与数列相结合的概率综合问题-2022年高考数学二轮复习之大题专练（解析版）

第四篇概率与统计

专题05与数列相结合的概率综合问题

常见考点

考点一与数列相结合问题

典例1.某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券

"的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六

个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）,若向上点数不超2点，获得1分，否则获

得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，

若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏.

（1）当进行完3轮游戏时，总分为X,求X的期望；

（2）若累计得分为，的概率为P,,（初始得分为0分，P0=l）.

①证明数列｛p厂P-｝,（i=l,2,19）是等比数列；

②求活动参与者得到纪念品的概率.

【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②|x1+[|].

【解析】

【分析】

（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为1"获得2分的概率为,o，而每轮游戏

的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为F,所以Y~B13，T，X=6-V,

即可求出X的期望；

（2）①根据累计得分为，的概率为P,,分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式

71

£=§七+飞％«=2,3,…,19）,再根据构造法即可证出数列出-k｝是等比数列；

②根据①可求出P,「PT=（T，再根据累加法即可求出2,3,…,19）,然后由

2

鸟0=§耳8从而解出.

【详解】

（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为1"获得2分的概率为：o，设进行完3

-k

轮游戏时，得1分的次数为y,所以丫〜8得,仆上唱11），左=0,1,2,3,

fflnx=y+2(3-y)=6-y,即随机变量x可能取值为3,4,5,6,

[8

P(X=5)=C；

"27,

...X的分布列为：

X3456

1248

P

279927

i948

E（X）=3x——+4x—+5x—+6x——=5.

279927

（2）①证明：n=\,即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点,

12

4=2,则《-4=-;，累计得分为，分的情况有两种：

2

（1）/=（z-2）+2,即累计得，-2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为§匕2,

（II）累计得分为i-1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为:匕「

219

"=”+”心2,3,...』9）,“田一（—（—3,19）,

数列出-小}，M=1，2,…，19）是首项为-g,公比为-g的等比数列.

②二.数列出-PT},（，=1,2,19）是首项为公比为的等比数列，

Pi_Pi-i=（-?’>

A-ft=-|-，“•'Pi~Pi-\；

各式相加，得：Pi-Po=~^xI—[—：[]'

"J+X讣（1]（，j2,…,19）,

.♦•活动参与者得到纪念品的概率为:

【点睛】

本题第一问解题关键是明确得1分的次数为y服从二项分布，从而找到所求变量x

与y的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如

何得至Ui分的情况，进而得到£笔2+：4T，利用数列知识即可证出，②借由①的

2

结论，求出口。=2,3,…,19）,分析可知鸟0=§几，从而解出.

变式1-1.某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额（万元）服从正态分布

N（10,4）.为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可

以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、

第2格、第3格......第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀

的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第人格到第k+2格），若出现反面，则

“跳子”前进1格（从第人格到第左+1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，

游戏结束.“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50

元奖券.

（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率;（参考数据：

若随机变量服从正态分布,则P（〃-b<J<〃+b）。0.6827,

P（"-2bv〃+2b）h0.9545,PR—3b<^<JLI+3b）«0.9973.）

（2）记“跳子”前进到第〃格（上〃W10）的概率为尸“，证明：花，-窄J（2<«<9）是

等比数列；

（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望.

【答案】（1）0.8186；（2）证明见解析；（3）期望为鸳元.

IZo

【解析】

（1）由自服从正态分布阳10,4）可得

P（8<§<14工尸（〃一2b<〃+2。）一尸（〃-2b<〃+2工——）；

（2）计算出［=1、8=g,“跳子”前进到第九（3釉9）格的情况得到

匕=3匕一2+；%可得匕-匕2）化简可得答案；

（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为X元，则X的值可取20和

50,

求出对应的概率可列出分布列求出期望.

【详解】

（1）由」服从正态分布M10,4）可得:

0.9545-0.6827

P(8<€<14)~0.9545-=0.8186.

