

【答案】(1)AP=2t,AQ=16-3t；(2)运动时间为一秒或4秒.

7

【详解】解：⑴AP=2t,AQ=16-3t.

(2)'：APAQ=ABAC,

APAO

...当——=*时，△APQS/VIBC,

ABAC

It16-3?

n即n——=------,

816

解得好16;

7

AO

当——AP=*时，AAPQs^ACB,

ACAB

2t16-3/

n即n一=------,

168

解得t=4.

.•.运动时间为—秒或4秒.

7

23.根据以下素材，完成探索任务.

探索果园土地规划和销售利润问题

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某农户承包了一块长方形果园A3C。，图1

是果园的平面图，其中AB=200米，AxxD

2x2x

5C=300米.准备在它的四周铺设道路，上EMPH

素材下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条种植园区

1纵向道路的宽度都为X米，中间部分种植水

FN0G

果.已知道路的路面造价是50元/m2；出于2x2x

BxxC

货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12（图1）

米，且不小于5米.

该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经

市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方/

素材米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的

2承包费为25万元，期间需一次性投入33万元

购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、

（图2）

运输等其余费用.

问题解决

（1）请直接写出纵向道路宽度无的取值范

任务解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影

围.（2）若中间种植的面积是44800//，

1响.

则路面设置的宽度是否符合要求.

解决果园种植的预期利润问题.（净利润=草

任务（3）经过/年后，农户是否可以达到预期净利

莓销售的总利润一路面造价费用一果园承包费

2润400万元？请说明理由.

用一新苗购置费用一其余费用，

【答案】（1）5<x<6；（2）不符合，详见解析；（3）可以达到预期，详见解析

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【详解】(1)因为x25,且12<2%

所以5<x<6

⑵当y=44800时，(200-4%)(300-2%)=8——1600x+60000=44800,

x2-200%+1900=0

解得：%!=10,x2=190,都不满足5<x<6,

所以不符合

(3)100(200-4x)(300-2x)-50[60000-(200-4x)(300-2x)]~330000-250000-250000

=4000000

化简得：9—200x+975=0

解得：%=5,%2=195(舍去)

所以可以达到预期.

24.【操作思考】如图1,将正方形纸片A3CD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形A3CD的内部,

点A的对应点为点G,折痕为BE,再将该纸片沿过点2的直线折叠，使与BG重合，折痕为B尸.

Ar—E______，D4k______,D

(1)求NEB/的度数.

【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2,连结所，作的中垂线分别交BE,BC

于点P,H,连结PE,PA.

(2)求证：2PE2+BF2=2EF2■

(3)求证：A尸平分/A4E.

【答案】(1)45°；(2)见解析；(3)见解析

【详解】(1)解：•••四边形A3CD是正方形，

：.ZABC=90°,

由折叠得：ZABE=ZEBG=-ZABG,ZCBF=ZFBG=-ZCBG,

：.ZEBF=ZEBG+ZFBG

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=~(ZABG+ZCBG)

=-ZABC

2

=-x90°

2

=45。，

故NEBb的度数为45°.

(2)证明：如图，由(1)知NE5b=45°,

A,…区____，DA.

/产-----------C-------方—'C

图1图2

,/PH垂直平分BF,

PF=PB，

：.ZPFB=ZPBF=45°,

NBPF=ZEPF=90°,

ABFP是等腰直角三角形，

BF2=2PF-，

在RtAEFP中，PE2+PF2=EF2，

•••2PE2+2PF2=2EF2，

2PE2+BF2=2EF2-

(3)解：如图3,过点P作BC的平行线分别交AB、CD于点M.N,则MN1AB,MNLCD,

En

8H°

图3

ZPMB=ZFNP=9Q°,

：.NMBP+NMPB=90。,

•：ZBPF=90°,

/•ZNPF+ZMPB=90°,

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ZMBP=NNPF,