2024-2025学年上海市某中学高一数学（上）10月考试卷（附答案解析）

2024-2025学年上海市复兴中学高一数学（上）10月考试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.若。>6,C<Q,则下列不等式成立的是（）

,,«b,,

A.ac>beB.—>—C.a+c<b+cD.a>b-c

cc

2.已知全集，集合/={x|x（x+2）<0},B={x\\x\£1},则如图所示的阴影部分表示的集合是（）

A.(-2,1)B.[-1,0)0[1,2)

C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]

3.方程1+2"-a=0在区间（0/）和（1,2）各有一个根的充要条件是（）

A.aeB,

Cae1—§,（）］D.2,—1）

4.已知a,b,ceR,若关于x不等式OWxH--------------1的解集为［石,方］<->{演}（七>》2>否>0），

xx-

则（）

A.不存在有序数组（a,8c）,使得％-七=1

B.存在唯一有序数组伍,”c）,使得马-西=1

C有且只有两组有序数组伍,”c）,使得々-玉=1

D.存在无穷多组有序数组（a,仇c）,使得％-X=1

二、填空题：本题共10小题，共42分.

5已知集合0=11,^={x||2x-l|<l},则］=

6.已知集合/={1,一加},8加2},且/=3，则加的值为.

7.若46{-1,。,4一2。一4},则实数。=.

8.命题“a,6e&,若|a-l|+|Z)-l|=O,贝Ua=6=1”用反证法证明时应假设为.

9.若集合2=何泼—3》+1=0}的子集只有两个，则实数a=.

10.设命题p：集合/={x|—2W0},命题小集合8={x|2a+lVx<l—a},若pnq,则实数a

的取值范围是

11.设花、%是方程k+x—3=0的两个实数根，则X；-%+2020=

12.设关于x的方程|x—2|+|2x—3|=|ax+"(a,beR)解集为跖关于x的不等式(x—2)(2x—3)之0

的解集为N,若集合M=N,则“./>=.

e

13.集合/={%,电，…，见卜任取J(左A,aj+akeA,at+ak©4这三个式子中至

少有一个成立，则"的最大值为.

1,1

14.设aeR,机eZ,若存在唯一的仅使得关于x的不等式组一x2—-<加<x+a有解，则a的取值范

22

围是.

三、解答题：本题共4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知集合2={%卜一2|<a},集合5=<x：

(1)若Q=2,求ZU5；

(2)若=求实数Q的取值范围.

11

16.⑴当X>1时，求证：9XH——>x-\—;

XX

22

⑵已知xGR,a=x-x+1,6二4-X9C=X-2X.试证明。，仇。至少有一个不小于1.

17.已知关于X的不等式(左2—41—5产+(左+1)》+1〉0(丘2的解集为.

(1)若左=1,求x的取值范围；

(2)若M=R,求实数人的取值范围；

(3)是否存在实数上，满足：“对于任意正整数力都有〃eM；对于任意负整数加，都有加任屈”，若

存在，求出后的值，若不存在，说明理由.

2

kk

18.记&生=ai+a2+-”+4，Ipr=/仓以2以存在正整数〃，且“22.若集合/=佃,々，…，％}

片1t=\

满足旨生二亩’,则称集合/为“谐调集

片1/=1

（1）分别判断集合£={1,2}、集合/={-1,0,1}是否为“谐调集”;

（2）已知实数x、力若集合*/}为“谐调集”，是否存在实数z满足z2=xy,并且使得{x,y,z}为“谐

调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z,若不存在，请说明理由；

（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合

2024-2025学年复兴中学高一数学（上）10月考试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.若C<°,则下列不等式成立的是（）

ab7

A.ac9>be91B.—>—C.a+c<bT+cD.a>b—c

cc

【答案】A

根据不等式的性质求解

【详解】对于A.02〉0,a>b,贝成立

-1,ab

对于B.—<0,a>b,—<一；

CCC

对于C.a>b,a+c>b+c；

对于D.若a=l,b=0,c=-2,则不成立

故选A.

