第01讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（学生版）-2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第01讲函数及其性质

（单调性、奇偶性、周期性、对称性）

（核心考点精讲精练）

考情探究

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第4题,5分复合函数的单调性函数的单调性求参数值

2023年新I卷,第11题,5分函数奇偶性的定义与判断函数极值点的辨析

2023年新II卷,第4题,5分函数奇偶性的应用奇偶性求参数

抽象函数的奇偶性

2022年新I卷，第12题,5分函数与导函数图象之间的关系

函数对称性的应用

2022年新II卷,第8题,5分函数奇偶性的应用抽象函数的周期性求函数值

2021年新I卷，第13题,5分由奇偶性求参数无

2021年新II卷,第8题,5分函数奇偶性的应用函数的周期性的定义与求解

2021年新H卷,第14题,5分函数奇偶性的定义与判断基本初等函数的导数公式

2020年新I卷，第8题,5分函数奇偶性的应用函数的单调性解不等式

2020年新H卷，第7题,5分复合函数的单调性对数函数单调性

2020年新II卷，第8题,5分函数奇偶性的应用函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5分

【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法

2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值

3.能够利用函数的单调性解决有关问题

4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性

5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题

6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、

周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.

考点梳理

知识讲解

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值

Xl,X2

定义

当即〈短时，都有了（即）5也），那么就说函数/W当即〈X2时，都有了（即）»但），那么就说函数

在区间。上是增函数/（X）在区间。上是减函数

图象描,为）|他）

01x

述Opi~~%.~~x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数y=/(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)单调性,

区间。叫做y=f(x)的单调区间.

(3)函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数"满足

(1)对于任意的无£/,都有/(%)WM；(3)对于任意的xGI,都有/(无)

条件

(2)存在沏£/,使得/(xo)=M⑷存在加e/,使得/(尤0)=M

结论M为最大值M为最小值

2.单调性的常见运算

(1)单调性的运算

①增函数(/)+增函数(/)=增函数/

②减函数(、)+减函数(')=减函数,

③/(x)为/,则一/⑴为、，为、

/(x)

④增函数(/)—减函数(\)=增函数/

⑤减函数(、)一增函数(/)=减函数、

⑥增函数(/)+减函数(\)=未知(导数)

(2)复合函数的单调性

函数/1(x)=/z(g(x)),设"=g(x),叫做内函数，贝叭%)=力(4/)0可做外函数,

'内函数T,外函数复合函数T

内函数J,外函数复合函数T任人闩+的日什

'内函数T,外函数jq复合函数尸结论：同"减

、内函数J,外函数T,二复合函数J

3.奇偶性

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)

②奇偶性的定义：

奇函数：/(-%)=-/(%),图象关于原点对称

偶函数：/(-x)=/(x),图象关于y轴对称

③奇偶性的运算

/(工)g(z)/O)+g(z)/(•X)—g(z)/[g(Z)]

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

4.周期性(差为常数有周期)

①若/(x+a)=/(x),则/(x)的周期为：T=|«|

@^f(x+a)=f(x+b),则/(x)的周期为：T=\a-k\

③若/(x+a)=—/(x),则/(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

④若/(x+a)=土上，则/(x)的周期为：T=|2a|(周期扩倍问题)

/㈤

5.对称性(和为常数有对称轴)

轴对称

①若f(x+a)=/(-x),则/(x)的对称轴为》=■!

②若f(x+a)=f(-x+b),则f(x)的对称轴为x=彳

点对称

①若/(x+4)=—/(—x),则/(x)的对称中心为o]

②若f(x+a)+/(-x+Z7)=c,则/(x)的对称中心为|—

6.周期性对称性综合问题

①若/(a+x)=/(a—x),f{b+x)=f(b-x),其中awh,则/(x)的周期为：T=2|a—4

®^f[a+x)=-f(a-x),f[b+x)=-f{b-x),其中“工儿则/(x)的周期为：

T=2|a-Z?|

③若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=-f(b-x),其中则/(x)的周期为：

T=4\a-b\

7.奇偶性对称性综合问题

①已知/（x）为偶函数，/（x+a）为奇函数，则/（x）的周期为：T=4|a|

②已知了（X）为奇函数，/（x+a）为偶函数，则/（x）的周期为：T=4|a|

考点一、根据函数的单调性求参数值

☆典例引领

1.（2023年新高考全国I卷数学真题）设函数〃%）=2心甸在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.3，-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+co）

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数＞=2、在R上单调递增，而函数/（»=2伞旬在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数了=*5-°）=（》-@）2-幺在区间（0,1）上单调递减，因此5对，解得。22,

242

所以。的取值范围是[2,+8）.

