广东省广州市增城区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列事件为随机事件的是(

)A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B.负数大于正数

C.任意画一个三角形，其内角和是180° D.通常加热到100℃时，水沸腾3.如果反比例函数y=ax的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是(

)A.-3 B.2 C.0 D.-24.如图，在△ABC中，∠BAC=32°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，则∠B'AC的度数为(

)A.28°

B.30°

C.32°

D.38°5.解方程“1x=x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为(

)A.x=1

B.x1=1，x2=2

C.x16.某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是(

)A.(x+16)(200-5x)=1200 B.(x+16)(200+5x)=1200

C.(x-16)(200+5x)=1200 D.(x-16)(200-5x)=12007.如图，正方形ABCD的边长为2，AC是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，则AC的长为(

)A.π

B.2π

C.3π

D.4π8.如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=3，则AB的长为(

)A.1

B.2

C.3

D.9.在平面直角坐标系中，已知点A(-4,2)，B(-6,-4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是(

)A.(-2,1) B.(2,-1) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)10.如图，抛物线y=ax2+c经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则ac的值为(

)A.-4

B.-3

C.-2

D.-1二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为______．12.已知△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则它们的周长之比为______．13.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，这些球除颜色外都相同.小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则可估计红球的数量约为______个.14.若关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值等于

．15.已知点M(x1,y1)，N(x2,y2)在反比例函数y=3x的图象上，且0<x16.如图，平面直角坐标系中有一点A(4,2)，在以M(0,3)为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，则点P的坐标是______．

三、计算题：本大题共1小题，共4分。17.解方程：x2+2x-3=0．四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题4分)

如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1=∠2，AC=6，CP=4，DP=2，求BD的长．19.(本小题6分)

如图，在平面直角坐标系中，△OBC的三个顶点均在格点上．

(1)画出△OBC关于原点O成中心对称的图形△OB'C'；

(2)写出点B'、C'的坐标．20.(本小题6分)

如图，有3张分别印有第19届杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲.现将这3张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率．

(1)第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______；

(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．21.(本小题8分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，l是过点B的一条直线．

(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D，交直线l于点E.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若BD=BE，求证：l是⊙O的切线．22.(本小题10分)

如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=-5t2+30t．

(1)当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面A处？

(2)23.(本小题10分)

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知A(3,1)，点B的坐标为(m,-2)．

(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

(2)在y轴上是否存在一点P(不与点O重合)，使得△PDC∽△CDO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．24.(本小题12分)

已知抛物线y=x2-2(m+1)x+m2+2m(m是常数)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，顶点为C．

(1)若m=1，求抛物线的顶点坐标；

(2)若点E是点C关于x轴对称的点，判断以点A、C、B、E为顶点的四边形的形状，并写出证明过程；

(3)在(1)的条件下，将二次函数向左平移k(k>0)个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为25.(本小题12分)

如图，已知矩形ABCD中，AB=a(a>1)，BC=2，点O是BC边的中点，点E是矩形内一个动点，且OE=1．

(1)当OE⊥BC时，连接BE、CE，直接写出∠BEC的度数；

(2)当a=3时，连接DE，若DE⊥OE，求BE的长；

(3)当a=2时，将线段DE绕点D逆时针旋转90°后，得到线段DF，点P是线段DF的中点，当点E在矩形ABCD内部运动时，求点P运动路径的长度．

答案和解析1.D

2.A

3.B

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.D

10.C

11.5

12.2：3

13.30

14.1

15.>

16.(3,4)17.解：x2+2x-3=0

∴(x+3)(x-1)=0

∴x118.解：∵∠1=∠2，∠APC=∠BPD，

∴△APC∽△BPD，

∴ACBD=CPDP，

∵AC=6，CP=4，DP=2，

∴19.解：(1)如图，△OB'C'即为所求．

(2)由图可得，B'(3,-4)，C'(3,0)．

20.13解：(1)由题意得，第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为13．

故答案为：13．

ABCA(A,A)(A,B)(A,C)B(B,A)(B,B)(B,C)C(C,A)(C,B)(C,C)共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的结果有：(A,A)，(A,B)，(A,C)，(B,A)，(C,A)，共5种，

∴取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率为59．

21.(1)解：如图：AD即为所求；

(2)证明：设AE交⊙O于点F，

∵AB是直径，

∴∠C=∠AFB=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠CBA=30°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠FBC=∠CAF=12∠CAB=30°，

∵BD=BE，∠AFB=90°，

∴∠EBF=∠FBD=30°，

∴∠ABE=90°，

∵AB是直径，

∴l是22.解：(1)当h=0时，-5t2+30t=0，

解得t=0或t=6，

答：当小球运动的时间是6s时，小球回落到地面A处；

(2)h=-5t2+30t=-5(t-3)2+45，

∴23.解：(1)把A(1,3)代入反比例解析式得：3=k1，即k=3，

则反比例解析式为y=3x；

∵B(m,-2)在反比例函数y=3x上，

∴-2=3m，即m=-32，即B(-32,-2)，

把A与B坐标代入一次函数解析式得：

3a+b=1-32a+b=-2，

解得：a=23b=-1，

则一次函数解析式为y=23x-1；

(2)若P与O重合，显然成立；

若P与O不重合，在y轴上存在一点P，使得△PDC与△CDO相似，理由为：

过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，如图所示，

∵C、D两点在直线y=23x-1上，

∴C、D的坐标分别为C(32,0)，D(0,-1)，

∴OC=32，OD=1，DC=24.解：(1)m=1时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

∴抛物线的顶点坐标为(2,-1)；

(2)四边形AEBC是正方形，证明如下：

在y=x2-2(m+1)x+m2+2m中，令y=0得0=x2-2(m+1)x+m2+2m，

解得x=m或x=m+2，

∴A(m,0)，B(m+2,0)；

∵y=x2-2(m+1)x+m2+2m=(x-m-1)2-1，

∴抛物线顶点C(m+1,-1)，

∵点E是点C关于x轴对称的点，

∴E(m+1,1)；

∴AE=(m+1-m)2+12=2，EB=(m+1-m-2)2+12=2，BC=(m+2-m-1)2+12=2，CA=(m+1-m)2+(-1)2=2，

∴AE=EB=BC=CA，

∴四边形AEBC是菱形；

∵A(m,0)，B(m+2,0)；C(m+1,-1)，E(m+1,1)；

∴AB=m+2-m=2，EC=1-(-1)=2，

∴AB=EC，即菱形AEBC对角线相等，

∴四边形AEBC是正方形；

(3)将抛物线y=x25.解：(1)如图1，

∵O是BC的中点，

∴OB=OC=1，

∵OE=1，

∴OB=OC=OE，

∴∠BEO=∠EBO，∠CEO=∠ECO，

∵OE⊥BC，

∴∠BOE=∠COE=90°，

∴∠BEO=∠EBO=∠CEO=∠ECO=45°，

∴∠BEC=90°；

(2)如图2，

连接OD，

∵∠DEO=∠C=90°，OE=C=1，OD=OD，

∴Rt△DEO≌Rt△DCO(HL)，

∴∠DOE=∠DO