2024-2025学年宁波某中学高一数学上学期期中考试卷及答案解析

宁波中学2024年度第一学期期中高一数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合"={1"，4,7},N={4,6,7},则wnN=

A.{1,2,4,6,7}B.{1,2,6}

C.{4,7}D.{2,4}

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为河={1,2,4,7},N={4,6,7},

所以〃nN={4,7}.

故选：C.

2.命题“X/〃eN,+〃+2eZ”的否定为（）

A.V/7eN,7?+及+2eZB.V〃任N,7?+及+2eZ

C.BneN,/+及+2ZD.SweN,n2+n+2^Z

【答案】D

【解析】

【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.

【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论,

所以命题"X/“eN,及2+及+2eZ”的否定为三"eN,n2+«+2Z.

故选：D.

3.已知。=3°-2,6=3%C=2°2,则（）

A.b>a>cB.a>b>c

C.b>c>aD.a>ob

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性与幕函数的单调性即可判断得解.

【详解】因为y=3,为单调递增函数，所以3°3〉302,则6>a,

因为y=x02为增函数，所以3°2〉202,则a>c,

综上，b>a>c.

故选：A.

312

4.已知正实数a,6满足a+6=2,则一+一的最小值为（）

ab

27

A.——B.14C.15D.27

2

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因正实数。，6满足a+6=2,

/

312131215+迎+用127

所以一+丁=7（。+，）—+—>—15+2

ab2abab2T

当且仅当乎牛，即若,或时取等号,

31227

所以--H-的最小值为—­.

ab2

故选：A

3x

5.函数/（》）=了的图象大致为（）

【答案】D

【解析】

【分析】先利用奇偶函数的定义判断得/（X）的奇偶性排除AB,再利用指数函数的性质分析得/（X）的正负

情况，从而排除C,由此得解.

【详解】对于/（x）=F，其定义域为R,

e11

—3x3x

又/（-x）=JW=--q=—/（X），则/（X）是奇函数，排除AB,

ee

当x>0时，3x>0,eW=e">0>所以/(x)〉0,排除C,

又选项D的图象满足上述性质，故D正确.

故选：D.

6.设加eR,“加<—!■”是"方程掰2J—（掰+3）%+4=0在区间（2,+co）上有两个不等实根”的（）条

件.

A.充分必要B,充分不必要

C,必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】c

【解析】

【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解.

【详解】当加〈一工时，取加二一3,

2

则方程加2%2—（加+3）%+4=0为9、2+4=0,显然无解，即充分性不成立;

当方程加2/—（加+3）、+4=o在区间（2,+8）上有两个不等实根时，

加w0

2

m>031

——<m<1

A=（加+3『-4x4m2>0:31

则加+3。,同3A—p.A1，则—<加<—

x=­>2——<m<0或0<m<l52

2m2r4

2/J

4m-2（m+3）+4>0m(——或m)1

此时加<-1成立，即必要性成立；

2

所以前者是后者的必要不充分，故C正确.

故选：C.

7.中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：C=PFlog2^l+^,它表示：在受噪音干扰

的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽平、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率

N的大小，其中一叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽平，将信噪比一从2000提升至10000,则C

NN

大约增加了(1g2=0.3010)()

A18%B.21%C.23%D.25%

【答案】B

【解析】

【分析】由已知公式，将信噪比一看作整体，分别取2000,10000求出相应的C值，再利用对数运算性质

N

与换底公式变形即可得解.

<?

【详解】由题意，将信噪比一从2000提升至10000,

N

则最大信息传递速率C从G=吠log2(l+2000)增加至=^log2(l+10000),

10001

所以02-G=函logzlOOOl—沙log22001=1暇而T

G-IFlog22001—log22001

,100011000010

1g-----喧正踵坨51-0.301

2001«0.21=21%-

1g2001lg2000lg2+lgl030.301+3

故选：B.

8.己知函数/(x)为R上的奇函数，当x20时，/(X)=X2-2X,若函数g(x)满足

g(x)=<，且g(/(x))-a=0有8个不同的解，则实数。的取值范围为(

-f(x\x<0

A.a<—1B.-\<a<Q

C.0<。<1D.Q>1

【答案】B

【解析】

【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到/(X)与g(x)的解析式，设f=/(x),作出函数g。)的图

象，数形结合，分类讨论函数a＜-1、-1＜。＜0与。＞0三种情况，得到对应情况下g(y(x))-。=0的

解的个数，从而得解.

