北京市昌平区2023届高三上学期数学期末质量检测试卷

北京市昌平区2023届高三上学期数学期末质量检测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．已知集合A={x∣−1≤x<2}，A．(−∞，2) B．[−1，+∞) C．2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(a，1)，且满足(1−i)⋅z=2，则A．1 B．−1 C．2 D．−23．下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（）A．y=1x B．y=−x3 C．4．若a>b>0,c>d>0，则一定有（）A．ac>bd B．ac<5．已知二项式(x+ax)5的展开式中A．−1 B．1 C．−2 D．26．若sin(π−α)=−45，A．34 B．−34 C．47．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，则“角α与角β的终边关于y轴对称”是“sinα=sinβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（）A．16 B．18 C．20 D．229．设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l.斜率为3的直线经过焦点F，交抛物线C于点A，交准线l于点BA．y2=2x B．y2=3x C．10．已知向量a，b，c满足A．2−1 B．5−12 C．5二、填空题11．已知数列{an}中，a1=212．若直线y=kx+2与圆(x−1)2+y13．已知正三棱锥P−ABC的六条棱长均为a，O是底面△ABC的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交PA，PB，PC于给出下列四个结论：①三棱锥O−A②三棱锥P−ABC的高为63③三棱锥O−A④当PA1PA其中所有正确结论的序号是.14．已知双曲线x24−y25=1的焦点为F1，F15．在△ABC中，a=8，c=7，cosA=17，则三、解答题16．已知函数f(x)=3sin2ωx−cos2ωx(0<ω<2)，再从条件①条件①：函数f(x)的图象经过点(π条件②：函数f(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到；条件③：函数f(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.（1）求f(x)的解析式；（2）当x∈[0，π2]时，关于x的不等式17．不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下：

检测结果序号品牌名称不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ级Ⅰ级2品牌2Ⅱ级Ⅰ级3品牌3Ⅰ级Ⅰ级4品牌4Ⅱ级Ⅱ级5品牌5Ⅰ级Ⅰ级6品牌6Ⅱ级Ⅰ级7品牌7Ⅰ级Ⅰ级8品牌8Ⅰ级Ⅰ级9品牌9Ⅱ级Ⅱ级10品牌10Ⅱ级Ⅱ级11品牌11Ⅱ级Ⅱ级12品牌12Ⅱ级Ⅱ级（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率；（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设Y为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量X和随机变量Y的数学期望的大小（结论不要求证明）.18．如图，在多面体ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A（1）求证：CC1∥（2）求直线A1C1（3）求直线A1B119．已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的方程和短轴长；（2）已知点P(1，0)，直线l过点(0，3)且与椭圆C有两个不同的交点A，B，问：是否存在直线l，使得20．已知函数f(x)=e（1）当m=0时，求曲线y=f(x)在点(0，（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）当−e≤m<−1时，证明：对任意的x∈(0，21．已知数列{an}满足：a1∈（1）若a1=2，写出集合（2）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M的元素个数的最大值.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】依题意A∩B={x|故答案为：C

【分析】利用已知条件结合交集的运算法则得出集合A和集合B的交集。2．【答案】A【解析】【解答】由(1−i)⋅z=2得z=2又复数z对应的点的坐标是(a，1)，即故答案为：A

【分析】利用已知条件结合复数的几何意义，进而得出复数z，再结合复数的乘法运算法则和复数相等的判断方法，进而得出实数a的值。3．【答案】B【解析】【解答】对于A，设f(x)=1x，则故f(x)=1对于B，设g(x)=−x3，其定义域为R且故g(x)=−x3为奇函数，而y=x故g(x)=−x3为对于C，设h(x)=x|x|，因为h(1)=1<4=h(2)，故h(x)=x|x|在定义域内不是减函数，C不符合题意.对于D，y=log12故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的定义，进而找出满足要求的函数。4．【答案】C【解析】【解答】由题可得cd>0,则1cd因为a>b,c>d>0则ac>bc,bc>bd,则有ac>bd,所以ac⋅1cd故答案为：C【分析】由题,可得1cd>0,且ac>bc>bd,即5．【答案】B【解析】【解答】二项式(x+ax)令5−2r=−1，解得r=3，所以a3故答案为：B