故选：D

2.（2023・全国・高三专题练习）若函数八％）=/_2%+1在区间（3,4）上单调递减，则〃的取值范围是.

【答案】卜巩:

【分析】按。值对函数f（x）=ax2-2x+l进行分类讨论，再结合函数/（X）的性质求解作答.

【详解】由于函数〃彳）=依2-21+1在区间（3,4）上单调递减，

①当。=0时，函数〃x）=-2x+l,在区间（3,4）上单调递减，符合题意；

②当a＜0时，开口向下，对称轴为了=-9=,则±43,可得函数在区间（3,4）上单调递减，符合题

2aaa

思；

__r）iii

③当。＞0时，开口向上，对称轴为x==L〃尤）在区间（3,4）上单调递减需满足上24,因此0＜。4；

2aaa4

综上所述，。的取值范围是，巩；,

故答案为：11Gon

即时检测

1.（2023・全国・高三专题练习）函数〃力=卜-同+1在[2,+8）上单调递增，则实数”的取值范围是.

【答案】（-8,2].

【分析】先求得“X）的单调递增区间为3,+8）,根据题意得到[2,+8）口°,+8）,即可求解.

【详解】由函数"x）=|x-d+l,可得函数〃X）的单调递增区间为出,+8）,

因为“X）在[2,+8）上单调递增，可得[2,+8）口圆+8）,解得OW2,

所以实数。的取值范围为（-8,2].

故答案为：（3,2].

2.（2023・全国•高三专题练习）若函数〃力=五二在上单调递增，则实数。的取值范围为_______

X~1

【答案】口，2）

【分析】化简/尤=i+y,根据题意得到，，即可求解.

尤-1[<7>1

【详解】由函数〃无）=叶一=土卫^2=1+伫1,

x-1x-1x-1

—2<0

因为f（X）在（。，收）上单调递增，贝I」满足,解得14a<2,

所以实数。的取值范围为口,2）.

故答案为：口,2）.

3.（2023・全国•高三专题练习）函数”x）="口在（2,+8）上单调递增，则实数。的取值范围是.

x+a

【答案】[―2,—1»（1,+8）

【分析】先利用反比例函数的单调性得到y一在（-8,-〃）与（-。，”）上单调递减，再利用参数分离法得

x+a

至|]〃彳）=。+匕且，从而得到关于。的不等式组，解之即可.

x+a

【详解】因为y=—匚在（9,-。）与（-。，”）上单调递减，

x+a

而/（x）=竺担=a+匕土在（2,+◎上单调递增，

x+ax+a

所以<0,解得或。>1,

-a<2

所以。的取值范围是（1,+8）.

故答案为：［-2,-1）J（l,+8）

考点二、根据函数解析式判断函数单调性

☆典例引领

1.（2023・北京・统考高考真题）下列函数中，在区间（。,口）上单调递增的是（）

A.f（x）=-ln尤B./（x）=L

2

C./«=--D./（X）=3M

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=inx在（0,+8）上单调递增，y=-x在（0,+巧上单调递减，

所以“x）=-lnx在（0,+8）上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2,在（0,+。）上单调递增，y=（在（0,+e）上单调递减，

所以/（x）=g在（0,+e）上单调递减，故B错误；

对于c,因为>=:在（0,+8）上单调递减，丁=-%在（0,+8）上单调递减，

所以〃无）=-工在（0,+8）上单调递增，故C正确；

X

对于D,因为/（£|=3曰=3；=有，/⑴=3卜"=3°=1,〃2）=3研=3,

显然〃x）=3月在（0,+“）上不单调，D错误.

故选：C.

2.（2021・全国•高考真题）下列函数中是增函数的为（）

A.=fB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.f(x)=也

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,〃x)=f为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,〃尤)=[|)为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/卜)=＞在(-=0)为减函数,不合题意，舍.