2.已知全集，集合4={X|X（X+2）<0},B={X\\X\£1},则如图所示的阴影部分表示的集合是（）

3

A.(-2,1)B.1,0)31，2)

C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]

【答案】C

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再解绝对值不等式求出集合阴影部分表示的集合为

。〃（/口瓦），根据交集、并集、补集的定义计算可得;

【详解】解：由x(x+2)<0,解得—2<x<0,所以/={x|x(x+2)<0}={x|-2<x<。},

又5={x||x区1}={X|—所以NU3=(—2,1],/n8=[—1,0),

所以阴影部分表示的集合为（ZA8）=（―2,—1）U[0,1],

故选：C.

3.方程1+2办-a=0在区间（0/）和。,2）各有一个根的充要条件是（）

A.ae(-oo,-l)B.«e-T

C.ae-?0D.ae(-2,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】令/（力=炉+2以-a,利用零点存在性定理，建立参数a所满足的不等式，解不等式，即得

参数的取值范围.

【详解】因为一元二次方程一+2狈-a=0在区间（0/）和。,2）各有一个根,

/(0)=-«>0a<0

4

令/(%)=X2+2ax—a,则由题意可得<f(1)=1+2a-a<0,即<Q<—1,解得一一＜加＜一1,

3

/(2)=4+4a-a>04

a>——

3

则方程/+2"—a=0在区间（0,1）和2）各有一个根的充要条件是ae

故选：B.

4

4.已知a,b,CGR,若关于x不等式3+—1的解集为[X],X2]u｛x3｝（X3＞々＞西＞0），

xx-

则（）

A.不存在有序数组｛a,b,c）,使得%-％=1

B.存在唯一有序数组伍,”c）,使得％-西=1

C.有且只有两组有序数组伍,”c）,使得西=1

D,存在无穷多组有序数组伍,”c）,使得马-芭=1

【答案】D

【解析】

【分析】根据西＞0,不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的

结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论.

【详解】由题意不等式owf+bx+a＜c-x的解集为＞%＞占＞0），

X2++tz>0

即＜的解集是[4/卜卜｝

X+bx+a<c-x

则不等式/+/?%+a20的解是｛x|xV%或1之工3｝，不等式Y+Z?x+tz＜c-x的解集是

{x\xx<x<x3},

设占二加，x2=m+l,x3=n(m+l<n),

所以=0,n=c,

加+1和〃是方程+分工+Q=o的两根，

则一人=加+1+〃=加+c+l,a=(m+V)n=mc+c,

Xm2+bm+a=m2+m(-m—c-V)+mc+c-c—m,

所以加是+Q=c—x的一根，

所以存在无数对(a,8c),使得、2-芯=1.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而

结合一元二次方程根与系数关系得出结论.

5

二、填空题：本题共10小题，共42分.

5.已知集合0=11,^={x||2x-l|<l},则7=

【答案】(-8,0]U[l,+8)

【解析】

【分析】先解不等式，对集合/进行化简，再求出集合力的补集.

【详解】|2x—1|<1即—l<2x—1<1解得0<x<l,

故Z={x[0<x<1},

又。=R,

所以Z=(-00,0]U[1,+8).

故答案为：(-℃,0]U[l,+oo)

6.已知集合/={1,一加},3加"，且/=5，则加的值为.

【答案】0

【解析】

【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求加的值即可.

【详解】解：因为/={1,一冽},B={l,m2},A=B，

-m=m2

所以<-m1,解得加=0,

加2w-1

故答案为：0

【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.

7.若46{-1,。,"一2。一4},则实数。=.

【答案】—2

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证.

【详解】当。=4时，a2-2a-4=4,不满足元素的互异性，舍去.

当。2一2。一4=4时，解得。=一2或4,

6

当a=4时，不符合题意，

当a=—2时，集合为{-1厂2,4},符合题意，

所以a=—2.

故答案为：-2.

8.命题若|a-l|+|Z5-l|=0,则a=6=1”用反证法证明时应假设为.

【答案】awl,或3Hl.

【解析】

【详解】分析：利用a=6=l的否定为不都等于1,从而可得结果.

详解：考虑a=6=l的否定，由于都等于1,故否定为a,b不都等于1,故答案为awl或bwl.

点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的

命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；

（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少.

9.若集合Z=卜|a/-3x+1=0}的子集只有两个，则实数a=.

9

【答案】0或二

4

【解析】

【分析】根据题意知道4有一个元素，然后讨论。是否为0,然后得出。的值即可.

【详解】•・•/的子集只有两个，「.Z有一个元素，

①Q=0时，A-,满足题意；

9

②awO时，A=9—4。=0,解得a=一,

4

…9

.•.4=0或一•

4

9

故答案为：0或二.

