2024-2025学年盘锦市高一数学上学期期中考试卷及答案解析

2024-2025学年度上学期期中考试高一试题

数学

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）

1.设全集。={'般-3<、<5},"={-2,2},8=卜2,4},则何加8=（）

A.{4}B.{-1,0,4}C.{-2,0,3,4}D.{-2,-1,0,1,3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】由补集、并集的概念即可得解.

【详解】因为。={xeZ]—3<x<5}={—2,—1,0,1,2,3,4},/={-2,2},

所以。/={一1,0,1,3,4},又8={-2,4},

所以=2,—1,0,1,3,4}.

故选：D.

2.命题“VxeR,必+2》_3<0”的否定是（）

A.VxeR,X2+2X-3>0B.VxeR,x2+2x-3>0

C.3xeR,x2+2x-3>0D.HxeR,/+2x-320

【答案】C

【解析】

【分析】全称命题的否定，先是V于，然后否定结论即可.

【详解】“VxeR,M+2X—3<0”的否定是“玉eR，x2+2x-3>0,,

故选：C

3.已知x>4,则函数y=」一+4x的最小值是（）

x-4

A.8B.12C.16D.20

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于x>4,所以x—4>0,

所以>=---+4x=---+4（、-4）+16

JC—4x—4

>2/^―x4（x-4）+16=20，

Vx4

1a

当且仅当——=4（x—4）,x=—时等号成立，

x-42

所以函数了=—L+4x的最小值是20.

x-4

故选：D

4.函数y=x+JH+2的最大值是（）

117I—

A.-B.-C.4D.2+V2

【答案】B

【解析】

【分析】设/=可得y=-〃+/+4,然后配方后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】设/=则x=2—J,

1]7

因为/NO,所以当f=—时，y=x+J=+2的最大值为二，

24

故选：B.

5.设在二维平面上有两个点幺（石,%），5（%,%），它们之间的距离有一个新的定义为

。（48）=归-々|+|必|，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知A,8两个点的

坐标为/（x,加），8（-2,x）,如果它们之间的曼哈顿距离大于3恒成立，则实数切的取值范围是（）

A.（-co,-5）U（1,+℃）B.（-co,-l）U（5,+co）

C.[-5,1]D.[-1,5]

【答案】A

【解析】

【分析】首先将问题等价转换为当3—卜+2|20时，加>x+3一|x+2|或加<x—(3—归+2|)恒成立，对x

进行分类讨论即可求解.

【详解】已知A,8两个点的坐标为冽)，5(-2,x),如果它们之间的曼哈顿距离大于3恒成立，

则卜+2|+|加—>3恒成立，

所以|加—乂>3—卜+2卜恒成立，

情形一：当3—卜+2]<0时，即％>1或x<—5时，

不等式|加一乂>3—|x+2|恒成立，

情形二：当3—|x+2|>0时，|加—x|>3—卜+2]<=^>m—x>3—|x+2]或加—x<—(3—«+2。恒成立，

故加>x+3—卜+2|或加<x—(3—|x+2。恒成立，

(i)当—5W%—2时，加>x+3—|x+2]或机<x—(3―归+2。恒成立，

当且仅当加<一5或加>2x+5恒成立，

当且仅当加<-5或加〉1符合题意；

(ii)当—2<x<1时，加>x+3—k+2|或加<x—(3—归+2。恒成立，

当且仅当加<2%一1或加〉1恒成立，

当且仅当加工-5或加〉1符合题意；

综上所述，实数加的取值范围是(-*-5)U(L+8).

故选：A.

丫+加

6.关于x的方程—-=1有唯一解，则加的取值集合为()

x-4

A.卜B.{2,-2)c.12,2,9}D.12,2,一9}

【答案】D

【解析】

【分析】根据分式方程转化为一次方程、二次方程的情况分类讨论，求出m即可.

x+mx+m,

【详解】由二一=1有唯一解可知7-八;一八=1有唯一解,

x2-4(x-2)(x+2)

当加=2时，方程为」一=1,有一解x=3,满足题意;

x-2

当777=—2时，方程为^^=1,有一解X=-l,满足题意；

x+2

当加w±2时，由原方程可得/一工一4一加=0（XH±2）有唯一解,

171

所以A=l+4（4+m）=0,解得机=—i，此时方程有一解x=i,满足题意.