对于D,〃力=a为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

即时检测

1.(2023・浙江・统考二模)下列函数在区间(0,2)上单调递增的是()

21

A.)=(%—2)2B.y=--

x—2

C.y=sin(x-2)D.y=cos(x-2)

【答案】D

【分析】对于BCD,根据各个选项观察均是AM向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可

以判断平移后的单调区间，进而判断(。，2)上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.

【详解】对于A选项：y=(x-2)2开口向上，对称轴x=2,所以在(一叫2)上单调递减，故不符合题意.

对于B选项：＞=」=是丫=」向右平移了两个单位长度，所以在在(一j2)上单调递减，故不符合题意.

对于C选项：＞=sin-2)是y=sin%向右平移了两个单位长度，

所以y=sin(x-2)在(-弓+2,-1+2)上单调递减，在(一]+25+2)上单调递增，

因为。〈-£+2＜2,所以不符合题意.

对于D选项：y=cos(x-2)是＞=8$》向右平移了两个单位长度，

所以丫=0»(彳-2)在(-无+2,2)上单调递增，则在(0,2)上单调递增，符合题意.

故选D.

2.(2023•北京海淀•校考三模)下列函数中，在区间(-8,0)上是减函数的是()

A.J=X3B.y=c.y=logj-x)D.y=/

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.

【详解】对于A：y=x3在定义域R上单调递增，故A错误；

对于B：、=[3],=2”在定义域口上单调递增，故B错误；

对于C：丫二垢8/一月定义域为口才⑼，因为y=-%在（-8,0）上单调递减且值域为（0,+8）,

2

又y=i°g：在定义域上单调递减，所以〉=蜒¥川在（_8,0）上单调递增，故c错误；

对于D：y=函数在（-8,0）上单调递减，故D正确；

故选：D

3.（2023•吉林・统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（）

A.＞=%B.y=tanxC.y=1D.y=

【答案】A

【分析】根据幕函数单调性即可判断出A正确，C错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD错误.

【详解】由塞函数性质可知，〉=1=石定义域为[0,+8）,且在定义域内单调递增；即A正确；

、=：=/在其定义域（0,+s）,（-.0）上分别单调递减，即C错误；

由正切函数图像可知，＞=tan尤为周期函数，在定义域内不是单调递增，B错误；

由指数函数性质可知，＞=在xeR上为单调递减，所以D错误.

故选：A

考点三、根据函数单调性解不等式

典例引领

1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃—log2（x+2）,若加一2）＞3,则。的取值范围是

【答案】（0,1）

【分析】利用函数的单调性解不等式.

【详解】解：因为＞=&）在R上递减，y=logz（x+2）在（-2,+8）上递增，

所以/'（尤）=—log]（x+2）在定义域（一2,十8）上是减函数，且/（—1）=3,

由加-2）＞3,得加一2）切一1）,

\a-2<-\

|—2>—2

解得0<a<l.

故答案为：(0,1)

Inx,x>1

2.(2023•黑龙江大庆•铁人中学校考二模)已知函数〃X)=0,0Wx<l,若/(2a—l)—140,则实数。的取

x,x<0

值范围是()

B.’应一5口[°，-_

A.屋e+1,+8j)

e+1(e+1

D.

12J

【答案】D

【分析】讨论2。一1与0、1的大小关系，写出了(24-1)的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.

【详解】因为/(2。一l)-lV0n/(2a—1”n.

①当2“一121时，/(2a-l)=ln(2fl-l)<l^l<a<—.

②当042。-1<1时，/(2a-l)=0<l^1<a<l.

③当2a—1<0时，/(2。-1)=2。一

综上所述：〃工e詈+1,

故选：D.

/即时检测

1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/⑴是定义在区间[0,+◎上的函数,且在该区间上单调递增，则满

足了(2xT)</]1的x的取值范围是()

a-Q,t]b-[?t)c-Q4)。

【答案】D

【分析】由已知有0W2x—l<g,即可求取值范围.

【详解】因为函数/⑺是定义在区间[0,+8)上的增函数，满足/(2x-l)</(

112

所以。4—角笔得—<x<—.

