2024-2025学年人教版九年级数学下册专项练习：解直角三角形的实际应用（30题）（原卷版）

专题第01讲解直角三角形的实际应用

1.（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面支架CD与。4交于点A,

支架CGJ_CZ）交OA于点G,支架QE平行地面。8,篮筐EF与支架。E在同一直线上，。4=2.5米，

4。=0.8米./AGC=32°.

（1）求NGAC的度数；

（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能

挂上篮网吗？请通过计算说明理由.（参考数据：sin32°心0.53,cos32°心0.85,tan32°心0.62）

图1图2

2.（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射,

成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面。

处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8h〃，仰角为30°；10s后飞

船到达B处，此时测得仰角为45°.

（1）求点A离地面的高度A。；

（2）求飞船从A处到B处的平均速度.（结果精确到0.1m/s,参考数据：日仁1.73）

3.（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启

在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一

个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.

问题设置：把筒车抽象为一个半径为厂的OO.如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当

t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时N49M=30°,经过95秒后该盛水筒运动到点3处.

问题解决：

（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到2处时，的度数；

（2）求该盛水筒旋转至3处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米）（参考数据我73^

1.732）

图①图②

4.（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差.如图所示，她站在自家

阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼的顶端C看到楼A8的底端8,即点E,C,8在同一直

线上.止匕时，测得点8的俯角a=22°,点A的仰角0=16.7°,并测得跖=48m，FD=50m.已知，

EFLFB,CD1.FB,点/，D,8在同一水平直线上.求楼AB与CD的高度差.（参考数据：

sin16.7°^0.29,cosl6.7°^0.96,tanl6.7°g0.30,sin22°仁0.37,cos22°^0.93,tan22°^0.40）

5.（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆

圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24«米的C

处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°,CD长为49.6

米.已知目高CE为1.6米.

（1）求教学楼A3的高度.

（2）若无人机保持现有高度沿平行于C4的方向，以4«米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少

秒时，无人机刚好离开圆圆的视线E8.内飞行方向

6.（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600加高的山峰，由山底A处

先步行300机到达8处，再由8处乘坐登山缆车到达山顶。处.已知点A,B,D,E,F在同一平面内,

山坡的坡角为30°,缆车行驶路线8。与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）.

（1）求登山缆车上升的高度。E；

（2）若步行速度为30加加”，登山缆车的速度为60反血”，求从山底A处到达山顶。处大约需要多少分

钟（结果精确到0.1〃”〃）.

（参考数据：sin53°仁0.80,cos53°仁0.60,tan53°弋1.33）

7.（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图,

BE,CD,GE为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱A”连接（AH垂直于MN,垂足为"），在

B,C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）,£尸是可以调节长度的伸缩臂（旋转点尸处的螺栓改变

EE的长度，使得支架BE绕点A旋转,从而改变四边形ABCQ的形状，以此调节篮板的高度）.已知

=BC,DH=208cm,测得/G4E=60。时，点C离地面的高度为288c机.调节伸缩臂ER将NGAE由

60°调节为54°,判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54。

心0.8,cos54°20.6）

8.（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测

G

量树高，测高仪ABC£＞为正方形，AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤如图是测量树高的示意图，

测高仪上的点D,A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8〃z,到

树EG的距离AF=11机，BH=2Qcm.求树EG的高度（结果精确到0.1M.

9.（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔3在它北偏东31°方向上，继续向东

航行10〃〃〃7e到达C港，此时测得灯塔8在它北偏西61。方向上，求轮船在航行过程中与灯塔8的最短

距离.（结果精确到0.1〃机〃e）（参考数据：sin31°^0.52,cos31°融0.86,tan31°g0.60,sin61°"0.87,

cos61°"0.48,tan61°"1.80).

10.（2020秋•苍梧县期末）如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔尸C,在点A处用测角仪测得塔顶端点P

的仰角是45。，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°.

（1）求/BPC的度数；

（2）求该铁塔PC的高度.（结果精确到0.1米；参考数据：73^1.73,72^1.41）

11.（2022秋•源汇区校级期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了

如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC=18cm,灯

臂CD=31C7W,灯罩。E=24C7W,BC1AB,CD、分别可以绕点C、。上下调节一定的角度.经使用

发现：当/DC8=140°,且ED//AB时，台灯光线最佳.求此时点D到桌面AB的距离.（精确到OAcm,

参考数值：sin50°心0.77,cos50°~0.64,tan50°-1.19）

图1

12.（2023春•巴南区期末）在海平面上有A,B,C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C

的距离是800海里，8在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里.

(1)求点A与点8之间的距离；

(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时

在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向A处的

过程中，最多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计).

13.(2022秋•宁波期末)如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组

成，侧面示意图如图2所示.已知手机托盘长AC=10CHI,侧支撑杆/CBD=75°,ZBDE

=60°,其中点A为手机托盘最高点，支撑点8是AC的中点，手机托盘AC可绕点8转动，侧支撑杆

BD可绕点D转动.

（1）如图2,求手机托盘最高点A离水平底板。E的高度//（精确到0.1c机）.

（2）如图3,当手机托盘AC绕点8逆时针旋转15°后，再将8。绕点。顺时针旋转a,使点C落在水

平底板。E上，求a（精确到0.1°）.（参考数据：tan26.6°«0.5,如-1.41,我-1.73）

14.（2022秋•平昌县校级期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在

北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到8处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内

有暗礁.

参考数据：我Q1.732,sin75°心0.966,cos75°-0.259.

(1)8处离岛C海里.

(2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.

(3)如果渔船在2处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由.