【详解】因为函数/(x)为R上的奇函数，当xNO时/。)=乂2—2x,

令x<0,则-X>0,则/■(一x)=V+2x,

又/(x)=-/(-x)=--2x

x2-2x,x>0x2-2x,x>0

所以/(x)=<则g(x)=,

—x~-2x,x<0x2+2x,x<0

设f=/(x),作出函数g(f)的图象,

对于A,当。＜-1时，函数g«)=。没有实数根，不满足题意;

对于B,当一1＜。＜0时，函数8(/)=。有四个根/1，/2，/3，,4,

其中。€(—2,—1),Lejl,。)，4eQl),。€(1，2);

作出/(x)与y=。、y=G、y=，3与了=’4的图象，如图，

显然几个函数恰有8个交点，则g(/(x))-。=0有8个不同的解，故B正确;

对于CD,当a＞0时，函数g(7)=a有两个根乙12，其中4e(-8,-2),t2e(2,+oo),

与选项B同理可知/(x)与了=4、了=右各有一个交点，

则g(/(x))-a=O只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误.

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a,b,。为实数，且a>6>0,则下列不等式正确的是()

11

A.—<-

ab

C.uc>beD.—->-1-

cc

【答案】AD

【解析】

【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可.

【详解】因为Q>b>0,

选项A：———=———<0,所以!<工，故A说法正确;

ababab

1b-a

选项B：----

a-c

、b-an11

当a>b>c或时，7V7~.即----<-----；

^a-c)[b-c)a-cb-c

b-a八11

当时，7——高~~r>0,即——>——,故B说法错误；

[a-c)\b-c)a-cb-c

选项C：当。=0时，ac=be,故C说法错误；

选项D：因为±〉0,所以二〉之，故D说法正确；

CCC

故选：AD

10.已知函数/(x)=lg(Jx2—2x+2—X+1卜则下列说法正确的是()

A./(x)的值域为R

B./(x+1)关于原点对称

C./(x)在(1,+8)上单调递增

D./(x)在xe[l-机,1+加]上的最大值、最小值分别为河、N,则M+N=O

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A,构造函数Mx)=ig(jf+i—q,研究左(耳的性质

判断B,利用Mx)的单调性与奇偶性判断CD,从而得解.

【详解】对于A,X2-2X+2-(X-1)2=1>0,

所以x?—2x+2>(x—1)>0,则Jx?—2x+2>x-1,

即J/—2x+2—x+l>0恒成立，所以/(x)的定义域为R，

且当X趋于无穷大时,y=Jx2—2x+2-X+1接近于O,

当无趋于无穷小时，J=VX2-2X+2—X+1=1―------趋于无穷大，

7x—2x+2+x—1

所以/(%)的值域为R,故A正确；

对于B,因为/(x+1)=lg(J(x+D"-2(x+1)+2—(x+1)+1)=lg(J.+1_》),

令式(%)=坨(6+1-4则/(》+1)=左(力，易知后(x)的定义域为R,

又左(一x)+k(x)=lg(Jx?+i+x)++i-xj=Igl=0,

所以后(x)为奇函数，关于原点对称，即/(X+1)关于原点对称，故B正确；

对于C,因为左("=lg(Vx2+l—x)=1g-r==一在(O,+")上递减，

而将Mx)的图象向右平移一个单位可得/(X)的图象，

所以/(X)在(1,+8)上单调递减，故C错误；

对于D,因为左(x)在(0,+动上递减，

且M》)=lg(Jx2+1—X)为奇函数,则左⑼=0,

:.k(x)=IglJjJZI-x)在(—s,+s)上为减函数，

而将Mx)的图象向右平移一个单位可得/(X)的图象,

/(X)在(-oo,+oo)上为减函数，即/(%)在口一见1+m]上单调递减，

则V+N=++=+左(机)=0,故D正确.

故选：ABD.

11.已知函数/(x)满足：对于x/eR,都有/(x-y)=/(x)/(y)+/(I+x)/(l+歹)，且

/(0)工/(2),则以下选项正确的是()

A./(0)=0B./⑴=0

C./(l+x)+/(l-x)=0D./(x+4)=/(x)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用赋值法，结合条件分析得的值，从而判断AB,利用赋值法，结合AB中的结论、

抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD,从而得解.

