北京市房山区北师大燕化附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷(解析)

高中数学精编资源-2023学年北京师范大学燕化附中高二下学期期中数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】整理解析式得，用计算整理．【详解】∵则故选：D．2.甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为A.24 B.12 C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解.【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；第三步：排剩下两位同学，2种排法，所以共8种.故选：C【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.3.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的定义即可求得两事件同时发生的概率.【详解】解析：记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选：C.4.数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知分析数列的周期性，可得答案．【详解】∵数列满足，，∴，，，，故数列以4为周期呈现周期性变化，由，故，故选:D．【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性．5.从甲地到乙地共有A､B､C三条路线可走，走路线A堵车的概率为0.1，走路线B堵车的概率为0.3，走路线C堵车的概率为0.2，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则不堵车的概率为（）A.0.2 B.0.398 C.0.994 D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据全概率公式即可得出答案.【详解】解：由题意可知，李先生走每条路线的概率均为，走路线A不堵车的概率为0.9，走路线B不堵车的概率为0.7，走路线C不堵车的概率为0.8，由全概率公式得，李先生不堵车的概率.故选：D.6.若曲线在点处的切线方程为，则（）A.2 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导数，将代入后，可得，将代入后可得，进而得到．【详解】由得，又曲线在点处的切线方程为，故当时，又点在上，则，故．故选：A．7.某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是（）

A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强；逐项分析判断.【详解】由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，故；又因为（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故，所以.故选：C.8.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，由全概率公式可得.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.9.在某一次招聘中，主考官要求应聘者从备选题中一次性随机抽取10道题，并独立完成所抽取的10道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响．记甲最后的得分为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二项分布方差公式求解，再由结合方差的性质求解.【详解】由题意甲答对的题目数，所以．因为，所以．故选：D10.设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的极小值大于且解不等式组可得结果.【详解】由得，令,得，令，得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极小值，为，因为无最小值，所以，解得.故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.在的二项展开式中，常数项等于_______.【答案】-20【解析】【详解】展开式通项，令6-2r=0，得r=3，故常数项为.12.已知等差数列的公差，且，则的前5项和__________．【答案】0【解析】【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算.【详解】由题意可得：，所以.故答案为：0.13.函数的单调递增区间是______．【答案】【解析】【分析】求定义域，求导，利用导函数大于0解不等式，求出递增区间.【详解】的定义域为，，令，解得：或，因为定义域为，所以单调递增区间为.故答案为：14.等比数列满足如下条件:①；②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，，进而令，再求和检验即可.【详解】解：由题知，故令,所以，，满足题意，所以，，故答案为：.15.函数（其中，e为自然常数）．关于函数有四个结论：①，函数总存在零点．②，函数在定义域内单调递增．③，使函数存在2个零点．④，使得直线为函数一条切线．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】对①，举出反例判断即可；对②，求导分析单调性即可；对③，令，参变分离得到，再根据函数的图象数形结合分析即可对④，设切点，再根据切点在函数、切线上，结合导数的几何意义分析即可【详解】对①，当时，，不存在零点，故①错误；对②，当时，在定义域上恒成立，故函数在定义域内单调递增，故②正确；对③，显然不为零点，令，即，设函数，则，令可得，易得为增函数，且，，故存在使得成立，又当时，当时，故当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故当时有极小值，故当时有两个零点.故③正确；对④，若，使得直线为函数的一条切线，则设切点为，因为，故，即，故，当时，当时，故存在使得成立，故有解，此时满足条件，故④正确故答案为：②③④【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点、单调性问题，同时也考查了根据导数的几何意义分析切线的问题，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列中，＝，求数列的前n项和．【答案】16.17.【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式并进行转化即可发现数列是以2为首项，4为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和．【小问1详解】由题意，设等差数列{an}的公差为d，则，解得，∴．【小问2详解】由（1）可得，＝＝＝＝，故数列是以2为首项，4为公比的等比数列，∴．17.某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业14138分行业2129分行业382分行业465分行业532分行业621分行业70.80.4（一般地，行业收益率．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；（3）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）分布列见解析；；（3）.【解析】【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率；（2）根据X的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望；（3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小.【小问1详解】分行业1行业收益率：，分行业2行业收益率：，分行业3行业收益率：，分行业4行业收益率：，分行业5行业收益率：，分行业6行业收益率：，分行业7行业收益率：，行业收益率不低于50%的有4个行业，故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为.小问2详解】有（1）可知X的取值有0、1、2、3，，，，，分布列如下：X0123P【小问3详解】7个分行业营业收入的平均值为：，7个分行业营业成本的平均值为：，故.18.北京市某区针对高三年级一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：物理成绩等级化学成绩等级人数（名）11053255701531210（1）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率；（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）；（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望为（3）不正确【解析】【分析】（1）由表可知，样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，即可估计该生的化学成绩等级为的概率；（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为，可知随机变量的取值范围，分别求出相应概率即可得到分布列及其数学期望；（3）假设排名前的成绩均为分，排名后的成绩均为分，即可判断.【小问1详解】设事件为“该生物理成绩等级为的情况下，化学成绩等级为”，样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，所以频率为，由样本估计总体可得，故该生物理成绩等级为，估计该生化学成绩等级为的概率为.【小问2详解】从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为.由题意随机变量的取值范围是则的分布列：012【小问3详解】不正确；举例：，排名前的成绩均为分，方差为，排名后的成绩均为分，方差为，显然，所以，，故同时大于和.【点睛】（1）概率统计问题关键在于审题，建议大家在考试过程中审题不少于两遍，同时把重要信息标注出来，这样不容易丢掉关键信息；（2）分布列问题类型判断是关键，建议结合做过的典型问题放在一起对比感悟；（3）第三问这种问题是北京命题特色，围绕一些概念深入考查，具有较高的区分度，建议把一些典型的第三问加以整理并思考命题的逻辑.19.已知函数，（）．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，请判断的单调性．【答案】（1）（2）函数在上单调递增【解析】【分析】（1）由题意，对函数进行求导，得到和，求出切线方程；（2）先得到函数的解析式，对函数进行求导，构造函数，求导得到函数最小值，从而得到答案．【小问1详解】已知，函数定义域为，可得，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】若，函数定义域为，可得，不妨设，函数定义域为，可得，当，即时，，当，即时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，则当时，存在恒成立，即函数在上单调递增．20.设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若已知，且的图象与相切，求b的值；（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）．【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）3（3）【解析】【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；（2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可；（3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可．【小问1详解】当时，，则，当或时，；当时，，所以f(x)单调递增区间为和，单调递减区间为．【小问2详解】因，则，设函数与直线相切的切点是，因为，所以，所以有，可得，又，相减得，所以，所以，解得：；【小问3详解】时，，的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，设函数，则，时，或；时，，在和上单调递增，在上单调递减，时取极大值，时取极小值，所以的取值范围为．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.设数列，为的满足下列性质的排列的个数，性质T：排列中仅存在一个，使得．（1）求的值，并写出时其中一种排列的情形．（2）若，求满足性质的所有排列的情形．（3）求数列的通项公式．【答案】（1）；从中任选一个即可（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意直接得出的值，当时，写出所有的排列，再找到满足的排列有写出其中一种即可；（2