4

10.设命题夕：集合/={x|—2W0},命题g集合5={x|2a+lVxVl—力，若P=q,则实数a

的取值范围是

3

【答案】a<--

2

【解析】

7

【分析】根据题意，由条件可得命题〃是命题g的充分条件，列出不等式，即可得到结果.

2a+1V—23

【详解】因为夕nq,则命题?是命题9的充分条件，贝1J]_Q〉0，解得5,即实数Q的取值

3

范围是。《—.

2

3

故答案为：a<--

2

n.设占、%是方程必+x-3=0的两个实数根，则X；-%+2020=

【答案】2024

【解析】

【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出国+%，再将X；-%+2020转化后求出.

【详解】；Xi，%是方程—+x-3=0的两个根，

%1+x2=-1,X[X2=-3,

又X：+须_3=0,

>>X]—3—X],

X：-x2+2020=3-Xj-x2+2020=2023-(石+x2)=2024

故答案为：2024

12.设关于x的方程|》一2|+|2十一3|=|"+"(。]€"解集为跖关于x的不等式(x—2)(2x—3)之0

的解集为N,若集合M=N,则.

【答案】-15

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.

【详解】由(x—2)(2x—3)N0nx22或xwl.5,所以M=N={x|x22或x<1.5},

当x22时，由|、一2|+|2、一3|二|办+力|,可得|ax+Z?|=x—2+2x—3=3x—5,

当xW1.5时，由|工一2|+12x-3|=|ax+Z?|,可得|ax+力|=-x+2-2x+3=-3x+5,

因此有13%-51=|ax+b\,

当Q=3,Z?=—5时，=3x(-5)=—15；

8

当a=-3,b=5时，Q.6=-3X5=-15,

故答案为：-15

13.集合/={%,%，…，4}，任取1<Z,〈/<左三〃，生+叫64%+为€4q+殁e/,这三个式子中至

少有一个成立，则〃的最大值为.

【答案】7

【解析】

【分析】假设丹〉。2〉一〉。"且集合人有4个正项{%,。2，。3，。4}，结合已知条件得到矛盾，即可确定

集合A中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定〃的最大值.

【详解】不妨假设为>a2〉—>%,若集合A中的正数个数大于等于4,故4,。2，。3，。4为正项，

则4+。3和a2+%均大于。2,于是有。2+。3=。2+。4=%,从而％=。4,矛盾!

所以集合A中至多有3个正数，同理集合A中最多有3个负数，取/={-3,-2,-1,0,1,2,3},满足题意，

所以〃的最大值为7.

故答案为：7

14.设aeR,meZ,若存在唯一的根使得关于x的不等式组一/一一〈加<》+。有解，则°的取值范

22

围是.

【答案】（-1,1-

【解析】

【分析】根据给定条件，确定加的最小值，再由函数不等式有解得当冽=0时不等式组有解，当加=1时

不等式组无解，求出a的范围作答.

1,111911

【详解】依题意，一x~—2—，由不等式一x—</〃有解知，Tn>—，而加eZ,因此加eN,

222222

因存在唯一的加使得关于x的不等式组工Y-4（加<%+。有解，

22

则当且仅当加=0时，不等式组工1_2.<0<》+4有解，且当加=1时不等式组工必一,<i<x+a无

2222

解，

1,1[-1<x<1

由一x—<0<x+a有解得《有解，于是得—a<l,解得a>—1,

22[x>-a

9

1,1,—>/3<X<>/3r-1-

由彳x-彳<l<x+a无解得《无解，于是得1一。2百，解得。<1一百，因此

22[x>1-<7

-1<a<1--\/3>

所以。的取值范围是(-1,1-G].

故答案为：(—1,1—6]

【点睛】结论点睛：函数y=/")的定义区间为。，若上e£>,使得加</(X)成立，则加</(X)max；

若*C£),使得加>/(X)成立，则〃?〉/(X)min.

三、解答题：本题共4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知集合/=卜卜一2|<。},集合3=<xI2<1>,

(1)若Q=2,求ZljB；

(2)若=求实数。的取值范围.

【答案】(1){x|-2<x<4}

⑵(一0°川

【解析】

【分析】(1)当a=2时，化简集合/,集合3,再根据集合的并集运算可得解；

(2)2口8=2即抓住集合/是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.