的取值集合为1-2,2,-9

综上，m

故选：D

7.已知函数/（x）=f+2Mx+2机+3有一个零点在区间（0,2）内，求实数加的取值范围是（

A.m=-lB,机=-1或〃？=3

37、37

C.机=一1或——〈加«——D.机=-1或—<—

2626

【答案】D

【解析】

【分析】分函数只有一个零点且在区间（0,2）内和函数有两个零点，且一个零点在（0,2）上两种情况讨论,

分别求出参数的取值范围.

0<—m<2

【详解】当函数只有一个零点，贝叫/(-书=/-2/+2，〃+3=0'解得根=T；

当函数有两个零点，且一个零点在（0,2）上时，则/（0）/（2）＜0,

37

即（2加+3）（4+4加+2加+3）＜0,解得——＜m＜——,

26

37

综上所述，实数加的取值范围是加=-1或—＜加＜—.

26

故选：D

8.已知函数〉="（x+2）定义域为R的偶函数，且/（3-x）=/（x+5）,当xe[0,2]时,

/（x）=8-4x,则/（1）+/（2）+/（3）+…+/（2024）=（）

A.-506B.0C.506D.2024

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得/（x）的一个对称中心是（2,0）,一条对称轴是x=4,周期为8,结合已知求出

/（1）+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+/（6）+/（7）+/（8）即可得解.

【详解】因为函数>="（x+2）定义域为R的偶函数，所以一必■（一》+2）=^（》+2）恒成立，即

-/（-x+2）=/（x+2）,

这表明/（x）的一个对称中心是（2,0）,

又/（3-x）=/（x+5）,这表明/（X）的一条对称轴是x=4,

所以/（x）=—/（4—x）=—/（x+4）=/（x+8）,这表明/（x）的周期为8,

当xe[0,2]时，/（x）=8-4x,

所以/（0）=8,/（1）=4,/（2）=0,/（3）=-/（1）=-4,/（4）=-/（0）=-8,

/（5）=/（3）=-4,/（6）=/（2）=0,/（7）=/（1）=4,/（8）=/（0）=8,

所以/⑴+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+〃6）+/⑺+/⑻=4+0-4-8-4+0+4+8=0,

所以/⑴+/⑵+/（3）+…+/（2024）

=253[/（1）+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+/（6）+/（7）+/（8）]=0.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：关键在于得出函数/（X）的对称性、周期性，由此即可顺利得解.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.下列选项叙述中正确的是（）

A.“x>2”是“X>5”的充分不必要条件

B.!”是“a>2”的必要不充分条件

a2

C.若a,beR,则“二〉产，的充要条件是“0>6，，

D."a<1”是中程/+x+°=o有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

【答案】BD

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得.

【详解】对于A,取x=3,满足x>2,而3<5,因此“x>2”不是“x>5”的充分条件，A错误；

对于B,a>2=>—<—，而当。<0时，一<一成立，显然Q>2不成立，

a2a2

则，，<,，，是“。>2”的必要不充分条件，B正确；

a2

对于C1>-2,而F%(—2)2,因止匕““>6”不是“/〉〃，，的充要条件，c错误;

对于D,“方程/+X+。=0有一个正根和一个负根”的等价条件是a<0,

所以“a<1”是“方程必+x+a=o有一个正根和一个负根，，的必要不充分条件，D正确.

