等式与不等式（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第02讲等式与不等式

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2019年天津卷，第10题,5分解不含参数的一元一次不等式

2017年天津卷，第2题,5分必要条件的判定及性质解不含参数的一元一次不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小

2.能掌握一元二次不等式的性质

3.掌握一元二次不等式根与系数的关系

4.会解一元二次不等式、能够解决一元二不等式的恒成立与存在成立等问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等。

•考点梳理

1.两个实数比较大小的方法考点一、等式与不等式的性质

r知识点一.等式与不等式的性质2.等式的性质考点二、比较大小

3.不等式的性质考点三、最值与取值范围问题

等式与不等式

1.一元二次不等式的概念

2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不考点四、一元二次不等式

知识点二.一元二次不等式等式的解集的对应关系考点五、一元二次方程跟的分布

3.一元二次不等式的解法考点六、一元二次不等式恒成立

4三.个“二次”间的关系

知识讲解

知识点一.等式与不等式的性质:

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

a-b>00d>b,

a-b=00a=b,

a-b〈00a<b.

(2)作商法

7>l(aeR,b>0)=a>b(aER,b>0),

£=l(a,bH0)oa=b(a,bW0),

三<l(a£R,b>0)=a<b(aER,b>0),

2.等式的性质

⑴对称性•.若a二b,则

(2)传递性:若a=b,b=c,则a=c.

⑶可加性：若a=b,贝b+c=b+c.

(4)可乘性:若Q=b,则ac=be;若a-b,c=d,则ac=bd

3.不等式的性质

⑴对称性：cOb=b<a;

(2)传递性:a>b,b〉cQa>c;

⑶可加性a>b=a+c>b+c;a>b,c>d=a+c>b+d

(4)可乘性：a>bfc>0<=>ac>bc\a>b,c<0<=^ac<cb;a>b>0,c>d>0=ac>bd;

(5)可乘方：a>b>0<=>an>Z?n(neN,n>l);

⑹可开方Q>b>0=>Vb(nGN,n>2).

知识点二.一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不

定义

等式

ax+bx+c>0,ax-Ybx+c<.Q,ax+bx+ax+bx+c^O,其中aWO,

一般形式

a,b,c均为常数

2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

判别式A=]j—\acAyQA=Q/〈0

二次函数y=ax+bx\j/1/

+c(a>0)的图象x

O\xi=x2x

有两个相等的实数

一元二次方程.3?+有两个不相等的实

b没有实数根

bx+c=0(a>0)的根数根矛1,生(矛1〈生)根:矛1=加=一丁

ax+bx+c>0(a>0)b'

{x或*>旬*X手FR

的解集

ax+6x+c<0(a>0)

{xXl〈水用}00

的解集

3.一元二次不等式的解法

1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax'+bx+cXKa>。)或ax2+bx+c<0(a

>0).

2.求出相应的一元二次方程的根.

3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

方程的根一函数草图一观察得解，对于a<0的情况可以化为。〉0的情况解决

注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来

解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。

注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意

判别式韦达定理的应用。

4.三个“二次”间的关系

判别式A=b2—4acA>0A=0A<0

二次函数y=ax2+bx

+c(a>0)的图象

有两相等实根X1=X2

一元二次方程ax2+bx有两相异实根Xi,

___b_没有实数根

+c=0(a>0)的根X2(X1<X2)

2a

2

ax+bx+c>0(a>0){xX>X2

R

的解集或xVxJ

ax2+bx+c<0(a>0)

{xX1VXVX2}00

的解集

考点一、等式与不等式的性质

典例引领

1.（2024•辽宁•模拟预测）若a>b,则下列说法正确的是（)

A.a2>b2B.lg(a—h)>0C.a5>bsD.\a3\>\b3\

2.（2024•山东滨州•二模）下列命题中，真命题的是（

A.若a>b,则ac>beB.若a>b,则小>

C.若Ge?之旅2,则aNbD.若a+2b=2,则2°+4b24

即时检测

1.（22-23高三上•甘肃定西•阶段练习）已知a>6>0,c<0,则下列正确的是（）

A.ac>beB.ac>bcC.刍>三D.ab—be>0

c2c2

2.（2024•安徽淮北•二模）已知a"ER,下列命题正确的是（）

A.若ab=1,则a+Z）>2

B.若工<则a>b

ab

C.若a>b,则ln（a—b）>0

D.若a>b>0,则ad——

ba

3.（2024•天津•一模）已知a,6eR,则“b>|a|"是“a2<炉”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023•山西临汾•模拟预测）若a,beR,则“a<b”是“。3_。2b<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