323

故选：D

Q~X尤<(J

2.(2023春•山西太原•高二太原五中校考阶段练习)已知函数〃x)=2'；八，若

[—X-2x+l,x>0

则实数。的取值范围是()

A.(一/B.紧)C.1D.加

【答案】A

【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可.

【详解】函数/(力=6一三(，)，在(—,0]上为减函数，

函数y=-%2-2x+l的图像开口向下，对称轴为x=-l,

所以函数〃切=-尤2-2尤+1在区间(0,+巧上为减函数，

Me-0^-02-2x0+1.

所以函数“X)在(YO,«»)上为减函数.

由。)得a-lW-a.解得

故选:A.

考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系

典例引领

■■■■■■■■■■■

25

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(0=2-工一4\a=0.3^,fo=log0250.3,c=log032.5,则()

A./(^)</(«)</(c)

B./(c)</(/j)</(a)

C./(c)</(a)</(Z?)

D./(a)</(^)</(c)

【答案】D

【分析】由函数解析式可知/(x)是R上的减函数，可得出0.3«”>1,0<log0250.3<l,log032.5<0,然后即可

得出“，b,c的大小关系，进而得出〃a),以〉,/(c)的大小关系.

【详解】解：y=2-'是&上的减函数，>=-4、是R上的减函数，

"(x)=2f-4,是R上的减函数,

-025

O.3->0.3°=1,0=log0251<log0250.3<log0250.25=1,log032.5<log031=0,

:.a>b>c,

.-./(«)</(/?)</(c).

故选：D.

2.（2023・全国,高三专题练习）已知函数y=在［。,+8）上单调递增，记”/1J,b=/（log后2）,

c=f（2）,则6,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

【答案】C

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得［；［"』og"2,2的大小，再利用y

II的单调性可得答案

【详解】因为y=是单调递减函数，所以

因为y=logg_r是单调递增函数，

所以1=log有正<log有2<log由（君）=2,

所以出log有2<2

又函数y=/（x）在［0,+8）上单调递增，所以c>b>a,

故选：C.

【点睛】比较大小的方法有：

（1）根据单调性比较大小；

（2）作差法比较大小；

（3）作商法比较大小；

（4）中间量法比较大小.

即时检测

1.（2021•江苏淮安•统考二模）已知函数/⑴/言，设a=/（4°）b=/（（括r）,C=/（25°2）,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】由解析式可判断了⑺的定义域及其对应的单调区间，利用有理数指数幕的性质判断(括)3,25叱4°4

的大小关系，根据f(x)的区间单调性判断函数值的大小.

【详解】(W=5°-7\250-2=50-4,

0(</5)3>250,2>40-4>1,

2

由函数解析式知：(%—1)(%+1)>0,即兀6(—8,—1)。(1,+8),又/(九)=ln(l——；)在(1,+8)上单调递增，

团b>c>a.

故选：C.

2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数=a=log23,b=log34,c=log58,贝ij()

A.f(a)<f(c)<f(b)B.f(a)</(Z?)</(c)

C./(c)</(6z)</(Z?)D.f(c)<f(b)<f(a)

【答案】A

3

【分析】由对数运算性质，借助中间量:得匕<c<a,进而在结合函数的单调性比较大小即可.

2

【详解】解：由就>0得(2—x)(3+x)>0,解得—3<x<2,

所以，函数〃x)=In就的定义域为(—3,2),

5-(x+3)

因为〃x)=lnM=In=In5-1

3+xx+3

由于函数r=j-l在(-3,2)上单调递减，函数y=lnt在定义域上单调递增，

所以，根据复合函数的单调性得"X)=In旨在(-3,2)上单调递减，

因为6=k>g34=log2764=J^,c=log58=log2564=^^,Ig27>lg25>l,

lg27lg25

所以6<c,

3-Q3

2

|3>gc--=log58-log55=log5法<w=。所以。

3-33

2

因为〃-务=log23—log22=log2>log21=0所以

所以，log33=l<b<c<a<log24=2,

所以，由函数单调递减的性质得</(6).

故选：A

考点五、根据函数的奇偶性求参数值

■典■■例■■■引■■■领■■

1.（2023•全国•统考高考真题）若/⑺=（尤+a）ln7君Y-为1偶函数，贝巾=（）.