2

（2）“跳子”开始在第1格为必然事件，［=1.第一次掷硬币出现反面，“跳子”移

到第2格，其概率为3，即心=；,

N2

“跳子”前进到第,（3别I9）格的情况是下面两种，而且只有两种:

①“跳子”先到第〃-2格，又掷出正面，其概率为;之2,

②“跳子”先到第”-1格，又掷出反面，其概率为:如，

••.《=/"配，

•.•与一小尸0(2剿!9),

(3制9),

:.当瑜9时，数列匕-加｝是等比数列，首项为£-《=4,公比为

（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为X元，则X的值可取20和

50,

由（2）可知2（2釉9）,

1-

=|1-（2釉9）,《=1也适合,

1-1

I1+Q}=签，^o=^=1x|[l-(-l)8

X的分布列为:

X2050

17185

P

256256

r-t.iV廿口十日,17185__76703835/一、

^J^W1lW*£（X）=—X20+—X5O=—=—（兀）.

【点睛】

本题考查了正态分布、随机变量的分布列，关键点是证明数列优-是等比数列、

求出X所有可能取值对应的概率.，考查了学生分析问题、解决问题的能力，是一道

综合题.

变式122020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少

学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、8两

种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A类套

餐的概率为：、选择3类套餐的概率为，而前一天选择了A类套餐第二天选择A类

套餐的概率为了、选择B套餐的概率为:；前一天选择8类套餐第二天选择A类套餐

44

的概率为3、选择B类套餐的概率也是如此往复.记某同学第"天选择A类套餐

的概率为P-

（1）证明数列［匕-才是等比数列，并求数列｛e｝的通项公式；

（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择A类套餐的人数为X,求X的分布

列并求E（X）；

（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生

利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐.如

果你是组长，如何安排分发A、B套餐的同学的人数呢，说明理由.

【答案】⑴证明见解析，匕=|-（2）分布列见解析，1；（3）A套餐

的8人，B套餐的12人；理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）依题意得CM=CX［+（1一C）xg,根据递推关系即可证明［匕-1，是等比数列，

利用等比数列通项公式求得［匕-1，的通项，即可求得花｝的通项公式；

（2）依题意求得第二天选择A、8类套餐的概率，列出X的可能取值，结合二项分

布求得分布列与数学期望；

（3）由｛尺｝的通项公式得根据总人数即可求得分发A、3套餐的同学的人

数.

【详解】

（1）依题意，”叫+（1_匕）4,

24

当”=1时，可得百，

...数列［e-1）是首项为△公比为-;的等比数列.

〃515I4）

（2）第二天选择A类套餐的概率2=|x；+；x；=\

23112

第二天选择8类套餐的概率?=

A3人在第二天的有X个人选择A套餐，

X的所有可能取值为0、1、2、3,

有P(X=A)=cd/J(左=0,1,2,3),

X的分布列为

X0123

8421

p

279927

Q421

故石(X)=0xk+lx-+2x-+3x—=1.

9927

（3）由（1）知：|,

〃51514）

22

•••Px«~,即第30次以后购买A套餐的概率约为不

则20x：=8,20-8=12

负责A套餐的8人，负责B套餐的12人.

【点睛】

思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是

否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及

期望计算公式，简化计算）

变式1-3.安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，

为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅

甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅

甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%,前一天选择餐厅乙就餐第二

天选择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%,如此往复.假设

学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是g,择餐厅乙就餐的概率是:，记某同学第〃

天选择甲餐厅就餐的概率为

（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求X的分布列，并求E（X）；

（2）请写出A.与匕（〃eN*）的递推关系;

（3）求数列｛匕｝的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队

合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服

务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.

【答案】（1）分布列答案见解析，E（X）=I；

（2）匕M=匕+；（〃eN*）；

（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）依题意可得X〜进而可得分布列和期望；

（2）由*1=月'［+（1-勺）xg可得结果；

2

（3）由（2）求得?，且匕由此可得分配方案.

【详解】

（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率2=|x；+；x；=；,

某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率心23112

二3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X,则X〜8m

23=/）=璘1］（|）化=0,1,2,3）,

；.X的分布列为

X0123

8421

P

279927

故E（X）=3x；=l.

（2）依题意，P“M=P,X,D4即匕「一;匕+：（”"）.

⑶由⑵知心|=-：匕+；（"€N*）,则q+i-p-U匕-!■］（〃€"*）当”=1时,

22_2_

可得丁

83"5-15

二数列，只-才是首项为2公比为廿的等比数列.