【小问1详解】

若a=2,由W一2|<2,解得0<x<4,则2={》[0<》<4},

2Y_1y_a

又-----<1,即——<0等价于(x+2)(x—3)<0,解得—2<x<3,

x+2x+2

则B-|x|-2<x<3},

AB=1x|-2<x<4}.

【小问2详解】

由等价于4=3,

10

当时，集合/=0,符合4=5；

当。〉0时，由,一2|<。，解得2—Q<X<2+Q,

即/={x|2-a<x<2+a},又5={1卜2Vx<3},

2-(2>-2

，解得0<QW1,

2+。<3

综上，实数a的取值范围是（-8,1].

11

16.⑴当X〉1时，求证：X9H——>x-\—;

XX

22

⑵已知xGR,a-x-x+\,b=4-x9c=x-2x.试证明。至少有一个不小于1.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：

22

,021z1x（X—I）（X+X+1）

⑴由/+_（X+:3——-------------!，

XXX

当X〉1时，可得（％-1）2>0,%2>0,工2+%+[>0,即可证明结论;

⑵可用反证法：假设名”。都小于1,即。<1力<1,。<1,可得Q+6+C<3,

进而。+6+。=2（1-1>+323,即可得到矛盾，即可作出证明.

试题解析:

2

a)x2+4-fx+-l(x-l)(X?+X+1)

XIX)

*.*x>1(x-1)2>0,%2>0,x2+x+1>0

11

.•X2H....->XH---

XX

⑵假设a,b,C都小于1,即av1,6<l,c<1

则有Q+6+C<3①

而a+6+c=2x?-4x+5=2(x-1)+323②

①与②矛盾

故a,b,c至少有一个不小于1.

11

17.已知关于X的不等式（左2—4左—5产+（左+i）x+i〉o（丘R）的解集为.

（1）若左=1,求x的取值范围；

（2）若/=R,求实数人的取值范围；

（3）是否存在实数左，满足：“对于任意正整数小都有〃eM；对于任意负整数机，都有加eM"，若

存在，求出后的值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）三,

42

（2）（-oo,-l]U（7,+oo）

（3）存在，k=5

【解析】

【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果.

（2）讨论二次项系数产-2k-3=0及不为0时，求出原不等式的解集为R时上的取值范围.

（3）根据题意得出解集M,讨论产-4k-5的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可.

【小问1详解】

当左=1时，不等式为-8,+2x+l>0,即（4x+l）（2x—1）<0,解得一a<x<5，

即x的取值范围为<x――<x<—>.

42

【小问2详解】

当严一4左一5=0时,解得k=5,或左=一1,

①当人=—1时，不等式化为1>0,.•"=—：（时，解集为R；

②当左=5时，不等式化为6x+l>0,对任意实数x不等式不成立；

左~一4左一5〉0]后e（—OO,-1）D（5,+OO）

③当/、2小\时，可得，1rt

A=（k+1）—4化~—4左一5）<0左e（―8,—l）u（7,+oo）

则左的取值范围为左e（-叫T）U（7,+co）；

综上所述，实数4的取值范围为（-叫-l]U（7,+s）.

【小问3详解】

根据题意，得出解集M=（f,+oo）,Ze[-1,1）

12

当左2—4左一5二0时，解得左=5,或左=一1,

左=5时，不等式的解集为满足条件，

左=-1时，1>0恒成立，不满足条件，

当左2—4左—5〉0时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是&+。）的形式，不满足条件，

当左2—4左—5<0时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是”,+。）的形式，不满足条件，

综上，存在满足条件上的值为5.

kk

18.记占生=%+。2+=/仓也%存在正整数〃，且〃22.若集合/=｛%,。2,…，4｝

Et=\

满足5为=宙，则称集合/为“谐调集”.

片1t=\

（1）分别判断集合E=｛1,2｝、集合厂=｛—1,0,1｝是否为“谐调集”；

（2）已知实数X、乃若集合｛》/｝为“谐调集”，是否存在实数z满足z2=xy,并且使得｛x,、z｝为“谐

调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z,若不存在，请说明理由；

（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合

【答案】（1）E不是，F是

（2）不存在，理由见解析

（3）｛1,2,3）

【解析】

【分析】（1）根据新定义计算即可判断；

（2）若存在符合题意的实数z,根据题意可得x，N，z的关系式，求解