[详解]对于B：令x=y=0,则/(O)=[/(O)T+[/(1)了，

令x=y=1,贝!J/⑼=[/⑴了+卜⑵了,所以"⑼了=卜⑵了,

因为/(0)#/(2),所以/(0)=—/(2),

令x=l/=0,则/⑴=/(1"(0)+/(2)〃1)=0,故B正确；

对于A：由选项B可得/(O)=[/(O)T，所以/(o)=o或=

若/⑼=0,则/(o)=[/(i)]2+"⑵了=0,

所以/(2)=0,这与/(0)。/(2)矛盾，舍去；

若"0)=1,则/⑼=[/(1)了+"⑵]2=0,解得〃2)=±1,

因为/(0)#/(2),所以〃2)=-1,/(0)=1,故A错误；

对于c令x=o,则〃-y)=/(o)/(y)+/⑴〃1+田,

因为f(i)=o,/(0)=1,所以/(一y)=/(y),所以/(x)为偶函数，

令X=l,则/(1一日=/⑴/3+八2)/(1+#=一/(1+力

即/(l-x)=-/(+x),所以/(l+x)+/(l-x)=0,故C正确；

对于D：由选项C知/(l-x)=_/(l+x),所以/(-x)=-/(%+2),

又/(x)为偶函数，所以/(x)=/(-x)=-/(x+2),BPf(x+2)=-/(%),

所以/O+4)=-f(x+2)=/Q),故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些

特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇

偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=log3(3x+1)的定义域为.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数式的意义即可求解.

【详解】要使函数有意义，则3x+l〉0nx〉——，

3

所以函数的定义域为卜㈤一；｝.

故答案为：

13.定义/(X)=「x](其中「X]表示不小于x的最小整数)为“向上取整函数”例如「-1.1]=-1,

「2.”=3,「4]=4.以下描述正确的是.(请填写序号)

①若/(x)=2024,则X€(2023,2024],②若口丫一7「》]+骁W0,贝|xe(2,4],

③/(x)=「x]是R上的奇函数，④/(x)在R上单调递增.

【答案】①②

【解析】

【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①②，举反例，结合

函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解.

【详解】因为表示不小于x的最小整数，

则有「x12x且,即「x]-l<xV「x],

对于①,/(x)=「x]=2024,则2023<x42024,即xe(2023,2024],故①正确；

对于②，令，=「x],则不等式可化为7/+12W0,解得3W/W4,

又/=「句为整数，贝"=3或f=4,

当f=3时，即卜]=3,则2<xW3；

当/=4时,即国=4,则3<x<4,

所以2Vx<4,则xe(2,4],故②正确；

对于③,因为/(x)=「x],则/(0.5)=1,/(-0.5)=0^-/(0.5),

则/(x)=「x]不是R上的奇函数，故③错误；

对于④,因为〃x)=「x],则/(0.5)=1,/(0.6)=1,即/(0.5)=/(0.6),

所以/(x)在R上不单调递增，故④错误.

故答案为：①②.

14.已知a,b满足/+°6-2〃=1，贝！13a?-2a6的最小值为

【答案】2

【解析】

【分析】变形给定等式，换元。+26=相，用加表示6,再代入，利用基本不等式求出最小值.

【详解】由a?+ab-2Z/=1，得(a+26)(。一人)=1,令a+2b=m,贝！|。一6=一,

m

m7m8

解得Q=—+一,3"26=4+2(4—力)=—+——,

33m33m

因止匕3a2-2ab=a(3a-26)=(%+—)(—+—)=-(10+m2+-^-)>-(10+2.m2-^-)=2,

33m33m9m9\m

16

当且仅当加?2==，即机2=4时取等号，

所以3a2-2a6的最小值为2.

故答案为：2

【点睛】关键点点睛：将/+仍—2〃=1变形为(a+2b)(a—6)=1,令a+2b=m,再表示出a,6是求

出最小值的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.求值

⑴V4x322+InVe-2024°

(2)(log25+log40.2)(log52+log250.5)

【答案】(1)—

2

⑵；

【解析】

【分析】(1)根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数暴性质即可

计算得解.

(2)根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.

【小问1详解】

H12x-+5xl1,115

原式=Q2)4xQ5)2+；—1=242_1=2=

【小问2详解】

原式=[log25+glog20.2Vlog52+^1log50.5

2

/

log2+logJg=log75xlogV2

log5+log5525

22I

1-c

lgV5lgV2_2g28_1.

-------x-----------------X--------——

1g21g5lg2lg54

x||<2^<8l.

16.已知集合/={x|机+lVx<2加一1},B二

(1)求2；

(2)若4口3,求实数切的取值范围.

【答案】⑴5={x|-2<x<4}

⑵[-w

【解析】

【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合8;

（2）利用集合间的包含关系，分类讨论/=0与/W0两种情况，得到关于心的不等式（组），解之即可

得解.