2

匕-g5f+8）,

2

所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为20x^=8,分配到餐厅乙的志愿者人数为

20—8=12.

【点睛】

关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到X〜2（3,£|；后两问的关键点是得到

递推关系月包=-；匕+；（女1）.

典例2.为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育

“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛一校级联赛一

选拔性竞赛一国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、

国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足

球”深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为

一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两

人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均

得0分，设甲每次踢球命中的概率为5，乙每次踢球命中的概率为I，且各次踢球

互不影响.

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X,求X的数学期望；

（2）若经过九轮踢球，用P，表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概

率.

①求Pl，Pl）。3；

②规定A>=。，且有P产,请根据①中P1，P1，。3的值求出A、B,并求

出数列｛2｝的通项公式.

【答案】⑴;⑵①P1=1，=2，。3=；^；②4=:，B=；,匕=*-.

663621677八6）

【解析】

【分析】

（1）X的可能取值为-1,0,1,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与

期望；

（2）①经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，

二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出外.经过3轮投球，甲

累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0

分；甲3轮中有1轮得1分,2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分.由

此能求出外.

②推导出Pi=Api+l+Bpi_l，将）。=0,R=]0=《,0=熹，代入得，p,.=JpM+1PT，

63621677

推导出｛P“-P"-J是首项与公比都是!的等比数列，由此能求出结果.

O

【详解】

（1）记一轮踢球，甲命中为事件A,乙命中为事件8,A,8相互独立.

17

由题意尸（A）=jP⑻=；甲的得分X的可能取值为T，0,1.

尸（X=T）=P（M）=P0）P（B）=11.£|X|=:，

P（X=0）=P（A8）+P（而）=P网尸⑻+尸（可P⑻=3|+11-；411一'=；.

P（X=l）=P（AB）=P（A）xP（B）=1x^l-|^=i,

X的分布列为：

X-101

11

P

326

E（X）=-lx—+0x—+lx—=

3266

（2）①由⑴P1=4，

o

P2=P（X=O）・P（X=1）+P（X=1"（X=O）+P（X=1））

经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮

各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各

得1分，1轮得-1分.

143

x—二---

3216

②\•规定区=°,且有Pi=Ap+i+珈I,

,6

A=—

A=A0+Bp。61

;代入得:+

p=Ap+BpPi=-Pi+i~Pi-^

23iB=-

7

•**A+i-P,=|（A-A-i），，数列｛%是等比数列,

公比为4=；,首项为口-A>=:，.

oo16J

，4=(P,一%T)+(P“T_P,-2)+…+(8_4)=[,[+…+g=g[l_g

【点睛】

关键点睛：利用待定系数法得到后，紧扣等比数列定义是解决问题

的关键.

变式2-1.为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人

随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级,

回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的

1o

概率为“答错的概率为

（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X,求X的分布列及数学期望；

（2）若甲在回答过程中出现在第近22）个等级的概率为4，证明：仍-匕）为等比

数列.

【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：y;（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）首先确定X的所有可能取值X=5,6,7,8,9,10,根据概率公式分别求出对应发生

的概率，列出分布列，即可求出数学期望；

91

（2）根据已知的关系，求出&与《，&的关系式塔=；月+3电，再通过化简和

等比数列的定义求解即可.

【详解】

解：⑴依题意可得，X=5,6,7,8,9,10,

180

X—=--------

3243

"=7）臼|闾嘿,「国=8）=喏噎,

尸（X=＞需Mg]嘿,尸（X=10）=4+看,

则X的分布列如表所示.

X5678910

32808040101

P

243243243243243243

…、u32/80r80°40c10s120

E(X)=5x-----F6x-------F7x------F8x------F9x------1-10x-----=—

2432432432432432433

（2）处于第，+1个等级有两种情况:

2

由第i等级到第，+1等级，其概率为§牛

由第等级到第，+1等级，其概率为:电；

711

所以匕1=]4+耳47,所以%「々=-§（£一4一）,

即4一%3-

所以数列仍-当｝为等比数列.

【点睛】

本题考查概率公式、随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力、数据处理能

力，考查数学运算、逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找匕「与4,九

71

的关系式，即：膜=”+"心2）,进而根据等比数列的定义证明.