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合展开式中的通项公式得出展开式中1x的系数，再利用展开式中16．【答案】D【解析】【解答】sin(π−α)=sin所以cosα=所以tanα=故答案为：D

【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，进而得出tanα7．【答案】A【解析】【解答】由题意知，角α与角β的终边关于y轴对称时，则α+β=π+2kπ，k∈Z，故α=π−β+2kπ，k∈Z，则sinα=sin(π−β+2kπ)=sinβ，k∈Z，即sinα=sinβ；当α=β+2kπ，k∈Z时，此时sinα=sinβ，角α与角β的终边不关于y轴对称，即“sinα=sinβ”成立不能得出“角α与角β的终边关于y轴对称”成立，故“角α与角β的终边关于y轴对称”是“sinα=sinβ”的充分而不必要条件。故答案为：A

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而推出“角α与角β的终边关于y轴对称”是“sinα=sinβ”的充分而不必要条件。8．【答案】C【解析】【解答】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1；第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1，2，1，第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：1，1+2，第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：1，1+3，第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：1，1+4，第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：1，1+5，故小球落入D区的路线数有20条。故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理，进而得出小球落入D区的路线数。9．【答案】B【解析】【解答】直线AB的斜率为3，倾斜角为π3过A作AH⊥l，垂足为H，连接HF，由于|AH|=|AF|，∠HAF=π所以|HF|=|AH|=1由于∠FHB=π6，所以所以抛物线方程为y2故答案为：B

【分析】利用直线AB的斜率为3结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出直线的倾斜角，过A作AH⊥l，垂足为H，连接HF，由于|AH|=|AF|，∠HAF=π3，所以三角形10．【答案】C【解析】【解答】把a，b平移到共起点，以b的起点为原点，b所在的直线为x轴，b的方向为x轴的正方向，见下图，设OB又∵(c−a)⋅(c−b)=0  ∴AC⊥BC则点C的轨迹为以AB为直径的圆，又因为|a|=2，|故答案为：C

【分析】把a，b平移到共起点，以b的起点为原点，b所在的直线为x轴，b的方向为x轴的正方向，设OB=b，OA=a，OC=c，再利用向量的运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，则点C的轨迹为以AB为直径的圆，再利用|a11．【答案】a【解析】【解答】数列{an则an≠0，否则与故an+1an所以an故答案为：an

【分析】利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而判断出数列{an}12．【答案】5【解析】【解答】由题意知k∈R，直线y=kx+2过定点(0当点(0，2)在圆上或圆内时，直线即(0−1即a的最小值为5。故答案为：5。

【分析】由题意知k∈R，再将直线方程转化为点斜式方程得出直线y=kx+2过定点(0，2)，当点(013．【答案】①②④【解析】【解答】如图所示∵用一个平行于底面的平面截三棱锥，且P−ABC为正三棱锥，O是底面△ABC的中心∴三棱锥O−A1B∵正三棱锥P−ABC的六条棱长均为a，O是底面△ABC的中心，∴三棱锥P−ABC的高为PO，△ABC的高为CD，且CD=32a∴PO=a2−，∵A1，B1，∴A1B1=x∈(0，a)，设O−A∴f(f'(x)=26ax−2所以f(x)在(0，2a3)当PA1PA=2∴A1B∴VO−故④正确；故答案为：①②④

【分析】利用已知条件结合正三棱锥的结构特征、三棱锥的高求解方法、三棱锥的体积公式，函数的最值求解方法，进而找出正确的结论的序号。14．【答案】y=±52【解析】【解答】依题意a=2，b=5由于|PF1|=4=2a，所以P故答案为：y=±5

【分析】依题意得出a，b的值，再结合双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线方程；由于|PF1|=4=2a，所以P15．【答案】5；π【解析】【解答】由余弦定理可得64=b故b2−2b−15=0，故b=−3（舍）或故cos∠C=64+25−492×5×8=1故答案为：5，π3

