解题秘籍05 圆的综合问题（9种题型汇-总+专题训练）（解析版）-2025年中考数学重难点突破

解题秘籍05圆的综合问题（9种题型汇总+专题训练+模拟预测）【题型汇总】【考情分析】圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.题型01切线的判定1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.1．（2024·湖北·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AD=3，AE=1，求CF【答案】(1)证明见解析；(2)π3【分析】（1）连接OD，可得△ODB≌△OCBSSS，得到∠ODB=∠OCB=90°，即得OD⊥AB（2）设⊙O的半径为r，则OA=r+1，在Rt△OAD中由勾股定理得r+12=32+r2，可得【详解】（1）证明：连接OD，则OD=OC，∵BD=BC，OB=OB，∴△ODB≌△OCBSSS∴∠ODB=∠OCB=90°，∴OD⊥AB．∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=r+1，∵∠ODB=90°，∴∠ODA=180°-90°=90°，在Rt△OAD中，O∴r+1解得r=1，∴tan∴∠AOD=60°，∴∠DOC=120°∵△ODB≌△OCB，∴∠BOD=∠BOC=60°，∴CF的长为60×【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出∠BOD=∠BOC=60°是解题的关键．2．（2024·青海·中考真题）如图，直线AB经过点C，且OA=OB，CA=CB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若圆的半径为4，∠B=30°，求阴影部分的面积．【答案】(1)详见解析(2)S【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．（1）利用等腰三角形的性质证得OC⊥AB，利用切线的判定定理即可得到答案；（2）在Rt△OCB中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得OB=8，BC=43，再根据【详解】（1）证明：连接OC，∵在△OAB中，OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，又∵OC是⊙O的半径，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知∠OCB=90°，∵∠B=30°，∴∠COB=90°-30°=60°，∴S扇形在Rt△OCB中，∠B=30°，OC=4∴OB=8，∴BC=O∴S△OCBS阴影3．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．

(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若DE=2，GH=3，求DE的长l．【答案】(1)见解析(2)2π【分析】（1）连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，根据等腰三角形的性质得AO为∠BAC的平分线，再根据⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径得OM=OD，进而根据切线的判定可得到结论；（2）过点E作EN⊥AB于点N，先证△ODE≌△OGF得到DE=GF=2，进而得到FH=1，再证△BNE≌△CHF得到EN=FH=1，然而在Rt△DEN中利用三角函数可求出∠EDN=30°，进而得△ODE为等边三角形，据此得∠DOE=60°，OD=OE=DE=2，则∠DOF=120°【详解】（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，∵AB=AC，O是BC的中点，∴AO为∠BAC的平分线，∵⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径，∴OD为⊙O的半径，∴OD⊥AB，又OM⊥AC，∴OM=OD，即OM为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，∵点O为⊙O的圆心，∴OD=OG,OE=OF，在△ODE和△OGF中，OD=OG∠DOE=∠GOF∴△ODE≌△OGF(SAS∴DE=GF，∵DE=2,GH=3，∴GF=2，∴FH=GH-GF=3-2=1，∵AB=AC，O是BC的中点，∴OB=OC,∠B=∠C，又OE=OF，∴BE=CF，∵GH⊥AC,EN⊥AB，∴∠BNE=∠CHF=90°，在△BNE和△CHF中，∠BNE=∠CHF∠B=∠C∴△BNE≌△CHF(AAS∴EN=FH=1，在Rt△DEN中，DE=2,EN=1∴sin∴∠EDN=30°，∵OD⊥AB，∴∠ODE=90°-∠EDN=90°-30°=60°，又OD=OE，∴△ODE为等边三角形，∴∠DOE=60°,OD=OE=DE=2，∴∠DOF=180°-∠DOE=180°-60°=120°，∴l=60π×2【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，根据等腰三角形三线合一可知，AO⊥BC，AO平分∠BAC，结合AC与半圆O相切于点D，可推出ON=OD，得证；（2）由题意可得出∠OAC=∠COD，根据OF=OD，在Rt△ODC中利用勾股定理可求得OD的长度，从而得到OC的长度，最后根据sin【详解】（1）证明：连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如图∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点∴AO⊥BC，AO平分∠BAC∵AC与半圆O相切于点D∴OD⊥AC由∵ON⊥AB∴ON=OD∴AC是半圆O的切线（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC∴∠AOC=90°，∠ODC=90°∴∠OAC+∠OCA=180°-∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°-∠ODC=90°∴∠OAC=∠COD∴又∵OF=OD，CF=2∴在Rt△ODC中，CD=4，∵OC∴(OD+2)解得：OD=3∴sin【模拟预测】5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=60°，点D在BO的延长线上，且AB=AD．

(1)求证：DA是⊙O的切线；(2)若，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）【答案】(1)见解析(2)4π【分析】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）连接OA，证明∠OAD=90°即可得证；（2）过点O作OE⊥AB，垂足为点E，求出S△AOB=12AB⋅OE=【详解】（1）证明：如答图1，连接OA，

∵∠C=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∵在△AOB中，∠AOB+∠OBA+∠OAB=180°，∴∠OBA=∠OAB=30°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，∵在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴∠BAD=120°，∵∠BAD=∠OAB+∠OAD，∴∠OAD=90°，即OA⊥AD，∵OA是半径，∴DA是⊙O的切线．（2）解：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，

∴∠OEB=90°，AB=2BE，∵在Rt△OEB中，∠OBE=30°，OB=2∴OE=1，∴BE∴BE=3∴AB=2BE=23∴S∵S∴S答：图中阴影部分的面积为4π36．（2025·湖北黄石·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E，且DE=DC．

(1)求证：直线CD是⊙O的切线．(2)如果OA=23，OE=2【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接CO，可得∠DCE=∠DEC（2）先根据正弦得到∠DEC=∠OEB=60°，即可求出DC=CE=DE=OE=2，然后根据S阴影【详解】（1）证明：连接CO，