变式2-2.为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质

兼优,特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取1。0辆Models型汽车作为样本进行了单次

最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

（I）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间

的中点值代替）.

（2）根据大量的测试数据，可以认为Mode/3这款汽车的单次最大续航里程X近似

地服从正态分布N（〃Q2）,经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50用样本平

均数［作为〃的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽

车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.

（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，

赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若

车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”

方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正、反面的概率都是05方格图上标有第

。格、第1格、第2格.....第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向

前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格（从左到k+1），若掷出反面，车模向前

移动两格（从k到k+2）,直到移到第19格（幸运之神）或第20格（赠送车模）时游戏结

束.设车模移到第格的概率为月，试证明优-只_},（〃22）是等比数列；若

有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值（结果精确到1

万元）.

参考数据：若随机变量J服从正态分布N（〃,4）,则P（〃-。<代〃+0卜0.6827

P（〃一2cr<自V〃+2b）a0.9544,P（/z-3cr<^<//+3cr）«0.9973

【答案】（1）300（千米）；（2）0.8186；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望24万

元.

【解析】

（1）利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值.

（2）X服从正态分布N（300,502）,由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米

到400千米之间的概率.

（3）遥控车开始在第0格为必然事件，4=1,第一次掷硬币出现正面，遥控车移

到第一格，其概率为J，即6=:.遥控车移到第〃（2W〃W19）格的情况是下列两种，

而且也只有两种.①遥控车先到第2格，又掷出反面，其概率为：只.2,②遥控车

先到第〃-1格，又掷出正面，其概率为9-从而匕-肥=-，*-比2），进而能

证明当2W〃W19时，数歹必匕-匕―｝是公比为的等比数列，由此能求出结果.

【详解】

（1）x=0.002x50x205+0.004x50x255+0.009x50x305

-+0.004x50x355+0.001x50x405=300（千米）

（2）因为X服从正态分布N（300,502）

所以P（250<X<400）。0.9544-0,9544~0,6827=0.8186

（3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为g,即移动

1113

到第二格有两类情况+]=.车模移到第〃（3<〃419）格的情况是下列两种，

而且也只有两种.

①车模先到第〃一2格，又掷出反面，其概率为:匕_2

②车模先到第”-1格，又掷出正面，其概率为

所以《=11-2，,P„-

.•.当34〃<19时，数列代-匕―｝是公比为的等比数列.

•..《=g，6一勺=卜；：,6_鸟=J,经验证n=2也满足.；・｛匕-匕-｝是公比为彳的

等比数列.

.*4-卜J'…忆/=13

以上各式相加，得[一[=[一£|+[-g]+,"+[_£!

即4-1=

（孔=2,…/9）,经检验〃=1时也符合.

2

「•获得优惠券的概率%

获得车模的概率与=g4=g1+[1

1、

2

设参与游戏的6人获得优惠券的有X人，由题可知X〜26卷

J7

2「(1Y°1

••・X的期望E(X)=6X§=41-

设优惠卷总金额为y万元，；1=6丫

优惠券总金额的期望EC）=E（6X）=4合24万元

【点睛】

关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面

积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为L

变式2-3.某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台

阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励.现假设台阶标有第0,1,2,

50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位

于第。级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登

两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束.设X（〃）为登

攀至第〃级的步数（1W〃W5O）,这位同学登到第〃级的概率为P,.

（I）求X⑶的分布列与数学期望；

（II）证明：仍-勺7｝（2<〃<49）为等比数列.

【答案】（I）分布列见解析，y;（II）证明见解析.

【解析】

【分析】

(I)由题意，X⑶登至第3级的基本事件｛3次偶数，1次奇数1次偶数｝,即x⑶

可能取值为2,3,每次掷奇数、偶数的概率都为根据二项分布，并结合古典概

型求概率，写出分布列并出求期望；

(II)从第〃-2级登至第〃级的概率为从第1级登至第〃级的概率为5，由条

件概率及概率加法公式得匕=；仍7+匕2)并整理，又4=1/=：即可证等比数列.

【详解】

(I)由定义知，X⑶可能取值为2,3.

j_

21

根据条件概率计算公式得：P(X⑶=2)==

55

8

••・X⑶的分布列为

4111

・•・E(X(3))=2x-+3x-=y.