故选：BD

10.下列选项中正确的是()

A.函数=的定义域为

j2x+3I2)

B.函数/(x)=三=的对称中心为(1,1)

x-2

2

C已知函数y(x)-2/(3—x)=2x+l,则/(x)=_x—5

,3

D.函数〃x)=x-[x],xeR,其中[x]表示不超过x最大整数，则函数/(x)的最大值为1

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,令2x+3>0即可判断；对于B,在x=0处有定义，但在x=2处无定义，由方程组法

即可判断C,对了进行适当划分即可判断D.

33

【详解】对于A,要使得函数/(%)=不一^有意义,则2x+3〉0,解得x〉—二，所以函数

j2x+32

/°)=7^75的定义域为[-1>+00]，故A正确；

2x4-1

对于B,函数/(x)=一不在x=0处有定义，但在x=2处无定义，所以B错误；

x-2

对于C，“X)-2/(3一x)=2x+l叱二)](，2(3一小产“力二十5,故C正

确；

对于D,VxeR,3A;eZ,使得左<x(左+1,从而/(x)=x—[x]=x—左<1恒成立，故D错误.

故选：AC.

11.已知实数a,b,。满足/+人2+,2=i，则下列选项正确的是()

A.a+6+c的最大值为百B.bc+ca的最大值为三

C.+be+CQ的最小值为—1D.当a,b,C£(O,1)时，-----1---的最小值为8

abcab

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式求出a+6+c最大值判断A；由1=〃+！°2+/+l02结合基本不等式求出最大

22

值判断B；由(a+Z?+c)2=a2+Z?2+c2+2(ab+bc+ca)20求出最小值判断C；由1—/=/十〃22ab

结合不等式性质及基本不等式求出最小值判断D.

【详解】对于A,a+b+c<|a+Z?+c[=J(a+1+c)2=Jl+2ab+2bc+2ca

当且仅当。=6=。=?时取等号，A正确；

<71+6Z2+Z?2+Z?2+C2+C2+6Z2

对于B,1=+Z?2+c2——c2+H—，之yp2bc+yfica,则be+caV，

222

当且仅当a=b="20=!或〃=6="2°=—J■时取等号，B正确；

2222

对于C,由(a+Z?+c)2=a1+〃+(?+2(ab+Z?c+ca)>0,^ab+bc+ca>一;,

当且仅当a+6+c=0时取等号，刈=旦,b=c=-旦,则。3+bc+ca=—工，C错误；

362

12

对于D,。，仇ce(O,l),1-c2=a2+b2>2ab,则下之一口当且仅当。=6时取等号，

ab1-c

11Izl2l+c22°、

J2

于是而cababc~l-Cc(l-c)c~(l-c+c2,当且仅当。="c=不时取等号，

12,2

因此当a=6=―9,0=工时，，----1---取得最小值8,D正确.

42abcab

故选：ABD

【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式

的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.若函数/(x-l)的定义域为[-3,5],则函数/(2x)的定义域为.

【答案】[-2,2]

【解析】

【分析】根据抽象函数定义域的求法列不等式即可求解.

【详解】若函数/（X—1）的定义域为[一3,5],xe[-3,5]=>x-le[-4,4],

要使得/（2x）有意义，则需—4<2x<4,解得—2WxW2,

所以函数/（2x）的定义域为[-2,2].

故答案为：-2,2].

13.已知实数x、y满足—3Wx—2yW2,-4<2x+y<Q,则4x—3y的取值范围为.

【答案】[一10,4]

【解析】

【分析】根据不等式的性质求得正确答案.

【详解】通过观察可知4x—3y=2（x-2y）+（2x+y）,

由于-3Wx-2yW2,则—6<2（x-2y）44,

而—4<2x+y<0,所以—10W4x—3yW4.

故答案为：[-10,4]

14.若不等式必+2"（74/（3必+/）对一切正数》，y恒成立，则实数f的取值范围为.

【答案】[1,+s）

【解析】

1+2亚m1

【分析】首先/NIY/、2~二对一切正数X，y恒成立，进一步,、1,2,2。-3恒成立且不妨让

（>----------

3'+1-33/+1

2s/2a-->0,从而只需求出1,之行；“一3的最大值即可.