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为八处为偶函数，贝U/（I）=/（-I）,（1+«）In1=（-1+a）In3,解得a=0,

当a=0时，=（2x-l）（2x+l）＞0,解得x＞上或尤＜一；，

2x+122

则其定义域为［x|x?或关于原点对称.

/（T）==/（x）,

故此时了（无）为偶函数.

故选：B.

2.（2023•全国•统考高考真题）已知了（乃=/—是偶函数，则"=（）

e—1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为/（力=」^为偶函数，则"尤）_八一）=-^_0/=止

e-1J\/J1㊀"一1e一如一］e⑪一1

又因为X不恒为0,可得e—e（i）x=0,即e，=e（"-小，

则无=（a—1）%,BP1=a—l,解得〃=2.

故选：D.

3.（2023•全国•统考高考真题）若〃无）=（x-l）2+ax+sin（x+Tj为偶函数，贝巾=

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到=从而求得a=2,再检验即可得解.

【详解】因为＞=/（尤）=（x-l『+ax+sinx+曰=（x-l『+ax+cosx为偶函数，定义域为R,

则兀＜2=[5+1)—[5―I=2兀，故a=2,

止匕时/(x)=(x-l)2+2x+COSX=X2+1+COSX,

所以/(-X)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定义域为R,故/(%)为偶函数，

所以。=2.

故答案为：2.

4.（2022•全国•统考高考真题）若=+----1■匕是奇函数，则。=_____，b=______

1—x

【答案】-；；In2.

【分析】根据奇函数的定义即可求出.

【详解】［方法一］：奇函数定义域的对称性

若。=0,则〃幻的定义域为不关于原点对称

若奇函数的/（%）=历1。+J-I+。有意义，贝1J%W1且。+J-WO

1一41-x

「.XW1且"1+L

a

「函数/（X）为奇函数，定义域关于原点对称，

1H■—=-1,解得〃=一二

a2

由/（。）=。得，*+8=0,

:.b=ln2,

故答案为：-;；ln2.

［方法二］:函数的奇偶性求参

，/、71I77一奴+L7Iax-a-X7

/（x）=lna-\----\+b=ln\--------\+b7=ln\---------Fb

1-x1-x1-x

、jax+a+l7

/(-x)=ln------+b

1+x

函数〃%)为奇函数

//、//、7ax-a-l,ax+a+l八

/(x)+f(-x)=In--------\}+ln\[----------b2b=0

1-x\+x

,J〃2%2_(Q+])2

..In--------------F2/7=0

—=^fl+lr^>2a+l=0^fl=--

112

—2b=In—=—2ln2=>b=ln2

4

17c

a=——,7b=Ini

2

［方法三］:

因为函数/(x)=lna+J—+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

1-X

由a+J—/0可得，(l-x)(a+l-or)^0,所以工=3=-1,解得:。=-3，即函数的定义域为

1-xa2

(^-l)u(-l,l)u(l,^>),再由〃0)=0可得，b=］n2.即〃x)=ln-；+；+ln2=ln手，在定义域

/LX1,X

内满足/(T)=-〃X),符合题意.

故答案为：-万；In2.

*即时检测

___

I.(2023・湖南•校联考模拟预测)已知/(元)=(x-2)(x+a)是偶函数，贝巾=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【分析】方法一：由偶函数的性质/(x)=/(-x),即可求得。的值；方法二：由偶函数图像关于y轴对称，求

出二次函数对称轴，列出方程求解即可.

【详解】方法一：因为〃x)=f+(a—2)龙—2a,

所1以/(_x)—£__2)x_2a,

由f(—x)—f(x),彳导%2—(Q—2)%—2a—九2+(〃一2)%—2a,

解得a=2；

方法二：/(x)=x2+(tz-2)x-2<7,

因为/(尤)是偶函数，

所以fM图像关于直线x=0对称,

所以一三二°'解得”=2'

故选：D.

2.（2023•广东佛山•华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知函数〃力=右（4>0）为偶函数，则

/（2）的值为.

2

【答案】j/0.4

【分析】根据偶函数的定义即可求解解析式，代入即可求解.