(II)证明：由题意，匕=1%+%)，则匕-*=-3(射-匕_2)(2"449)；

又i=—

数歹K只-aT｝(1<"<49)是首项、公比均为-;的等比数列.

【点睛】

关键点点睛：

(1)由登至第〃级的各个基本事件都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由

概率加法公式，结合古典概率求登至第”级概率；

(2)理解登至第"级可以从第"-2级或第"-1级一次性完成，结合概率加法公式确

定A，A-%2的关系式.

巩固练习

练习一与数列相结合问题

1.某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，

也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为g,每步上两个台阶的概率

为：，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶

记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第〃个台阶的概率为匕，其中“eN*,且

«<998.

⑴若甲走3步时所得分数为X,求X的概率分布；

(2)证明：数列花+「〃｝是等比数列;

⑶求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

【答案】(1)分布列见解析

(2)证明见解析

34(2『

⑶二十日

【解析】

【分析】

(1)考虑甲走3步时，是一步上一个台阶还是一步上两个台阶，从而写出X的所有可

能取值，求出每一个值对应的概率，即可得X的分布列；

(2)由题意可得到递推式以2=(之|+；匕，构造数列，从而证明结论；

(3)利用(2)的结论，采用累加求和，结合等比数列的前〃项和公式，求得答案.

(1)

由题意可得X的所有可能取值为3,4,5,6,

尸(X=3)=0V，尸(X=4)=C；x|d

P(X=5)=C；x]|"=。尸—6)=4*,

，X的分布列为:

(3)

由(2)可得&=(&->)+(&一>)+…+(上-4)+4

2.近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到

多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲、乙两家第三方检测机构对产品进

行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，

若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.

(1)若参加的车主有3人，记总得分为X,求X的分布列与数学期望；

(2)若有位车主，记总得分恰好为〃分的概率为｛%｝,求数列位,｝的通项公

式；

⑶在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得

为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.

【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：

⑶这方案不合理，分析答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有3,4,5,6.分别求得随机变量取每一

值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；

(2)依题意，总得分恰好为九分时，得不到〃分的情况是先得(〃-1)分，再得,

1I

概率为即有1-4=5〃,7，由此可求得答案;

(3)由(2)求得〃99，"100,比较可得结论.

(1)

解：由题意可知，随机变量X的可能取值有3,4,5,6.

p(X=3)=I|=gP(X=5)=C|-Ihr

P(X=6)=

・,•随机变量X的分布列如下表所示:

13319

，E(X)=3x—+4x—+5x—+6x—=—

88882

(2)

解：依题意，总得分恰好为〃分时，得不到〃分的情况是先得(〃-1)分，再得2

分，概率为:q

n-\，

21

a

/.l-a=~n,-\，即见%

n32I-

21211n-1211n-1

又％=p

3662362

(3)

］、98

212_21n"2

解：因为。券〈一,0,00=〉一，“100>"99，

36233-623

・・・选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.

3.武汉又称江城，它不仅有深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，还有众多名胜古迹

与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对

某日已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不继续游玩东湖记1分，继续

游玩东湖记2分，每位游客游玩东湖的概率均为游客是否游玩东湖相互独立.

（1）若从游客中随机抽取加人，记总分恰为加分的概率为求数列｛4｝的前10

项和；

（2）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为〃

分的概率为纥，探讨纥与纥-之间的关系，并求数列｛4｝的通项公式.

【答案】⑴黑；⑵纥=一那+1,纥=尹.3・

【解析】

【分析】

（1）由题意求出4,利用等比数列求和即可；

（2）根据概率关系可得纥=-：纥-+1,构造等比数列求通项公式即可.

【详解】

（1）总分恰为加分的概率为4=（［，

...数歹K4｝是首项为公比为3的等比数列，

贝U其前10项和S10==黑.

1024

2

（2）已调查过的游客的累计得分恰为〃分的概率为纥，得不到〃分的情况只有先得

"-1分，再得2分，概率为:纥一用=；.