∵DC=DE，∴∠DCE=∵OD⊥AB，∴∠DOB=90°∴∠B+∴∠BEO=∵CO=BO，∴∠B=∴∠BCO+即∠DCO=90∴DC为⊙O的切线；（2）解：∵OA=OB=23，OE=2∴tan∠OEB∴∠DEC=∠OEB=60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠DCE=∠D=60°，DC=CE=DE，又∵∠DCO=90°，∴∠ECO=∠EOC=30°，∴DC=CE=DE=OE=2，∴OD=4，∴S阴影【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定和性质是解题的关键．7．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．则图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？请说明理由，（2）知识应用：如图，PN、PD、DE分别与⊙O相切于点A、B、C，且DE∥PN，连接OD、OP，延长PO交⊙O于点M，交DE于点E，过点M作MN∥OD交PN于N．①求证：MN是⊙O的切线；②当OD=6cm，OP=8cm时，求【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是4.8cm，图中阴影部分的面积是【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等．（1）连接OA和OB，根据切线的性质，可得Rt△AOP≌（2）①根据题意求证MN∥OD，即可得出MN⊥OM，即可得出答案；②根据S△POD=1【详解】（1）证明：如图1，连接OA和OB，∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又∵OA=OB，OP=OP．∴Rt∴PA=PB，∠APO=∠BPO．（2）①证明：∵PN、PD、DE分别与⊙O相切于点A、B、C，∴OD、OP分别平分∠PDE、∠DPN．又∵DE∥PN．∴∠PDE+∠DPN=180°．∴∠ODP+∠DPO=∴∠POD=90°．又∵MN∥OD，∴MN⊥OM，又∵MN经过半径OM的外端点M，∴MN是⊙O的切线．②解：连接OB，则OB⊥PD，∵OD=6cm，OP=8∴PD=O∴S△POD∴OB=PD=4.8，即⊙O的半径为4.8cm∴S综上所述：⊙O的半径是4.8cm，图中阴影部分的面积是24-5.76π题型02圆中求线段长度1）确定位置.确定所求线段所在的三角形.2）作辅助线.利用圆的相关定理和性质作辅助线.3）分析计算.分析题目条件并选取合适的方法进行计算.8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥【答案】(1)3(2)见解析【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出∠OBC=∠OCB=12180°-∠BOC，结合∠BOC=2∠BCE，可得出∠OBC+∠BCE=90°（2）法一：过O作OF⊥BD于F，利用垂径定理等可得出BF=12BD=OE，然后利用HL定理证明Rt法二：连接AD，证明△CEO∽△ADB，得出∠COE=∠ABD，然后利用平行线的判定即可得证【详解】（1）解∶∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=1∵∠BOC=2∠BCE，∴∠OBC=12180°-2∠BCE∴∠OEC=90°，∴OC∴OC解得OC=3，即⊙O的半径为3；（2）证明：法一：过O作OF⊥BD于F，∴BF=1∵BD=2OE∴OE=BF，又OC=OB，∠OEC=∠BFO=90°，∴Rt△CEO≌∴∠COE=∠OBF，∴BD∥法二：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD=A∴OCAB∴△CEO∽△ADB，∴∠COE=∠ABD，∴BD∥【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．9．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B．

(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)求EF的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO，等量代换得到∠FCD=∠COE，得到∠OCF=90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据垂径定理得到CE=12CD=6【详解】（1）证明：连接OC，