考点二、比较大小

典例引领

1.(22-23高三上•天津河东•期中)若a=巴2b=11121n3,c="则a,b,c的大小关系是()

44

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

2.(2024•四川成都•模拟预测)已知a,b为实数，则使得((a>b>0”成立的一个必要不充分条件为

()

11

A.->mB.ln(a+1)>ln(b+1)

C.a3>b3>0D.Va—1>y/b—1

1.（22-23高三上•天津河西•期末）若a,b,ceR,a>b,则下列不等式成立的是（

A.—<C-B.a2<b?C.——>—D.ct\c\>b\c\

abc2+lc2+l1111

2.(2023•天津・一模)设a>0,h>0,则“a>b”是“工<的()

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（232高三上•天津和平•开学考试）已知a是实数，贝La>l”是“0+"2”的（).

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•北京西城•一模）设a—t--,b—tc=t(2+t),其中一lVtVO,贝1J()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

考点三、最值与取值范围问题

1.（2024高三•全国•专题练习）已知12<a<60,15<6<36,则a-b的取值范围是,蓝的取

值范围是.

2.（2024•全国•模拟预测）已知实数％,y满足一lV%<yVl,贝!J%+y的取值范围是.

即时检测

I_________L__________

1.（2024高三•全国•专题练习）若实数x,y满足lWxy2W4,3Wx2y《5,则xy5的取值范围是.

2.（2024•河北石家庄•二模）若实数x,y,z>0,且x+y+z=4,2%—y+z=5,则M=4x+3y+5z的

取值范围是.

3.（23-24高三下•重庆渝北•阶段练习）已知三个实数a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且be=a2,则*

b

的最大值为.

4.（2024•浙江•模拟预测）已知正数a,b,c满足a?+c?=16,b2+c2-2S,则k=a?+b?的取值范围

为_____

5.（2024•广东•三模）设实数x、y、z、t满足不等式1W久WyWzWtW100,贝仁+三的最小值为.

yt--------

考点四、一元二次不等式

1.（2024•上海•高考真题）已知x6R,则不等式/-2x-3<0的解集为

2.(23-24高三上♦河北石家庄•阶段练习)不等式然<0的解集是()

A.^x|—|<x<jjB.{x|一|<久<|}

C.{x|x<一|或x>|}D.{幻％<一［或%>|}

♦♦口叫螂L

1.(23-24高三下•陕西安康・阶段练习)在区间［。，5］内随机取一个实数a,则关于x的不等式/+

(2-a)x-2a<0仅有2个整数解的概率为()

2311

A-sB-wC-sD-IF

2.(2024高三•全国•专题练习)已知a,beR且ab*0,若(x—a)(x—6)(尤—2a—b')>0在；c>0上恒

成立，贝U()

A.a〈0B.a>0C.b<0D.b>0

3.(23-24高三下•上海•阶段练习)设。>0,若关于久的不等式/一a%<0的解集是区间(0,1)的真子集，

贝b的取值范围是.

4.(2023•全国•模拟预测)定义：若集合4B满足力CBH0,存在a€4且aWB,且存在6€B且6任4

则称集合4B为嵌套集合.已知集合4=\x\2x-x2<0且xGR+},B={x\x2-(3a+l)x+2a2+2a<0},

若集合4B为嵌套集合，则实数a的取值范围为()

A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)

考点五、一元二次方程跟的分布

典蜗网

1.(23-24高三上•四川•阶段练习)若关于x的方程/一2a久+a+2=0在区间(一2,1)上有两个不相等的

实数解，贝b的取值范围是()

A(-?-1)B.