【详解】.函数〃力=工一（4>0）是偶函数，

2+1

・心=®."2)=亘=2

,()2、+l')2?+l5

2X+12X+1a

故答案为：!2

3.（2023•湖北黄冈•滴水县第一中学校考模拟预测）已知函数〃x）=号望为偶函数，则”

【答案】1

【分析】根据偶函数的性质〃r）=/（x）即可得到（“-1乂4*-1）=0对VxeR均成立，从而求出参数的值.

【详解】由题设，〃_尤）=1^=2，（47+4=/（尤）=今当，

所以4，（4-工+力=4工+a,得1+夕4'=4，+。，得（。一1）（4'-1）=。对,€11均成立.

所以a—1=0,解得a=l.

经检验，。=1满足要求.

故答案为：1

4.（2。23・河北・校联考一模）若函数=的图象关于原点对称,则实数”的值为

【答案】-2

【分析】根据奇函数的性质根据/（-x）=-/（x），即可求解.

“、“、口”.4-mx,4+mx,4+mx4-2%-,,,„,

【详解】依题意，ATM即lnw=ln,‘所以不丁匚前'解倚吁±2,当加=2时,

/(x)=ln|5||.定义域卜|尤*2}不关于原点对称，故舍去，

当m=-2时，/(x)=ln1±||,定义域为何-2<x<2},符合要求，故加=-2,

故答案为：-2

考点六、抽象函数奇偶性的综合应用

典例引领

^4■■■■■■■■■■■

1.(2023•全国•统考高考真题)(多选)已知函数外力的定义域为R,/(xy)=//(x)+x7(y),则().

A."0)=0B./(1)=0

C.〃x)是偶函数D.尤=0为了⑺的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例/(x)=0即可排除选项

D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(%)='进行判断即可.

[0,x=0

【详解】方法一：

因为/(孙)=//(%)+X2/(J),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y==/(x)+x2/(-l)=/(尤)，

又函数/(X)的定义域为R,所以“X)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令了。)=0,显然符合题设条件，此时Ax)无极值，故D错误.

方法二：

因为f(xy)=y2f(x)+尤干(y),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令元=y=-l,/(I)=/(-I)+/(-I)=2/(-1),则/(_l)=0,

令y==/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函数的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，

对于D,当一好力。时，对/(冲)=y2/(x)+x"(y)两边同时除以得到号?=’，+；£，

当x>0月寸，f(x)=x2In%,则/''(%)=Zxlnx+f.J_=；v(21nx+1),

x

令r(%)<。，得0℃彳；4/^x)>0,得》>N；

故/(x)在1o,e2上单调递减，在e2,+GO上单调递增，

(」、(

因为/(X)为偶函数，所以f(x)在-e-5,0上单调递增，在-8,e-a上单调递减,

V)<)

显然，此时x=0是/(无)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

2.(2021.全国•统考高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数“X)：

①“不巧)=/&)F(W)；②当xe(0,+oo)时,f\x)>0；③/'(x)是奇函数.

【答案】〃x)=Y(答案不唯一，”x)=/(〃eN*)均满足)

【分析】根据幕函数的性质可得所求的/(x).

【详解】取/(0=/,贝I"中2)=(中2)4=%：工；，满足①，

r(x)=4x3,尤>0时有^^)>。，满足②，

-(X)=4d的定义域为R,

又/X)=TX3=—『'(X),故((无)是奇函数，满足③.

故答案为：/(%)=/(答案不唯一，〃尤)=/(〃eN*)均满足)

即时检测

1.(2023・云南•校联考模拟预测)(多选)已知〃力，g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数，则()

A.y=〃x)"(—x)为偶函数

B.y=g(x)+g(—x)为奇函数

c.若g(元)为奇函数，/(〈为偶函数,则y=〃g(x))为奇函数

D.若“X)为奇函数，g(x)为偶函数,则y=/(x)-g(x)为非奇非偶函数

【答案】AD

【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.