3—3।--3/-+1-

（、2

1+2立工

【详解】不等式必+2正中《/（3必+3；2）对一切正数无，丁恒成立当且仅当不等式~乂对一

3—+1

y)

切正数》,丁恒成立,

a2+—+2A/2O--2A/26Z—卜一、

令。=—>0,所以+21______2,恒成乂,

yt>------------33=一+

/3/+13/+133/+1

所以不妨让2夜。—!>0,

3

12缶-：2yj2a--2y[2a--

11

二一+3二一+3

则3+FF2

3325

-\242a-LL+i3(2岳—1+2y/2a-j+一

8133831424

11

-......1------T------------------:—/+_―=1

3-[141a--2513_

H-------彳----------+42,等号成立当且仅当

8324l2V2a-18244

a=-=—>0,

V2

2

x+2V2-

综上所述，当y=JL;>0时,上有最大值1,

/、2

3—+1

所以/的取值范围为[1,+8).

故答案为：[1,+℃).

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知集合/={x|x?-4x+3=0},B=^x\x2-2ax+2o+3=0}(aeR)

(1)若5/0,求实数。的取值范围

(2)若ZU8=Z,求实数。的取值范围

【答案】⑴(一*-l]U[3,+⑹

⑵(T3]

【解析】

【分析】(1)转换成一元二次方程x2-2ax+2a+3=0有实数解即可得判别式非负，由此即可求解;

(2)将问题转换为进一步对集合8中元素个数分类讨论即可求解.

【小问1详解】

若3/0,这意味着一元二次方程f-2ax+2a+3=0有实数解,

所以△=4a2—4(2a+3)=4(a—3)(a+l)20=＞a»3或a＜—1,

所以实数0的取值范围为(，》,—l]U[3,+8)；

【小问2详解】

幺={x|x?—4x+3=0}={1,3}；

若ZUB=Z,则当且仅当

情形一：若8=0,显然满足题意，此时△=4"—4(2。+3)=4(。—3a+1)<0=>—1<a<3；

情形二：若a=-1,此时8={-1}不是集合A的子集，不符合题意，

若a=3,此时8={3}=2={1,3},符合题意；

[2a=4

情形三：若。＜一1或。＞3,且BuZ,则只能8=/,止匕时、,无解;

—2a+3=

综上所述，实数。的取值范围为(T3].

16.已知函数/(x)=/-2ax+a+2(aeR)

(1)方程/(x)=O在(0,6)上有两个不等实数根，求。的取值范围

(2)求解关于x不等式/+2ax+a+2＞0

【答案】(1)2＜。＜三

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)根据方程根的分布列出不等式组求解；

(2)根据对一元二次方程根的情况分类讨论，得出不等式的解集.

【小问1详解】

因为方程/(x)=0在(0,6)上有两个不等实数根，

/(0)>0a+2〉0

a>0a>0

所以需满足＜/\，即〈

/⑹>038—1la>0

A=4/-4(2-8>0(Q-2)(Q+1)〉0

解得2<a<—,

即a的取值范围为2<。(云.

【小问2详解】

方程/+2ax+a+2=0的判别式△=4a2—4a—8=4(a—2)(a+l),

①当△<(),即—/<a<2时，方程无实数根，

所以x?+2ax+a+2>0的解集为R;

②当A=0,即。=—1或°=2时，方程有两相等实根x=一。，

当a=-1时，不等式x?+2ax+a+2>0的解集为，

当。=2时，不等式寸+2办+0+2>0的解集为｛刈工0—2｝；

③当△>(),即。<一1或a>2时，方程有两不相等实根％=_q_J"_2,%=_a+J4_q_2，

所以不等式的解集为“|》<西或》〉/｝；

综上，当a=-1时，不等式解集为｛x|xwl｝；

当a=2时，不等式解集为｛x|x。-2｝；

当—/<a<2时，不等式解集为R；

当。<一1或a>2时,不等式的解集为｛x\x<-a-\la2-a-2或x〉-a+yja1-a-2]-

17.已知定义在R上的函数/(x)满足/足+y)=/(x)+/(y)+3,且当x>0时,/(%)>-3.

