2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题(五大题型)(学生版+解析)

重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 2题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 3题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 3题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值 4题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 403过关测试 6

活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长【典例1-1】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【变式1-4】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为（

）A．5 B．10 C． D．题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值【典例2-1】在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为．【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知四点共面，，，，则的最大值为．【变式2-1】已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为．【变式2-2】已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为．【变式2-3】正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为.题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°【典例3-1】已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为.【典例3-2】已知向量为单位向量，且，若满足，则的最大值是.【变式3-1】已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7，【变式3-2】已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是.题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是.【典例4-2】设向量满足，，，则的最大值等于()A．4 B．2 C． D．1【变式4-1】（2024·天津·一模）如图，梯形中，,E和分别为AD与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【变式4-2】（2024·广东广州·一模）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为．题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·江西赣州·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2024·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（

）A．的方程为B．当三点不共线时，则C．在C上存在点M，使得D．若，则的最小值为1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．3．已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．5．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．设向量，，满足：，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．（2024·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为．9．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为．10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为．则的最小值为．11．（2024·山东日照·一模）已知向量满足，，则的最大值为．12．若向量，且向量，满足，则的取值范围是．13．如图，△是边长为1的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数），满足条件的点有无数个，则实数的取值范围是．14．已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围为．15．已知圆C：和两点，若圆C上存在点M，使得，则m的最小值为16．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 2题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 5题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 8题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值 10题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 1203过关测试 17

活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长【典例1-1】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，，设，则，由得：，令，即，，其中锐角满足，因此，当时，，当时，，所以的取值范围是.故选：D【典例1-2】已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意不妨设，设，则．∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，故选：C．【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】问题可转化为圆和圆相交，两圆圆心距，由得，解得，即.故选：D【变式1-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过定点，时，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，故选:D．【变式1-3】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【答案】B【解析】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过定点，因为，所以动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，则有，，故（当且仅当时取“”，故选：C．【变式1-4】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【解析】由题意，动直线经过定点，则，动直线变形得，则，由得，∴，故选：B．题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值【典例2-1】在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为．【答案】5【解析】设点，由得：，即，即，在以为直径的圆上，不妨设，，则，，，，其中为辅助角，令，，则，．，令，，，在，上单调递增，故当时，取得最小值，再令，，显然在，上单调递增，故时，取得最小值，综上，当，时，取得最小值25．故的最小值为5,故答案为：5．【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知四点共面，，，，则的最大值为．【答案】10【解析】设，由题意可得：，则：，ABC构成三角形，则：，解得：，由余弦定理：，当时，取得最大值为10.【变式2-1】已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为．【答案】【解析】设，，，，当取得最小值时，取得最小值，由圆，则圆心，半径，易知，则.故答案为：.【变式2-2】已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为．【答案】【解析】由已知，，设Px0,y0所以，因为，所以当OP取得最小值时，取得最小值，由OP的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.【变式2-3】正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为.【答案】【解析】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，设点，则由，得，整理得，即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，圆心M到点D的距离为，所以，所以的取值范围是.故答案为：.题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°【典例3-1】已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为.【答案】【解析】设，，，以所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，因为，，与的夹角为，所以，，设，即，，，所以，，因为，所以，即，圆心坐标为，半径，表示点到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，因为圆心到原点的距离为，所以.故答案为：.【典例3-2】已知向量为单位向量，且，若满足，则的最大值是.【答案】【解析】向量为单位向量，且，不妨设，令，则，即，它表示以为圆心，为半径的圆，可知表示圆上的点到原点距离，故其最大值是.故答案为：2.【变式3-1】已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】圆即为：，其圆心为（3，4），半径为1，设AB的中点为M，因为点，，所以M（0，0），以AB为直径的圆的方程为：，，若圆上存在点，使得，则圆C与圆M有公共点，即，解得，所以实数的最大值是6.故选：C【变式3-2】已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是.【答案】【解析】圆：，则半径为，，如上图，对于直线上任意一点，当均为圆的切线时最大，由题意，即时，此时为满足题设条件的临界点，此时有.当在临界点之间移动时，有，即，即有：，解得：.故答案为：.题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是.【答案】/【解析】设，则由得，可得，由得，因此，表示圆上的点到直线上的点的距离；故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.故答案为：【典例4-2】设向量满足，，，则的最大值等于()A．4 B．2 C． D．1【答案】D【解析】因为，，所以,.如图所以，设，则,,.所以，所以，所以四点共圆.不妨设为圆M，因为,所以.所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.所以当为圆M的直径时，取得最大值4.故选：A.【变式4-1】（2024·天津·一模）如图，梯形中，,E和分别为AD与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，.当在边上时，设，则；当在边上时，设，则；当在边上时，设，则；当在边上时，设，则.综上所述，实数的取值范围是.故选D.【变式4-2】（2024·广东广州·一模）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为．【答案】27【解析】画出图像如下图所示，由于、为定值，故在以为弦的圆上运动，由正弦定理得，故圆心的坐标为，的最大值即为的值，也即是的值，由两点间的距离公式有.题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，此时，交点为.当时，由，斜率为，由，斜率为，，综上，.又，直线恒过，，直线恒过，若为的交点，则，设点，所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，则圆心为的中点，圆的半径为，故的轨迹方程为，即，则有.又，易知O、Q在该圆内，又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即，，又，.所以，又，所以，如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立即最小值为.故选：A.【典例5-2】（2024·江西赣州·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，令，则，由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，设点，则，整理得：，比较两方程可得：，，，即，，点，当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.故选：B.【变式5-1】（2024·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为，则，当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，所以的最小值为.故选：D.【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，点M在圆上，取点，连接，有，当点不共线时，，又，因此∽，则有，当点共线时，有，则，因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，所以的最小值为.故选：C【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（

）A．的方程为B．当三点不共线时，则C．在C上存在点M，使得D．若，则的最小值为【答案】B【解析】设，由，得，化简得，故A正确；当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错误；因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.故选：C.1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，所以，又，所以．因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值为．故选：C．2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，所以，整理，得，，点M位于图中、的位置时，的值最小可得答案.设，令，则，由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，设点，则，整理得：，比较两方程可得：，，，即，，点，当点M位于图中、的位置时，的值最小，最小为.故选：B.3．已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是单位向量，∴.∵且.∴，又∵，∴(θ是与的夹角)．又，∴，∴.根据一元二次不等式的解法，解得.故选：D.4．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】如果圆上总存在两个点到原点的距离为2则圆和圆相交，又圆的圆心为，半径为两圆圆心距，由得，解得，即．故选：D．5．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得动直线经过定点，动直线经过定点，且两条直线互相垂直，且相交于点，所以，即，由基本不等式可得，即，可得，故选：C.6．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，动直线经过定点，动直线，即，经过点定点，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，又是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，，，，，故选：B．7．设向量，，满足：，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，，，，又，，设，，，则，，又，，、、、四点共圆，当最大时，有，为该圆的半径，由，所以，在中，由正弦定理可得，当且仅当是的平分线时，取等号，此时的最大值为圆的直径大小为.故选：A．8．（2024·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为．【答案】9【解析】由为圆上一动点，得，由为圆上一动点，得，又.因为，所以，于是.当共线且时取得最小值，即.所以，当共线时等号成立.故答案为：9．9．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为【答案】【解析】如图，在轴上取点，，，，，（当且仅当为与圆交点时取等号），.故答案为：.10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为．则的最小值为．【