【详解】选项A：

因为f(x)是定义在R上的函数，所以〃(力的定义域为R,

/2(-X)=/(-%)-/(x)=/z(x),所以网力为偶函数，故A正确；

选项B：

r(x)=g(x)+g(-x),

因为g(x)是定义在R上的函数，所以f(x)的定义域为R,/(-x)=g(-x)+g⑺=r(x),所以f(x)为偶函数,

故B错误；

选项C：

设〃z(x)=/(g(x)),

因为/(X),g(x)都是定义在R上的函数，所以加(X)的定义域为R,

因为g(x)为奇函数，"X)为偶函数，所以制-x)=〃g(-x))=y(—g(x))=〃g(x))="2(x),

所以〃7(X)为偶函数，故C错误；

选项D：

设”(x)=〃x)-g(x)，

因为〃X)，g(x)都是定义在R上的函数，所以“(X)的定义域为R,

“(X)+"(f)="X)-g(X)+/m)="X)-g(X)-“X)-g⑺=-2g(X),

因为g(x)是不恒为0的函数，

所以"(x)+”(-x)=0不恒成立，所以“(X)不是奇函数，

Z7(X)-M(-X)=/(x)-g(X)-[/(-X)-g(-尤)]=/(尤)一g(x)+f(x)+g(尤)=2/(x),

因为“X)是不恒为0的函数，所以〃(X)=〃(T)不恒成立，

所以“(X)不是偶函数，所以“(X)是非奇非偶函数，故D正确,

故选：AD.

2.(2023・湖南长沙・雅礼中学校考一模)(多选)已知不恒为0的函数/(X),满足Vx,yeR都有

〃x)+"y)=2,宁三].则()

A."0)=0B."0)=1

C.为奇函数D.〃x)为偶函数

【答案】BD

【分析】令x=y=0和y=x,即可判断选项AB；令丁=一%即可判断选项CD.

【详解】令x=y=o,则/(0)+/(0)=2/(0)./(0),回〃0)=0或1.

令…，贝U/")+/(尤)=2/(尤)•〃())，若"0)=0,则〃尤)=0,与"X)不恒为0矛盾，回〃0)=1,0

选项B正确选项A错误；

令》=一%,贝i]/(x)+〃-x)=2〃0)"(x)=2〃x),0/(x)=/,(-x),回〃x)为偶函数，团选项D正确选项C

错误.

故选：BD.

3.(2023•江苏南通•统考模拟预测)(多选)已知偶函数＞=/(无)与奇函数y=g(x)的定义域均为R,且满足

/(x)-g(x+l)=l,g(x)+〃5-尤)=3,则下列关系式一定成立的是()

A./(尤+2)-g(无+3)=1B.f(1)=3

C.g(x)=-g(x+3)D./(x+8)=/(x)

【答案】AD

【分析】根据函数的奇偶性及所给抽象函数的性质，利用尤换为x+2可判断A,利用赋值可判断B,推理得

出g(x)+g(6-x)=2后赋值可判断C,由条件推理可得〃x+4)+〃x)=4,即可判断D.

【详解】由〃x)—g(x+l)=l,将x换为x+2知/(x+2)—g(x+3)=l,故A对；

/(x)-g(x+l)=l,奇函数y=g(x)中g(0)=。，

则〃T)—g(o)=l，，〃T)=1，由y=F(x)为偶函数，..."1)=1，故B错;

"(x)=g(x+l)+l，；"(5-x)=g(6-x)+l,

又g(x)+〃5-x)=3,.•.g(x)+g(6-x)+l=3,

；.g(x)+g(6-x)=2,g(3)=1,g(0)=0,g(0)-g(3),故C错,

.•f(x)-g(x+l)=l,则/(x-l)-g(x)=l,即=

g(x)+/(5-x)=3,/./(x-l)-l+/(5-x)=3,

.-./(x-l)+/(5-x)=4,即/(x)+/(4-x)=4,

为偶函数，.•"(T)+〃-x+4)=4,

.•"(x+4)+/(x)=4①，二/(x+8)+/(x+4)=4②

由①②知f(x+8)=〃x),故D对.

故选：AD.

4.(2023・云南昆明•云南省昆明市第十中学校考模拟预测)(多选)定义在R上的函数/⑺满足

了(尤+y)=f(x)+f(y),当x<o时，〃尤)>0,则函数/a)满足()

A./(0)=0B.y=/(x)是奇函数

C./(X)在［山,网上有最大值fgD./(尤T)>0的解集为

【答案】AB

【分析】由抽象函数满足f(x+y)=/(尤)+/"),令x=y=o可得A。)，利用奇偶性，单调性的定义可推导

函数的奇偶性和单调性，可