【小问1详解】

由:W2i<8,得2-3V2-423,

8

所以—34x—1<3,解得—2<x<4,

所以8={x|—2<xW4}.

【小问2详解】

因为/={x|m+1Vx<2机-1},

当4=0时，m+l>2m-l,得m<2,满足条件;

-2<m+\,解得2«mV'；

当时，m>2且<

2m-1<42

综上所述，〃7的取值范围是8,5.

17.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发

现：某珍惜水果树的单株产量甲（单位：千克）与使用肥料尤（单位：千克）满足如下关系:

10（X2+3）,0<X<2

少(x)=<100，肥料成本投入为1lx元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）

100一一—,2<x<5

x+1

25x元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为/（x）（单

位：元）.

（1）求/（x）的函数关系式;

（2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？

200x2-36x+600,0<x<2

【答案】（1）/（%）=2000-3型-36x,2<xV5

1+x

_4460

（2）当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是——元.

3

【解析】

【分析】(1)根据单株产量少与施用肥料X满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.

(2)结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.

【小问1详解】

200(X2+3)-36X,0<X<2

依题意，fW=20W(x)-25x-1lx=20PK(x)-36x=<inn

20(100-------)-36x,2<x<5

、1+x

200x2-36x+600,0<x<2

=<2000

2000----------36x,2<x<5

、1+x

【小问2详解】

当0WxW2时，/(X)=200X2-36X+600,则当x=2时，/(x)取得最大值/(2)=1328；

当2<xW5时，/(x)=2036--36(1+%)=2036-4[—+9(1+%)]

1+x1+x

令l+x=/e(3,6],9"+9(1+%)=迎+9/,函数y=迎+%在(3,6]上单调递减，

1+xtt

41244604460

当，=6时，乂祈=亍，此时x=5,7(%)取得最大值/(5)二二一,而1328〈丁，

4460

因此当X=5时，/(X)max=丁，

4460

所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是——元.

3

4^-/7

18.已知函数/(x)=?于为奇函数，

(1)求。的值;

(2)判断/(x)的单调性，并用单调性定义加以证明；

(3)求关于光的不等式+2x)+/(x—4)<0的解集.

【答案】(1)a=l

(2)/(x)在R上单调递增，证明见解析

(3){x|-4<x<l}

【解析】

【分析】(1)利用奇函数的性质/(0)=0求得a,再进行检验即可得解;

(2)利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解;

(3)利用/(x)的奇偶性与单调性，将问题转化为好+2工<4-》，从而得解.

【小问1详解】

因为/(x)=%应为奇函数，且定义域为R,

A

,.4°—〃4-11

所以/(0)=0,贝I]\q=o,解得4=1，止匕时〃x)=*=2，-*,

贝U/(—X)=2一、_J=_12、一?)=-/(X),即/(X)为奇函数，

所以a=1.

【小问2详解】

/(x)在R上单调递增，证明如下：

任取X],X2CR,且石<X2，则2国一2*<0，2X|-2X2>0

则小)-〃少2』$-卜一小=2』4+看5

=2为一2通+2''"2"2=(2X'-2X2)fl+—--]<0,

2人.2以V々2X1-2X2)

所以/(X)</(X2),故/(x)在R上单调递增.

【小问3详解】

因为+2x)+/(x-4)<0,

所以/(Y+2x)<—/a—4)=/(4r),

则—+2x<4-x，即X?+3x-4<0，解得-4<x<1,

所以/(Y+2x)+/(x—4)<0的解集为{x|-4<x<l}.

3

19.已知函数/(x)=|x-4---Fa,(a£R),

X

U)若a=l,求关于x的方程/(x)=l的解；

2

(2)若关于尤的方程/(X)=—有三个不同的正实数根为，X,X3且再<%2<%3,

a2

(i)求。的取值范围;

(ii)证明：X1X3X3>3.

【答案】(1)x=-+^-

22

(2)(i)(近+G6](ii)证明见解析

2

【解析】

3

【分析】(1)根据题意得由卜-1=—,分类讨论x21与x<l两种情况去掉绝对值即可得解；

X

(2)(i)分段讨论/(x)的解析式，结合对勾函数的性质分析得/(x)的单调性，进而得到关于。的不等

式，解之即可得解；(ii)利用(i)中结论，分析得=3与退关于a的表达式，进而得解.

【小问1详解】

3

当a=l时，/(x)=|x-l|——