∵OC=OB，∴∠B=∠BCO，∴∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B，∵AB⊥CD，∴∠CEO=90°，∴∠COE+∠OCE=90°，∵∠FCD=2∠B，∴∠FCD=∠COE，∴∠FCD+∠OCE=90°，∴∠OCF=90°，∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴CE=1∵AB=20，∴OC=10，∴OE=O∵∠OCF=∠OEC=90°，∠COE=∠FOC，∴△OCE∽△OFC，∴OCOF∴10OF∴OF=25∴EF=OF-OE=2510．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，sinD=35【答案】(1)见解析(2)BD=【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ACO=∠DCO=12∠ACD，根据圆周角定理得出∠ABD=∠ACD=2∠ACO，证明CO∥DE（2）根据BC=BC，得出∠A=∠D，解直角三角形得出BC=AB×sinA=10×35=6，证明∠ECB=∠A，解直角三角形得出BE=【详解】（1）证明：∵CO平分∠ACD，∴∠ACO=∠DCO=1∵AD=∴∠ABD=∠ACD=2∠ACO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO，∴∠COB=∠ACO+∠CAO=2∠ACO，∴∠ABD=∠COB，∴CO∥∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∵CO∥∴∠OCE=180°-∠CED=90°，∴OC⊥CE，∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为5，∴AB=2×5=10，∵BC=∴∠A=∠D，∴sinA=∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=AB×sin∵∠ECB+∠BCO=∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ECB=∠ACO，∵∠ACO=∠A，∴∠ECB=∠A，∴sin∠ECB=即BEBC∴BE=3∴CE=B∵sinD=∴CD=5∴DE=C∴BD=DE-BE=32【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．11．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；(2)若AB=6+63，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r①求r的取值范围；②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．【答案】(1)AF=AD，AF⊥AD(2)①r≥3+33且r≠23+6；【分析】（1）由菱形的性质可得∠BAD=∠C=120°，AB=AD，再结合轴对称的性质可得结论；（2）①如图，设△AEF的外接圆为⊙O，连接AC交BD于H．连接OA，OE，OF，OC，证明△ABC为等边三角形，A,E,F,C共圆，∠AOE=2∠AFE=120°，O在BD上，∠AEO=∠EAO=30°，过O作OJ⊥AE于J，当AE⊥BC时，AE最小，则AO最小，再进一步可得答案；②如图，以A为圆心，AC为半径画圆，可得B,C,F,D在⊙A上，延长CA与⊙A交于L，连接DL，证明∠CFD=180°-30°=150°，可得∠OFC=60°，△OCF为等边三角形，证明∠BAF=120°-30°=90°，可得：∠BAE=∠FAE=45°，BE=EF，过E作EM⊥AF于M，再进一步可得答案．【详解】（1）解：AF=AD，AF⊥AD；理由如下：∵在菱形ABCD中，∠C=120°，∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，∵∠BAF=30°，∴∠FAD=120°-30°=90°，∴AF⊥AD，由对折可得：AB=AF，∴AF=AD；（2）解：①如图，设△AEF的外接圆为⊙O，连接AC交BD于H．连接OA，OE，OF，OC，∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=120°，∴AC⊥BD，∠BCA=60°，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠AFE=60°=∠ACB，∴A,E,F,C共圆，∠AOE=2∠AFE=120°，O在BD上，∵AO=OE，∴∠AEO=∠EAO=30°，过O作OJ⊥AE于J，∴AJ=EJ，AO=2∴AO=3当AE⊥BC时，AE最小，则AO最小，∵AB=6+63，∠ABC=60°∴AE=AB⋅sin∴AO=3∵点E不与B、C重合，∴AE≥9+33，且AE≠6+6∴r的取值范围为r≥3+33且r≠2②DF能为⊙O的切线，理由如下：如图，以A为圆心，AC为半径画圆，∵AB=AC=AF=AD，∴B,C,F,D在⊙A上，延长CA与⊙A交于L，连接DL，同理可得△ACD为等边三角形，∴∠CAD=60°，∴∠CLD=30°，∴∠CFD=180°-30°=150°，∵DF为⊙O的切线，∴∠OFD=90°，∴∠OFC=60°，∵OC=OF，∴△OCF为等边三角形，∴∠COF=60°，∴∠CAF=1∴∠DAF=60°-30°=30°，∴∠BAF=120°-30°=90°，由对折可得：∠BAE=∠FAE=45°，BE=EF，过E作EM⊥AF于M，∴设AM=EM=x，∵∠EFM=60°，∴FM=3∴x+3解得：x=63∴FM=3∴BE=EF=2FM=12．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，切线的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．【模拟预测】12．（2025·陕西·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径，C是AD的中点，过点D作⊙O的切线分别交AB、AC的延长线于点E、(1)求证：∠ACB=∠E；(2)若AB=4,BE=1，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接CD．证明△ACD是等腰直角三角形得∠CAD=∠CDA=45°．由EF是⊙O的切线得∠ADF=∠ADE=90°，求出∠F=45°，然后证明△BAC∽△FAE可得∠ACB=∠E；（2）证明△ACD≌△FCDASA得AD=FD,AC=CF，证明△BAC∽△FAE得ACAE=ABAF【详解】（1）证明：连接CD．∵C是AD的中点，∴AC⏜∴AC=CD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=∠DCF=90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=∠CDA=45°．∵EF是⊙O的切线，∴∠ADF=∠ADE=90°，∴∠CDF=90°-45°=45°，∠F=90°-45°=45°．∵AC=∴∠ABC=∠ADC=45°，∴∠ABC=∠F，∵∠BAC=∠FAE，∴△BAC∽△FAE，∴∠ACB=∠E；（2）解：∵∠ADC=∠CDF=45°，CD=CD，∠ACD=∠DCF=90°，∴△ACD≌△FCDASA∴AD=FD,AC=CF，∵AB=4,BE=1，∴AE=5．∵△BAC∽△FAE，∴ACAE∴AC5∴AC=10∴AF=210∴AD=DF=2∴DE=A∴EF=DE+DF=35∴105∴BC=32【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．13．（2025·广东广州·一模）如图，AB是⊙O的直径，D是AC上的点，弦BD和CE交于点F，且DF=DC,EH是⊙O的切线，EH∥AB，连结AC,AE,BE．(1)求证：EB=EF；(2)求证：F是△ABC的内心；(3)若CE=72,BC=6，求直径【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠DCF=∠DFC，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得∠DBE=∠EFB，即可证明EB=EF；（2）连结OE．证明CF平分∠ACB，BF平分∠ABC，即可得出结论；（3）解法一：过点E作EM⊥AC于点M，过点E作EN⊥CB交CB的延长线于点N．证明Rt△AME≌Rt△BNEHL，得到解法二：将△BCE绕点E逆时针旋转90°得到△AC'E．证明C',A,C三点共线，求得【详解】（1）证明：∵DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF=∠BFE，∵DE∴∠DCF=∠FBE，∴∠BFE=∠FBE，∴EB=EF．（2）证明：如图①，连结OE．∵EH是⊙O的切线，∴OE⊥EH，∵EH∥AB，∴OE⊥AB．又∵在⊙O中，OE=OB，∴△OBE是等腰直角三角形，∴∠OBE=∠OEB=45°，∵AE∴∠ACE=∠OBE=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠AEB=90°，∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACE，即CF平分∠ACB．由（1）得：EB=EF，∴设∠BFE=∠FBE=x，∵∠CBF=∠BFE-∠BCE=x-45°，∠ABD=∠FBE-∠OBE=x-45°，∴∠CBF=∠ABD，即BF平分∠ABC．∴F是△ABC的内心．（3）解法一：如图②，过点E作EM⊥AC于点M，过点E作EN⊥CB交CB的延长线于点N．∴∠AME=∠N=90°∵CF平分∠ACB,EM⊥AC,EN⊥CB，∴EM=EN．由（2）得∠AEB=90°,∠OBE=45°，∴∠OAE=180°-∠AEB-∠OBE=45°，∴∠OAE=∠OBE，∴AE=BE．在Rt△AME和Rt△BNE中，∴Rt∴AM=BN．∵EM⊥AC,EN⊥CB,EM=EN，∴四边形EMCN是正方形．在正方形EMCN中，∵CE=72∴CM=CN=2∴AM=BN=CN-BC=7-6=1，∴AC=CM+AM=7+1=8．在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=∴直径AB的长为10．解法二：如图③，将△BCE绕点E逆时针旋转90°得到△AC由（2）设∠FBE=x,∠CBF=x-45°，∴∠CBE=∠CBF+∠FBE=2x-45°，∵∠CBE+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°-∠CBE=225°-2x．由旋转的性质得∠CC∴∠C∴C∵C∴CC∴AC=CC在中，由勾股定理得．直径的长为10．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形的内心，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键．14．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，过点C作AB的平行线交BD于点F．