：A-B,=^Bnl,即打=一gqi+l,

.••数列［纥-幺是首项为-1，公比为的等比数列，

〔力62

4.某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红

花和黄花的概率都是从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率

1o3

是:，开黄花的概率是:，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是g,开黄花的

概率是:2，记第"代开红花的概率是P",第”代开黄花的概率为纵，

(1)求。2；

(2)试求数列｛2｝(“€2)的通项公式；

(3)第,(女心会2)代开哪种颜色的花的概率更大.

【答案】(1)必=(；(2)Pn=~pn_l；(3)第〃代开黄花的概率更大.

【解析】

【分析】

13

(1)由。2=§0+/计算；

(2)由关系式瞑=乩+*1-外)可得卜"-"是等比数列，从而求得P.；

(3)由P,的表达式可得从而%=l-p,N；,从而可得结论.

【详解】

解(1)第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一

代开黄花而第二代开红花，

故由网=；，得：

1人\37

P2=A--+(I-A)--=—•

(2)由题意可知，第九代开红花的概率与第〃-1代的开花的情况相关，故有

_1rl、3_43

PnPn-l+Pn-\),~^=~~^Pn-\+

94(9)

贝解。"一历=-"-一历｝

上十9191

FHJPi==，

11921938

所以数列［外-得］是以4为首项，-白为公比的等比数列.

〔iyJ3o1J

n-\

所以。"一，1

二——XI,所以必=

38

2±r±T%2±i

(3)由(2)+x+=

1938I15)19382

故有当〃eN+时，P"Vg,因此第〃代开黄花的概率更大.

5.有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分

布表：

均价X（单位：千元）[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8⑼[910]

频数22111041

（1）若同一组中的数才居用该组区间的中点值作代表，年样本平均数最作为〃的近似

值，用样本标准差s作为b的估计值，现任取一个楼盘的均价X,假定x〜，

求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；

（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味

蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同

的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出

的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，

直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优

惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.

①设客户乙站到第”（OWwV6,〃eN）个台阶的概率为匕，证明：当时，数列

花-晶｝是等比数列;

②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度,

请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.

参考数据：取<^=1.12,[g]=0.13.若X〜则尸（〃一b<jW〃+b）=0.68,

P"-2b<&W〃+2。卜0.95,P（/z-3cr<^<〃+3cr）a0.997.

【答案】（1）0.135；（2）①证明见解析；②应参与.

【解析】

【分析】

（1）根据频数分布表计算均值与方差，得X〜N（7,L25）,然后由对称性和特定区间

的概率得出结论；

（2）①由已知此=1,耳=；,而“22时，即客户到第"人台阶分为两种情况：一是

从第1个台阶跳一级过来，另一个是从第〃-2个台阶跳2级过来，由此可得月递

推关系，变形后可证题设结论;

②利用①求得P,,，计算参加活动的期望值。-38+3及与1.4比较可得.

【详解】

x=4.5x—+5.5x—+6.5xH7.5x—+8.5x—+9.5x—=7

(1)+

3030303030

77iiin

/=(4.5—7>x—+(5.5—7yx—+(6.5-7)2x—+(7.5-7)2x—

30303030

41

+(8.5-7)29x—+(9.5-7)92x—=1.25.

3030

因为4=%=7,S2=1.25,(J=s=1.12,所以X〜N(7,L25).

0.95-0.68

所以P(8.12vXW9.24)=Q13

2

（2）①证明：客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故4=1,客户甲第一次

摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为，故

客户乙迈入第n（2<"W5）个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种.

2

一是客户乙先到第〃-2格，客户甲又摸出红球，其概率为§匕2；

二是客户乙先到第1格，客户甲又摸出黑球，其概率为;

122

所以匕=§匕―+§Pn2，则P„~匕T=一§（尺T一匕一2）.

所以当1VK5时，数列忆-加｝是首项为片-E=J,公比为的等比数歹U.

2

②由①知，当时，P"一

3

所以匕-用=仍-4）+（2-幻+…+（只-匕-J

23

22222

+++­••+1-

33353

整理得匕=

且《亭=：|[|[=。452.

设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米丫千元,

贝|J£(Y)=034+3e=0.3x0.548+3x0.452=1.5204(千元).

因为1.5204>1.4,所以参与游戏比较划算.

6.根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期

10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.其中，空军五项、

军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项