15.(2022秋•平城区校级期末)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度

。点处时，无人机测得操控者A的俯角为75。，测得小区楼房顶端点C处的俯角为45°.己知操控

者A和小区楼房8C之间的距离为45米，无人机的高度为（30+15«）米.（假定点A，B,C,。都在

同一平面内.参考数据：tan75°=2+V§，tanl5°=2-愿.计算结果保留根号）

（1）求此时小区楼房BC的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞

行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？

3

16.（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在一笔直的海岸线/上有A,2两个观测站，A在2的正东方向.有

一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从8处测得渔船在其东北方向，且测得8,

P两点之间的距离为20海里.

（1）求观测站A,8之间的距离（结果保留根号）；

（2）渔船从点尸处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从8测得渔船在北偏

西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点8出发，以每小时20海里的速度前往C处,

请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：V3«1.73）

17.（2022秋•阳泉期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶.她看到汽车尾部自动升起

的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图.图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形A8CZ）

表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为

60°时，箱盖AOE落在AOE的位置的示意图.王红测得AO=90厘米，£）E=30厘米，EC=40厘米.根

据王红提供的信息解答下列问题：

（1）求点。到的距离；

（2）求点E运动的距离.

18.（2022秋•堇B州区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地

面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2机高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若

妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8机和2.4m,ZBOC=90°.

(1)△CEO与△。。8全等吗？请说明理由.

(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？

(3)秋千的起始位置A处与距地面的高是______m.

19.(2022秋•蒙城县期末)北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，

为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF.如图，已知楼顶到地面的距离

GE为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点8正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°,然后向教

学楼方向前行15米到达点。处（楼底部点E与点8,。在一条直线上），在点。正上方点C处测得条幅

底端尸的仰角为42°,若AB,C。均为1.7米（即四边形ABOC为矩形），请你帮助小亮计算：

（1）当小亮站在B处时离教学楼的距离BE；

（2）求条幅GF的长度.

（结果精确到0.1m,参考数据:sin37°-0.60,cos37°触0.80,tan37°-0.75,sin42--0.67,cos42°

20.74,tan42°心0.90)

20.（2022秋•北倍区校级期末）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达2处.某同学在

博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向.（参考数据：sin270y

0.45,cos27°"0.90,tan27°«0.50,遍心2.45.）

（1）请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）

（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道.某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到8处时，

只需沿北偏东15°的8E方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地.请计算博物馆C周围至少多少

米内不能铺设轨道.（结果精确到个位）

21.（2022秋•辽宁期末）“愚公移山”是我国著名寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理.某日，小张穿

越至愚公的年代，碰到了移山的众人.

（1）在运输山石等杂物时，有两条路可行，已知A,8间的直线距离为50里（如图1所示）.

线路1：折线ACD3,已知点C在点A东北方向，点8在点。东偏南53°方向，CD//AB,且C,。间

的距离为30里;

线路2：以为直径的半圆.如果仅从远近考虑，小张应该告知愚公选取哪一条线路使得路程更短？请

你通过计算说明理由.

（2）愚公为了能够更精确地了解所移之山的高度，请求小张帮其测量.如图2所示，已知在山MN

的后方有一座高140米的小山尸。小张站在线段QN上的点E处，EQ=480米，此时小张测得点M的

仰角为60°,随后小张到达小山山顶点尸处测得点〃的仰角为21。，请你帮小张求出山高的值.（结

果保留3位有效数字，以下为参考三角比与数值）sin37°〜旦；sinl6°〜工；sin39°心0.63；

525

72^1.41；73^1.73

图2

22.（2023春•通河县期末）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在4处观测到在它的东北方

向（北偏东45。）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点8处，突然收到渔船的求救信号，此时观

测到渔船C位于点B的北偏东150方向上.

(1)求/AC8的度数；

(2)轮船收到求救信号后，立即沿以每小时4昭海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时

赶到C处？

23.(2022秋•静安区校级期末)某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至为层之间安装电梯,

截面图如图所示，底层与81层平行，层高为9米，A、B间的距离为6米，ZACD=20°.

(1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在8处会不会碰到头？请说明理由.

（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）.已知平台EE〃Z）C,且AE段和FC段的坡度i=l：2,求

平台£尸的长度.

【参考数据：sin20°g0.34,cos20°^0.94,tan20°。0.36】

24.（2022秋•益阳期末）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水

能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3根的筒车。。按逆时针方向每分钟转上圈，筒车与水面分别交于点

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A、B,筒车的轴心。距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒

P刚浮出水面时开始计算时间.

（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒尸距离水面多高？

（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M,M0=8m.求盛水筒尸从最高点开

始，至少经过多长时间恰好在直线上.

（参考数据：cos43°=sin47°2sinl6°=cos74°仁卫＞,sin22°=cos68°^―）

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25.（2023•海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行

20海里到达8处，测得灯塔M位于8的北偏东60°方向上，测得港口C位于8的北偏东45°方向上.已

知港口C在灯塔M的正北方向上.

（1）填空：ZAMB=度，ZBCM=度;

（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；

（3）求港口。与灯塔M的距离（结果保留根号）.

26.（2023・阜新）如图,小颖家所在居民楼高AB为46/77.从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角a是

45°,而大厦底部。的俯角0是37

（1）求两楼之间的距离BD

（2）求大厦的高度CD

（结果精确至U0.1机，参考数据：sin37°-0.60,cos37°g0.80,tan37°g0.75）

27.（2023•盘锦）如图，一人在道路上骑行，8。段是坡路，其余为平路，当他路过43两点时，一架无

人机从空中的C点处测得48两点的俯角分别为30°和45°,AB=40m,BD=2Qm,ZBDF=159°,

点A,B,C,D,E,尸在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长.（结果精确到整数，

参考数据：百-1.73,sin21°-0.36,cos21°七0.93,tan21°心0.38)

28.（2023•济南）图