(1)求证：BD=DF；(2)连接AF，若AF与⊙O相切，BC2=-4+4【答案】(1)见解析(2)DE=2【分析】（1）角平分线结合平行线推出BC=CF，圆周角定理推出CD⊥BF，三线合一即可得出结论；（2）连接AO并延长，交⊙O于点G，连接DG，先证明△ABC∽△CAF，得到BC⋅CF=AF⋅AC，设AF=x，勾股定理求出AC的长，列出方程求出AF的长，再证明△AFB∽△DFA，得到AF2=DF⋅FB=8，结合BF=2DF，求出DF的长，勾股定理求出CD2【详解】（1）证明：∵∠ABC的角平分线与⊙O交于点D，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠BFC，∴∠CBD=∠BFC，∴BC=CF，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BF，∴BD=DF；（2）连接AO并延长，交⊙O于点G，连接DG，

∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF=∠OAC+∠CAF=90°，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=90°，∴∠BAO=∠CAF，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=∠CAF，∵AB∥CF，∴∠ACF=∠BAC=90°，∴△ABC∽△CAF，∴BCAF∴BC⋅CF=AF⋅AC，由（1）知BC=CF，∴BC设AF=x，则：AC=A∴xx∴x2∴x4解得：x2=8或∴x=8∴AF=22∵AG为直径，∠ADG=90°，∴∠DAG+∠AGD=90°，∵∠OAF=∠OAD+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠AGD，又∵∠AGD=∠DBA，∴∠DBA=∠DAF，∵∠AFB=∠AFD，∴△AFB∽△DFA，∴AFDF∴AF∵FB=2DF，∴2DF∴DF=2，在Rt△CDF中，C∵CF∥AB，∴∠DBA=∠CFB，∵∠DBA=∠ACD，∴∠ACD=∠CFE，∵∠CDE=∠CDF=90°，∴△CED∽△FCD，∴CDDF∴CD2=DF⋅DE∴DE=25【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，导角，证明三角形相似，是解题的关键．15．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】(1)见解析(2)CF=【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理．（1）由垂径定理，得AD=BD，AC=BC，由圆周角定理，得（2）可证△ACF∽△ECA得ACEC=CFCA；Rt△ADC【详解】（1）证明：∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径，∴AD=BD，AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所对的圆周角相等）；（2）解：∵∠BAC=∠E，又∵∠ACF=∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴ACEC∵AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△ADC中∠ADC=90°，AD=4，CD=2∴AC=A即25∴CF=2题型03求圆中阴影部分面积解题方法：求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．16．（2024·宁夏·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．(1)求证：BC∥EF；(2)连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=12【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．（1）连接OE，交BC于点G，根据等腰三角形的性质得到∠OAE=∠OEA，由D为△ABC的内心，得到∠OAE=∠CAE，求得OE∥AC，根据圆周角定理得到∠∠ACB=90°，求得∠BGO=90°，根据切线的性质得到（2）根据三角函数的定义得到∠AEC=30°，求得∠ABC=∠AEC=30°，求得EF=OE⋅tan【详解】（1）证明：连接OE，交BC于点G，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又∵D为△ABC的内心，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BGO=90°又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径，∴∠FEO=90°，∴∠BGO=∠FEO，∴BC∥EF；（2）解：∵sin∴∠AEC=30°，∴∠ABC=∠AEC=30°，∴∠BOE=60°,∠EFO=30°，∴EF=OE⋅tan∴==2317．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，点C是AO2(1)求证：∠ACB=2∠P(2)若∠P=30°，AB=23①求⊙O②求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)①2②2【分析】对于（1），连接AO2,BO2，在⊙O1对于（2）①，由∠P=30°结合（1），可得∠ACB=∠AO2B=60°，再连接AO1,BO1，作O1D⊥AB，可得对于②，先说明△AO2B是等边三角形，即可求出其面积，在⊙【详解】（1）如图所示．连接AO在⊙O1中，在⊙O2中，∴∠ACB=∠AO（2）①，∵∠P=30°，∴∠ACB=∠AO连接AO1,BO1，过点O1作∴△AO1B=120°∴∠AO在Rt△AO1即32∴AO所以⊙O1的半径是②∵AO∴△AO∴AO∵AO∴DO2垂直平分AB，DO∴点D,O在Rt△ADO2在Rt△ADO1在⊙O2中，AB⏜上标点E在⊙O1=4π【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键．18．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．

(1)求证：△ACE∽△ABC；(2)求证：CE是⊙O的切线；(3)若AD=2CE，OA=2【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1【分析】+（1）分别证明∠ACB=∠AEC，∠BAC=∠EAC，从而可得结论；（2）连接OC，证明∠EAC=∠ACO，可得OC∥AE，再进一步可得结论；（3）连接DB、OD，证明四边形DECF是矩形，可得DF=EC，再证明AD=DB，可得∠DAB=∠DBA=45°，可得∠DOA=2∠DBA=90°，利用S阴影部分=【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴∠ACB=∠AEC，∵C是BD的中点，∴BC=∴∠BAC=∠EAC，∴△ACE∽△ABC；（2）证明：连接OC

∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（3）解：连接DB、OD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠AEC=∠ECO=90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF=EC，∵OC是半径，C是BD的中点，∴DF=FB，OC⊥DB，即DB=2DF=2EC，∵AD=2CE，∴AD=DB，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴∠DOA=2∠DBA=90°，∴S【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。19．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以点A为圆心，以AD为半径作DE交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作EF所交BC于点F，连接FD交EF于另一点G，连接(1)求证：CG为EF所在圆的切线；(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形ABFD是平行四边形是解题关键．（1）根据圆的性质，证明BF=BE=AD=AE=CF，即可证明四边形ABFD是平行四边形，再证明△BFG是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果．（2）先求出平行四边形的高DH，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可．【详解】（1）解：连接BG如图，根据题意可知：AD=AE，BE=BF又∵AB=BC，∴CF=AE=AD，∵BC=2AD，∴BF=BE=AD=AE=CF，∵AD∥∴四边形ABFD是平行四边形，∴∠BFD=∠DAB=60°，∵BG=BF，∴△BFG是等边三角形，∴GF=BF，∴GF=BF=FC，∴G在以BC为直径的圆上，∴∠BGC=90°，∴CG为EF所在圆的切线．（2）过D作DH⊥AB于点H，由图可得：S阴影在Rt△AHD中，AD=1，∠DAB=60°∴DH=AD⋅sin∴S▱ABFD由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，∴S扇等边三角形BFG的面积为：12∴S20．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF=CD，连接(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)π-2【分析】（1）连接BD，得∠BDA=90°；利用AB=AC得到∠ABC=∠ACB，由CF∥AB得到∠FCB=∠ABC，故∠FCB=∠ACB；利用SAS证明△BCF≌△BCD，得到∠F=∠BDC=90°（2）连接OE，与BD相交于M点，根据∠BAC=45°，得△ABD是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE长度；△ABC和△OBE是共一底角的等腰三角形，故∠BOE=∠BAC=45°，OE∥AC，∠OMB=∠ADB=90°，【详解】（1）连接BD∵AB是⊙O的直径∴∠BDA=90°∴∠BDC=90°∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵CF∴∠FCB=∠ABC，∠ABF+∠F=180°∴∠FCB=∠ACB∵CF=CD，BC=BC∴△BCF∴∠F=∠BDC=90°又∵∠ABF+∠F=180°∴∠ABF=90°∴BF是⊙O的切线（2）连接OE，与BD相交于M点∵∠BDA=90°，∠BAC=45°，AD=4∴△ADB为等腰直角三角形∴BD=AD=4，AB=AD∴OB=2∴OE=OB=2∴∠OEB=∠ABC∵AB=AC，∠BAC=45°∴∠BOE=∠BAC=45°∴OE∴∠OMB=∠ADB=90°∴△OMB为等腰直角三角形∴BM=OM=2∴S【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识是本题关键【模拟预测】21．（2024·贵州黔东南·一模）如图，AB为⊙O的弦，CD为⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，BD，过点B作BF⊥AC于点F．(1)求证：∠ABF=∠BCD；(2)当∠BCD=∠ACD时，求证：AB⊥CD；(3)在（2）的条件下，若AB=6，∠ABD=22.5°，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)9【分析】（1）根据圆周角定理求出∠CBD=∠CBF+∠DBF=90°，∠ABD=∠ACD，根据直角三角形的性质求出∠CBF+∠BCF=90°，则∠BCF=∠DBF，再根据角的和差即可得证；（2）根据圆周角、弧的关系求出BD=（3）结合（2）求出CD⊥AB，OE=BE=3，由勾股定理得到OB=32，再根据图中阴影部分的面积=【详解】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=90°，∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠CBF+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠DBF，即∠BCD+∠ACD=∠ABF+∠ABD，∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABF=∠BCD；（2）证明：∵∠BCD=∠ACD，∴BD=∵CD为⊙O的直径，∴AB⊥CD；（3）解：连接OB，如图所示：由（2）知，BD=AD，∴∠BOD=2∠ABD=45°，∵CD⊥AB，AB=6，∴BE=12AB=3∴OE=BE=3，∴OB=2∴图中阴影部分的面积=S【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．22．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，A为x轴上一点，以OA为半径作⊙O交y轴于B，点C为第三象限的圆上一点，如图1所示，已知圆心到弦AB的距离OD=5(1)求弦AB下方圆内阴影部分的面积；(2)如图1所示，若圆心O到弦BC的距离OE=25，求C(3)如图2所示，C点坐标同第（2）问，P是x轴下方的一个动点，使得∠BPC:∠BOC=1:2，四边形OBPC的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)25(2)-4,-3(3)存在，面积最大值为20+55，【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质，求出OA,根据弦AB下方圆内阴影部分的面积=S（2）设C为x，y，由B0（3）分点P在⊙O上和点P在与⊙O等半径同BC弦的⊙M上，利用四边形的面积公式以及相似三角形的判定和性质即可求解，本题考查了坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．【详解】（1）解：∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴OA=2∵OD经过圆心O点，D是AB的中点，∴OD⊥AB，AB=2OD，∴OB=OA=2∴S△AOB=1∴弦AB下方圆内阴影部分的面积=S（2）解：∵OE⊥BC，∴E是BC的中点，∴B0，-5，设C为x∵OC=5，∴x2∵OE=25∴x2∴x2∴x2∴25-10y+25=80，解得：y=-3∵C在第三象限，∴C-4,-3（3）解：∵∠BPC:∠BOC=1:2，①当P点在⊙O上，此时不构成四边形OBPC，不符合题意，②P点在如图所示的⊙M上（⊙M与⊙O是等圆），当点P在OM的延长线上时，四边形OBPC面积最大，此时，OP垂直平分BC，∵OE=25∴ME=OE=25∴OP=2×25∵C-4,-3∴BC=25∴四边形OBPC面积最大值为12综上所述四边形OBPC面积最大值为20+55过点P作PG⊥y轴于点G，在Rt△OEB中，OE=25，∴EB=B∵∠BOE=∠POG=90°，∠OEB=∠OGP=90°，∴△OEB∽△OGP，∴BEPG∴5PG∴PG=4+5，OG=8+2∴P-4-题型04与圆有关的证明问题1）证明两个三角形相似23．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点(1)求证：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度数．【答案】(1)见详解(2)45°【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．（1）由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等边对等角得出∠DAB=∠E，等量代换可得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．（2）连接BD，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，即∠CAE=2α，由相似三角形的性质可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根据圆内接四边形的性质可得出2α+2α+90°=180°，即可得出α的值，进一步即可得出答案．【详解】（1）证明：∵CD∴∠CAD=∠DAB，∵DE=AD，∴∠DAB=∠E，∴∠CAD=∠E，又∵∠C=∠C∴△CAD∽△CEA，（2）连接BD，如下图：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，∴∠CAE=2α，由（1）知：△CAD∽△CEA∴∠ADC=∠CAE=2α，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠CAB+∠CDB=180°，即2α+2α+90°=180°，解得：α=22.5°∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°24．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．(1)求OEAE(2)求证：△AEB∽△BEC；(3)求证：AD与EF互相平分．【答案】(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）先证得AC=2AO，再在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．在Rt（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M，先证明△AOE≌△BOM，可得AE=BM,OE=OM，再证得∠BAE=∠CBE，再由相似三角形的判定可得结论；（3）如图，连接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，从而得出△AOE∽△BDE，得出∠BED=∠AEO=90°【详解】（1）∵AB=AC，且AB是⊙O的直径，∴AC=2AO．∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC中，tan∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中，tan∴AE∴OE（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M．∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°．∵AO=BO，∴△AOE≌△BOM，∴AE=BM,OE=OM．∵OE∴BM=2OE=EM，∴∠MEB=∠MBE=45°，∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°，∴∠AEB=∠BEC．∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABM=∠CBE，∴∠BAE=∠CBE，∴△AEB∽△BEC．（3）如图，连接DE,DF．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO．∵AB=AC,∠BAC=90°，∴BC=2BD,∠DAB=45°．由（2）知，△AEB∽△BEC，∴AE∴△AOE∽△BDE，∴∠BED=∠AEO=90°．∴∠DEF=90°．∴∠AFB=∠DEF，∴AF∥DE．由（2）知，∠AEB=135°，∴∠AEF=180°-∠AEB=45°．∵∠DFB=∠DAB=45°，∴∠DFB=∠AEF，∴AE∥FD，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AD与EF互相平分．【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键．2）求证两个三角形全等25．（2023·山东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．