C.(一8,一q)U(—1,+8)D.(—8,一§U(1,+8)

2.(21-22高三上•江苏南通,期中)已知关于x的不等式a/+2bx+4<0的解集为(zn,其中zn<0,

则9+：的最小值为()

4ab

A.-2B.1C.2D.8

1.(2024高三•全国•专题练习)关于％的方程a/+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根且久1<

1V%2，那么。的取值范围是（）

222

A.—<a<—B.。>一

755

C.a<—2D.---2<a<0

711

2.（2023•北京海淀•模拟预测）已知关于x的不等式%2+ax+b>0（a>0）的解集是{用久Hd},,则下列

四个结论中错误的是（）

A.a2=4b

B.a?-]—>4

b

C.若关于x的不等式%2+一6<o的解集为（久1，外），则％i%2>0

D.若关于x的不等式％2+a%+力<。的解集为（％],上），且|%1-％21=4,贝！Jc=4

3.（21-22高三上•上海浦东新•阶段练习）如果二次方程%2一。％一9=03«6"）的正根小于3,那么这

样的二次方程有一个.

考点六、一元二次不等式恒成立

典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）若不等式（a-2）/+2（a-2）x-4<0对一切xGR恒成立，则实数a的

取值范围是（）

A.（-co,2]B.[-2,2]

C.（-2,2]D.（—8,—2）

2.（2024•陕西西安•模拟预测）当时，不等式％2一a%+1工o恒成立，则实数a的取值范围

是.

即时检测

1.（2024高三•全国•专题练习）已知b>0,若对任意的％G（0,+oo）,不等式4a%3+8/—尤%—2b<0

恒成立，则小+2a+4b+ab的最小值为.

2.（22-23高三上•河北衡水-阶段练习）已知对任意实数久>0,不等式（2--ax-10）ln->0恒成立，

a

则实数a的值为.

3.（2024•陕西榆林•三模）已知aE（0,2兀），若当久E[0,1]时，关于％的不等式（$1,11/+。0$/+1）%2—

（2sina+1）%+sina>0恒成立，则a的取值范围为（）

A-心箸）B.（7-V）C-（看片）D.

4.（2024•湖北•二模）已知等差数列的前n项和为%,且％=n2+m,nEN*,若对于任意的aG[0,1],

不等式&<x2-（l+a）x-2a2-a+2恒成立，则实数x可能为（）

n

A.—2B.0C.1D.2

IN.好题冲关

A基础过关

1.（2021•天津和平•一模）设aeR,贝U"2<a<3”是“(a+l)(a—6)<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•河北唐山•一模）已知x6R,p：“式2—%>0",q."%>1",则p是q的(

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（23-24高三上•天津北辰•期中）设xeR,则>1”是，，工<J成立的（)

X

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2022•天津•二模）设xeR,则“xW3”是“一<3久”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024•天津-一模）设则“x<0”是“久2—无>o”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024高三下•全国•专题练习）已知2<aV3,-2<6<-1,则Q+2b的取值范围为

7.（2024高三下•全国•专题练习）若关于x的不等式（加一3）%2一2血%—8>0的解集是一个开区间，且

区间的长度L满足Le[L2],求实数m的取值范围（注：开区间（a,b）的长度L=b-a）.

B能力提升

1.（2024•福建宁德•三模）函数/（%）=已，若关于x的不等式丁（比）]2-af（x）<0（aGR）有且仅有三个整

数解，则a的取值范围是（）

A.B-（高哥

C.岛，舟D.

2.（2022•河南南阳•模拟预测）己知命题p：Vx6/?,/+4x-m20恒成立；命题q：/（x）=-x2+

（根-1）%在[-3,+8）上单调递减.若2八（/为假命题，pvq为真命题，则实数血的取值范围是（

A.[-4,-3]B.(—5,—4]

C.（-00,-5）U（—4,4-oo）D.（-oo,-6）U（—4,+oo）

3.（2024•甘肃张掖•模拟预测）不等式|一一3%|<2-2%的解集是（）

4.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/'（x）=/+a久+6（a,beR）的最小值为0,若关于久的不等式

/0）<©的解集为（>1,6+4）,则实数（:的值为（）

A.9B.8C.6D.4

5.（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）已知条件q：“不等式（a2-4）x2+（a+2）%-1>0的解集是空

集”，则条件p：“—2Wa<1”是条件q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024•广东•一模）已知a,b,cER且a丰0,贝！］“a/+bx