【分析】利用已知条件结合余弦定理得出b的值，再结合余弦定理和三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值。16．【答案】（1）解：f(x)=3选①：函数f(x)的图象经过点(π3，所以2ω×π3−由0<ω<2，可得ω=1，则f(x)=2sin(选②：函数f(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，即f(x)=2sin(2ωx−π则ω=1，则f(x)=2sin(选③：函数f(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2则函数的最小正周期为π，故2ω=2π故f(x)=2sin(（2）解：当x∈[0，π2]时，故f(x)=2sin(又当x∈[0，π2]时，关于x的不等式即实数m的取值范围为[2【解析】【分析】（1）利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数；选①：函数f(x)的图象经过点(π3，2)结合代入法和0<ω<2，进而得出ω的值，从而得出函数f(x)的解析式；选②：函数f(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，即f(x)=2sin(2ωx−π6)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，再利用正弦型函数的图象变换得出ω的值，从而得出函数f(x)的解析式；选③：利用函数f(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，进而得出函数的最小正周期为π，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出ω的值，从而得出函数f(x)的解析式。

（2）当17．【答案】（1）解：“不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5个，记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级，则P(A)=（2）解：前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3个，X可能取值为0，1，2，P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C∴X分布列为X012P131E(X)=0×（3）解：后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2个，Y可能取值为0，1，2，P(Y=0)=CP(Y=1)=CP(Y=2)=C∴Y数学期望为E(Y)=0×【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式得出这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率。

（2）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望。

（3）利用已知条件得出随机变量Y可能的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量Y的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量Y的数学期望。

18．【答案】（1）证明：由题意CA⊥平面ABB1A1，CA⊂平面ABC，故平面又侧面ABB1A而A1A⊂平面ABB1A所以A1A⊥平面ABC，又CC所以A1A∥CC1，而A1A⊂平面故CC1∥（2）解：因为CA⊥平面ABB1A1，AB⊂平面而A1A⊥平面故以A为坐标原点，分别以AB，因为AA则A(则AB=设平面ABC1的法向量为n=即3x=04y+2z=0，令y=1，则n设直线A1C1与平面AB则sinθ=（3）解：因为侧面ABB1A而AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，故则直线A1B1到平面ABC1A1C1=(故点A1到平面ABC1即直线A1B1到平面AB【解析】【分析】（1）由题意得出直线CA⊥平面ABB1A1，再利用线面垂直证出面面垂直，故平面ABC⊥平面ABB1A1，再利用侧面ABB1A1为矩形，故A1A⊥AB，再利用线线垂直证出线面垂直，所以（2）利用CA⊥平面ABB1A1结合线面垂直证出线线垂直，故CA⊥AB，而A1A⊥平面ABC，故以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，再利用AA1=AC=4，CC1=2，AB=3，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面ABC1的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线A1C1与平面AB19．【答案】（1）解：由题意知椭圆C：x2a2则a=2，且ca故椭圆C的方程为x24+（2）解：假设存在直线l，使得△PAB是以点P为顶点的等腰三角形，由于直线l过点(0，3)，当直线斜率不存在时，直线l为此时A，B为椭圆的短轴上的两顶点，此时△PAB是以点当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+3，联立y=kx+3x24当直线y=kx+3与椭圆C有两个不同的交点A，该方程Δ=(12k)设A(则x1所以y1设AB的中点为点D，则D(即D(−6k当−6k2k此时AB的斜率k为0，不满足k2>7由题意可知kAB×k解得k=−1或k=−12，由于k2>7综合以上，存在直线l：x=0，使得△PAB是以点【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的标准方程和代入法，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程。

（2）假设存在直线l，使得△PAB是以点P为顶点的等腰三角形，由于直线l过点(0，3)，当直线斜率不存在时，直线l为x=0，此时A，B为椭圆的短轴上的两顶点，此时△PAB是以点P为顶点的等腰三角形；当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+3，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合当直线y=kx+3与椭圆C有两个不同的交点A，B时，从而结合判别式法得出k的取值范围，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，再利用韦达定理得出x1+x2=−12k2k2+1，x20．【答案】（1）解：当m=0时，f(x)=ef(0)=1，所以切线方程为y−1=(e−1)x，（2）解：依题意，f(x)=ef'当m=0时，f'(x)=e则f(x)在区间(−∞，0)，当m<0时，f'(x)=0解得x=ln当−1<m<0时，f(x)在区间(−∞，ln在区间(ln当m=−1时，f'(x)≥0，当m<−1时，f(x)在区间(−∞，在区间(0，ln（3）证明：当−e≤m<−1时，1<−m≤e，由（2）可知，f(x)在(0，ln(−