(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段MN，【答案】(1)见解析(2)MN=BM+DN，证明见解析【分析】（1）根据CF⊥OE，OC是半径，可得CF是⊙O的切线，根据BE是⊙O的切线，由切线长定理可得BF=CF，进而根据sinE=CFEF=12，得出∠E=30°，∠EOB=60°，根据CD=CB得出CD=CB，根据垂径定理的推论得出OC⊥BD，进而得出（2）延长ND至H使得DH=BM，连接CH，BD，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC=∠MBC，证明△HDC≌△MBCSAS，结合已知条件证明NC=NC，进而证明△CNH≌△CNMSAS，得出NH=MN，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF是⊙O的切线，∵BE是⊙O的切线，∴BF=CF，∵EF=2BF∴EF=2CF，∴sin∴∠E=30°，∠EOB=60°，∵CD=CB∴CD=∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°=∠EBO，∵∠E+∠EBD=90°，∠ABD+∠EBD=90°∴∠E=∠ABD=30°，∴AD=BO=1∴△ABD≌△OEBAAS（2）MN=BM+DN，理由如下，延长ND至H使得DH=BM，连接CH，BD，如图所示

∵∠CBM+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°∴∠HDC=∠MBC，∵CD=CB，DH=BM∴△HDC≌△MBCSAS，∴∠BCM=∠DCH，CM=CH由（1）可得∠ABD=30°，又AB是直径，则∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠DCB=180°-∠A=120°，∵∠MCN=60°，∴∠BCM+∠NCD=120°-∠NCM=120°-60°=60°，∴∠DCH+NCD=∠NCH=60°,∴∠NCH=∠NCM，∵NC=NC，∴△CNH≌△CNMSAS，∴NH=MN，

