四川省合江县马街中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

马街中学高2023级高二（上）期中考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据复数除法求出，再根据共轭复数的概念求得结果.【详解】因为，所以，所以，故选：A.2.已知直线经过点和点，则直线AB的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线上的两点求直线的斜率，由斜率可得倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由题得直线的斜率为，因，所以.故选：D3.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】，又该组数据的分位数为22，则，解得.故选：C4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果.【详解】因为向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.5.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误.【详解】设其他48个数据依次为，则，因为，因此平均数不变，即；又由方差计算公式可知：，，注意到，则.故选：C.6.已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（）A.若与相互独立，则B.若与互斥，则C.若，则事件与相互独立D.若发生时一定发生，则【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A，若A与B相互独立，则，所以，故A正确；对于B，若A与B互斥，则，故B错误；对于C，因为，则，因为，所以事件A与相互独立，故C正确；对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D正确．故选：B.7.在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”中，平面，且，若该四面体的体积为，则该四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意计算分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为平面，且，，而,所以，所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R，则,所以外接球的表面积为故选：B【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2)多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．8.平行六面体底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：，则，所以.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年112月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（）A.8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B.112月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C.112月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差D.112月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差【答案】BCD【解析】【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案.【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误；由校车销量走势图知112月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；112月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；由校车销量走势图知112月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确．故选：BCD.10.给出下列命题，其中正确的是（）A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C.若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。【详解】对于A,不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；对于B,点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；对于C，由可得，即,所以A，B，C三点共线，故正确；对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.不在同一个球面上D.若，则点轨迹长度为【答案】AD【解析】【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D.【详解】对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知平面在面内，所以面面，所以面面，所以，连接是正方形，，因为面面，所以，因为面面，所以面，因面，所以，综上，面面，又，所以面面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确.故选：AD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则__________.【答案】4【解析】【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求解出的值.【详解】因为，且，所以，解得，故答案为：.13.省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是__________.（如下是随机数表第8行至第9行）630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551013429966027954【答案】507【解析】【分析】根据随机数表法读取数据即可.【详解】由题意，依次读取的种子的编号为：785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507.故所抽取的第4粒种子的编号为507.故答案为：50714.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】先根据，结合余弦定理求角C，再根据，再结合面积公式和基本不等式求出的最小值，再根据数量积定义求.【详解】因，所以，而角为三角形内角，所以，由，，所以，化简得到，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最小值为8.故答案为：8.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的顶点坐标为是边上的高.（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求高所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的截距式方程即可求解；（2）由两垂直直线的斜率关系及直线的点斜式方程即可求解.【小问1详解】AB的中点坐标0,1，又，所以边上的中线所在直线的方程为：，即.【小问2详解】因为是边上的高，所以，所以，所以，因此高所在直线的方程为：，即.16.沪州尧坝古镇位于四川省沪州市合江县尧坝镇，是川南醉美古镇之一，历史悠久，有“茶盐古道”之称.古镇保存完好，有进士牌坊､大鸿米店､东岳庙､王朝闻故居､周公馆等古建筑群，形态自然，独具特色.为更好地提升旅游品质，随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这名游客对景区满意度评分的平均值；（2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人评分分别在和内各人的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为可求得，根据频率分布直方图估计平均数的方法直接求解即可；（2）根据分层抽样原则可求得每组抽取的人数，采用列举法可求得结果.【小问1详解】，，平均值为.【小问2详解】评分在和80,90的频率之比为，应从评分在的组中抽取人，记作：；评分在80,90的组中抽取人，记作：；从人中随机抽取人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；其中满足评分分别在和80,90内各人的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；评分分别在和80,90内各人的概率.17.如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，为棱的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；（2）建立空间直角坐标系后，写出点坐标，得到空间向量，求出平面法向量，由向量夹角余弦值求出线面角的正弦值.【小问1详解】连接，再连接，因为底面是正方形，所以是的中点，又为棱的中点，所以，又平面平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，底面正方形，即，故以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为n=x,y,z，则，令，则，故n=1,−1,1，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；18.如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定与性质可得，结合菱形对角线互相垂直和线面垂直判定定理可证得结论；（2）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果；方法二：取的中点，作，，根据平行关系可将所求距离转化为点到平面的距离，由平面，结合长度关系可求得结果；（3）方法一：设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结论；方法二：假设存在点，根据二面角平面角的定义可知，由长度关系可求得结果.【小问1详解】连接，，为等边三角形，为中点，；由题意知：平面，又平面，，，平面，平面，平面，；四边形为平行四边形，，四边形为菱形，，分别为中点，，，又，平面，平面.【小问2详解】方法一：由（1）知：平面，；则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量m=x,y,z则，令，解得：，，，点到平面的距离；方法二：取的中点，连接，过作交于，过作分别交的延长线于，则分别是的中点，，平面，平面，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离；由（1）得：，平面，平面，是直角三角形，在菱形中，易得，，，，，即点到平面的距离为.【小问3详解】方法一：，，，设，，，；由（2）知：平面的一个法向量；设平面的法向量n=a,b,c则，令，解得：，，；，解得：（舍）或，此时，在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时；方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接，过作交于，连接，，平面，又由（1）得：，，二面角的平面角为，；在菱形中，作，，，，为直角三角形，，，在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时.19.在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．（1）求经过的直线的点方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；（2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向