∴MN=DN+DH=DN+BM．即MN=BM+DN．【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．26．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED，并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)求证：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF【答案】(1)见解析(2)见解析(3)cos【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明△ADE≌△ABG实际解题的关键．（1）利用圆周四等分点得到∠COD=∠BOC=90°，再根据切线的性质得到∠CAE=90°，所以∠DAE=45°，从而即可解题；（2）根据圆内接四边形的性质证明∠ADE=∠ABG，则可利用“ASA”判断△ADE≌△ABG；（3）过点G作GH⊥BC于点H，如图，先利用△ADE≌△ABG得到AE=AG=3，DE=BG，所以GC=1，AC=4，然后利用解直角三角形解题即可．【详解】（1）证明：连接BD.∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，∴AC⊥BD，即圆心角∠COD=∠BOC=90°.∵CD∴∠CAD=1∵AE为⊙O的切线，∴∠CAE=90°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-45°=45°.∴∠DAE=∠CAD.∴AD平分∠CAE.（2）∵BC=∴∠BAC=1∴∠BAC=∠DAE.在四边形ABFD中，∠ABF+∠BFD+∠FDA+∠DAB=360°.∵BD为直径，∴∠BFD+∠DAB=90°+90°=180°，∴∠ABG+∠ADF=360°-180°=180°.∵∠ADE+∠ADF=180°，∴∠ADE=∠ABG.∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，∴AD∴AD=AB.在△AED和△ABG中，∠EAD=∠BAG,∴△ADE≌△ABGASA（3）连接CF，∵AE=3，由（2）中△ADE≌△ABG，得AE=AG=3，DE=BG.又AG=3GC，即AG=3GC=3，∴GC=1，∴AC=AG+GC=3GC+GC=4GC=4.∴⊙O的半径为2.∴在△BOG中，BG=B过点G作GH⊥BC于点H.由题意得∠ACB=45°，∴△CGH为等腰直角三角形，∴GH=2在△BGH中，BH=B∴cos3）证明线段相等27．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点D为BC的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点(1)求证：DF是⊙O的切线．(2)求证：BD=ED．(3)若DE=5，CF=4，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AB=【分析】（1）如图，连接OD，证明OD⊥BC，结合DF∥BC，可得（2）证明∠CBD=∠BAD，∠ABE=∠CBE，结合∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠CBE，再进一步可得结论；（3）如图，连接CD，证明CD=BD=5，再证明△FDC∽△DAB，可得FCDB=CD【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵点D为BC的中点，∴OD⊥BC，∵DF∥∴DF⊥OD，且OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）证明：∵点D为BC的中点，∴BD=∴∠CBD=∠BAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠CBE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE；（3）解：如图，连接CD，∵DE=5，BD=DE，∴BD=5，∵BD=∴CD=BD=5，∵BC∥∴∠ACB=∠F，而∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠F，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形，∴∠ABD+∠ACD=180°=∠ACD+∠DCF，∴∠DCF=∠ABD，∴△FDC∽△DAB，∴FCDB=CD∴45∴AB=25【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.28．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是AC的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G．(1)求证：AF=DF；(2)延长GD至点M，使DM=DG，连接AM．①求证：AM是⊙O的切线；②若DG=6，DF=5，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析，②⊙O的半径为203【分析】（1）如图，连接AD，证明AD=CD，可得∠ABD=∠CAD，证明AN=（2）①证明∠ADB=90°=∠ADM，可得AD是MG的垂直平分线，可得AM=AG，∠M=∠AGD=∠GAB+∠B，∠MAD=∠GAD，而∠GAD=∠B，可得∠MAD=∠B，进一步可得结论；②证明DE∥AM，可得△GDF∽△GMA，求解AM=10，AD=A【详解】（1）证明：如图，连接AD，∵点D是AC的中点，∴AD=∴∠ABD=∠CAD，∵DN⊥AB，AB为⊙O的直径，∴AN=∴∠ADN=∠ABD，∴∠ADN=∠CAD，∴AF=DF．（2）证明：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°=∠ADM，∴∠B+∠BAD=90°，∵DM=DG，∴AD是MG的垂直平分线，∴AM=AG，∴∠M=∠AGD=∠GAB+∠B，∠MAD=∠GAD，而∠GAD=∠B，∴∠MAD=∠B，∴∠MAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，∴∠BAM=90°，∵AB为⊙O的直径，∴AM是⊙O的切线；②∵DG=6，∴DM=DG=6，∵DN⊥AB，∠MAB=90°，∴DE∥∴△GDF∽△GMA，∴DGGM∵DF=5，∴AM=10，∴AD=A∴tan∠M=∴AB=80∴⊙O的半径为203【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．4）证明垂直/平行/角平分线29．（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE．(1)写出图中一个与∠DEC相等的角：______；(2)求证：OD⊥AB；(3)若OA=2OE，DF=2，求PB的长．【答案】(1)∠DCE（答案不唯一）(2)16(3)16【分析】（1）利用等边对等角可得出∠DCE=∠DEC，即可求解；（2）连接OC，利用切线的性质可得出∠DCE+∠ACO=90°，利用等边对等角和对顶角的性质可得出∠AOE=∠DCE，等量代换得出∠AEO+∠CAO=90°，然后利用三角形内角和定理求出∠AOE=90°，即可得证；（3）设OE=2，则可求AO=OF=BO=2x，EF=x，OD=2x+2，DC=DE=2+x，在Rt△ODC中，利用勾股定理得出2+2x2=x+22+2x【详解】（1）解：∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，故答案为：∠DCE（答案不唯一）；（2）证明：连接OC，，∵PC是切线，∴OC⊥CD，即∠DCE+∠ACO=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∵∠DCE=∠DEC，∠AEO=∠DEC，∴∠AEO+∠CAO=90°，∴∠AOE=90°，∴OD⊥AB；（3）解：设OE=x，则AO=OF=BO=2x，∴EF=OF-OE=x，OD=OF+DF=2x+2，∴DC=DE=DF+EF=2+x，在Rt△ODC中，O∴2+2x2解得x1=4，∴OD=10，CD=6，OC=8，∵tanD=∴OP10解得OP=40∴BP=OP-OB=16【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．30．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得出OD⊥l，结合题意可证OD∥AE，即得出∠DAE=∠ADO，再根据等边对等角可得出∠DAO=∠ADO，即得出∠DAO=∠DAE，即AD平分∠CAE；（2）设⊙O的半径为r，则OC=OB+BC=r+1，OD=r．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OD．∵直线l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l．∵AE⊥l，∴OD∥AE，∴∠DAE=∠ADO．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠DAO=∠DAE，即AD平分∠CAE；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC=OB+BC=r+1，OD=r．在Rt△OCD中，O∴r2解得：r=4，∴⊙O的半径为4．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．31．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE=∠ADC(1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数．(2)求证：①EF∥BC；②【答案】(1)30°(2)①见详解；②见详解【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由CD为直径，得到∠DAC=90°，故∠ACD=30°，由AD=AD，得到（2）①由四点共圆得∠ADC+∠ABC=180°，而∠AFE=∠ADC，等量代换得到∠AFE+∠ABC=180°，故EF∥②过点D作EF平行线交AF于点G，可证明△ADG∽△AEF，△CDA∽△BGD，因此得到ACBD=ADGD=【详解】（1）解：∵∠AFE=∠ADC，∠AFE=60°，∴∠ADC=60°，∵CD为直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACD=90°-60°=30°，∵AD=∴∠ABD=∠ACD=30°；（2）证明①：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠AFE=∠ADC，∴∠AFE+∠ABC=180°，∴EF∥②过点D作EF平行线交AF于点G，∵DG∥EF，∴∠F=∠DGA，△ADG∽△AEF，∵∠F=∠ADC，∴∠DGA=∠ADC，∵由（1）知∠ABD=∠ACD，∴△CDA∽△BGD，∴ACBD∵△ADG∽△AEF，∴ADAE∴ADGD∴ACBD∵AE=AC，∴EF=BD．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．5）证明角度相等32．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接(1)求证：∠BAF=∠CDB；(2)若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长．【答案】(1)见解析(2)EF=42【分析】（1）利用切线和直径的性质求得∠BAD=∠BFA=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠BAF=∠CDB；（2）先求得AB=12=AC，BD=15，证明△ABC和△ABE是等腰直角三角形，求得AE的长，再证明△BEF∽△BDC，据此求解即可．【详解】（1）证明：∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠BAD=90°，∴∠BDA+∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABD=90°，∴∠BAF=∠CDB；（2）解：∵r=6，∴AB=2r=12=AC，BD=A∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BEA=90°，∴△ABE也是等腰直角三角形，∴AE=BE=AB⋅cos∵BF=∴∠BEF=∠BAF，∵∠BAF=∠CDB，∴∠BEF=∠BDC，∴△BEF∽△BDC，∴BEBD=EF∴EF=42【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．33．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC=CE，CE交AB于点F．(1)求证：∠CAE=∠D；(2)过点C作CG⊥AB于点G，若OA=3，BD=32，求FG【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，则∠D+∠CBD=90°，由切线的性质推出∠ABC+∠CBD=90°，则∠ABC=∠D，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到∠E=∠ABC，∠CAE=∠E，据此即可证明∠CAE=∠D；（2）由勾股定理得AD=36，利用等面积法求出BC=23，则AC=26，同理可得CG=22，则AG=4，进而得到BG=2；如图所示，过点C作CH⊥AE于H，则AE=2AH，证明△ACB∽△CHA，求出AH=22，则AE=42；设FG=x，则AF=4+x，证明△AEF∽△CBF，推出【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°，∴∠D+∠CBD=90°；∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∴∠ABC+∠CBD=90°，∴∠ABC=∠D，∵AC=∴∠E=∠ABC，∵AC=CE，∴∠CAE=∠E，∴∠CAE=∠D；（2）解：∵OA=3，∴AB=2OA=6，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=∵S△ABD∴BC=AB⋅BD∴AC=A同理可得CG=22∴AG=A∴BG=2；如图所示，过点C作CH⊥AE于H，则AE=2AH，由（1）可得∠ABC=∠CAH，∴△ACB∽△CHA，∴AHBC=AC∴AH=22∴AE=42设FG=x，则AF=4+x，∵∠E=∠CBF，∴△AEF∽△CBF，∴CFAF=BC∴CF=4在Rt△CGF中，由勾股定理得C∴46解得x=45或∴FG=4【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．34．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．(1)求证：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）连接OD，根据题意可得∠ODA=90°，根据余角的性质可得∠AOD=∠ABC，根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ACD，等量代换即可得证；（2）在Rt△ABC中，勾股定理求得AB=10,证明Rt△ODB≌Rt△OCBHL，设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，OA=8-r【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵AB为切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，∴∠A+∠AOD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°∴∠AOD=∠ABC，∵∠AOD=2∠ACD，∴∠ABC=2∠ACD．（2）解：在Rt△ABC中，AB=B∵∠OCB=90°=∠ODB，在Rt△ODB和Rt△OCB中，OD=OC，∴Rt△ODB≌Rt∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=4，设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，OA=8-r，在Rt△AOD中，r解得r=3，∴⊙O半径的长为3【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．6）证明线段间存在的比值关系35．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF(1)求证：BC⋅DF=BF⋅CE；(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF【答案】(1)见详解；(2)5，36【分析】（1）先证明△EBC∽△DBF，然后利用对应边成比例，即可证明；（2）利用△EBC∽△DBF，知道∠EBC=∠DBF，从而推出∠CBF=∠EBA，结合∠A=∠CBF，知道∠A=∠EBA，推出AE=BE，接下来证明∠BFC=∠ABC，那么有tan∠BFC=tan∠ABC=5，即CBCF=ACBC=5，不妨设CF=x，代入求得CF的长度，不妨设EF=y，在Rt△CEB和【详解】（1）∵BD是⊙O的直径∴∠BFD=90°=∠C又∵∠CEB=∠FDB∴△EBC∽△DBF∴∴BC⋅DF=BF⋅CE（2）由（1）可知，△EBC∽△DBF∴∠EBC=∠DBF∴∠EBC-∠FBE=∠DBF-∠FBE∴∠CBF=∠EBA∵∠A=∠CBF∴∠A=∠EBA∴AE=BE∵∠A=∠CBF∴90°-∠A=90°-∠CBF∴∠ABC=∠CFB∵∴∴不妨设CF=x，那么CB=∵AF=4∴∴x=∴CF=5，不妨设EF=y，那么AE=AF-EF=4在Rt△CEB中，CE=EF+CF=y+5，CB=5∴∴y=∴EF=在Rt△CFB中，CF=5∴BF=∵∠CEB=∠FDB∴∴∴∴DF=2∴BD=∴⊙O的直径是36【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．36．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE(2)若sin∠ABD=25【答案】(1)见解析(2)AD=2【分析】（1）先证明∠ADE=∠AEH，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明△EAF∽△DAE，利用相似三角形的性质即可求证；（2）先利用勾股定理求出AC，再利用∠ABD=∠ACD和正弦值即可求出AD．【详解】（1）连接ED，∵EH⊥AC，∴∠EAH+∠AEH=90°，∵AC是直径，∴∠AEC=90°，∴∠EAH+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠AEH，∴∠ADE=∠AEH，又∵∠EAF=∠DAE，∴△EAF∽△DAE，∴AEAD∴AE

（2）如图，连接BC，∵∠ADC的平分线交⊙O于点B，∴∠ADB=∠BDC，∴AB=∴AB=BC，∵AC是直径，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵sin∠ABD=2∴AC=52+∴AD=210

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．37．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：AF⋅AC=AE⋅AH；(3)若sin∠DEA=45【答案】(1)证明，见解析(2)证明，见解析(3)AH【分析】（1）连接OC，根据AC平分∠DAB，则∠DAC=∠CAB，根据OA=OC，得∠CAB=∠OCA，根据平行线的判定和性质，即可；（2）由（1）得，∠DAC=∠CAB，根据∠AHF∠CAB+90°，∠ACE=∠OCA+90°，相似三角形的判定和性质，即可；（3）根据sin∠DEA=45，则OCOE=45，设⊙O的半径为4x，则OE=5x，根据勾股定理求出CE；根据AE=OA+OE，AD=45【详解】（1）连接OC∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥∵CD⊥AD，∴∠D=∠OCE=90°，∴CD是⊙O的切线．

（2）证明，如下：由（1）得，∠OCE=90°，∵∠DAC=∠CAB，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∴∠AHF