(1)求/(0)的值，并证明〃x)+3为奇函数

(2)求证：/(x)在R上是增函数

(3)若/⑴=2,解关于x的不等式/(炉+》)+/。—2X)〉9

【答案】(1)/(0)=-3,证明见解析；

(2)证明见解析；(3)(―℃,—1)o(2,+co).

【解析】

【分析】(1)利用赋值法计算，再利用奇函数定义推理得证.

(2)根据给定的等式，利用增函数的定义推理即可.

(3)求出/(3),结合给定等式化不等式为/(1—》+1)〉/(3),再利用单调性求解即得.

【小问1详解】

在R上的函数/(x)满足/(x+y)=/(x)+/(j)+3,

取x=y=O,则/(0)=/(0)+/(0)+3,所以/(0)=-3,

VxeR,取V=-x,则/(O)=/(x)+/(-x)+3=-3,

于是/(x)+3=3=-[/(-%)+3],

所以/(x)+3为奇函数.

【小问2详解】

Vx1；x2eR,X[<x2,则/-司〉0,由当x>0时，f(x)>-3,得/(乙一为)〉一3,

f(x2)=f[xx+(x2-%1)]=/(%1)+/(%-西)+3〉/(%1),

所以/(X)在R上是增函数.

【小问3详解】

由/(I)=2,得f(2)=/(1)+/(I)+3=7,/(3)=/(1)+/(2)+3=12,

不等式/(x2+x)+/(I一2x)〉9of(x2+x)+f(l-2x)+3>12,

则/(J—x+l)〉/(3),由(2)知，X2-X+1>3>即%—2〉0,解得X<—1或X>2,

所以原不等式的解集为(-叫-1)u(2,+oo).

18.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年

新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产

75(X2+3),0<X<2

x(千辆)获利亚(x)(万元)，关系如下：%(x)=4750x，该公司预计2024年全年其他成

----,2<x<6

.1+x

本总投入为30x万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为/(x)(单位:

万元).

(1)求函数/(x)的解析式;

(2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.

75x2-3Ox+225,0<x<2

【答案】(1)f(x)=1750x

-30x,2<x<6

、1+x

(2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.

【解析】

【分析】(1)根据给定的信息，由/(x)=PF(x)-30x求出解析式即得.

(2)按0<x<2,2<x<6分段求出最大值，再比较大小即得.

【小问1详解】

75(X2+3),0<X<2

依题意，/(x)=PF(x)-30x,而/X)=<750X

------,2<x<6

、1+x

75(x2+3)-3Ox,0<x<275x2-30x+225,0<x<2

所以函数/(%)的解析式为=1750x即"")=3-30x,2K6

--------30x,2<x<6

、1+x

【小问2详解】

当0WxW2时，/(x)=75——30x+225在［0,g上单调递减，在［g,2］上单调递增，

当x=2时，/(x)max=/(2)=465;

当2<x«6时，/(x)=^^-30x=：750---30(l+x)+30=780-30［—+(l+x)］

\+x1+x\+x

l~2S25

<780-30x2.^-(1+x)=480,当且仅当——=l+x,即x=4时取等号，

V1+x1+x

而465<480,则当x=4时，/(x)max=480,

所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.

19.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并

构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔(LEJBrouwer),简

单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数/(x),存在点/,使/(x0)=x°，那么我们称该函数

为“不动点函数”，为函数的不动点.

⑴若定义在R上仅有一个不动点的函数/(x)满足/(/(x)--+x)=/(x)——+X,试求函数/(x)

的解析式.

(2)若对任意的实数6,若函数8(%)=•2+(36+1)》+26-1(400)恒有两个不动点，且满足如下条

件：

①y=g(x)图象上两个不同点M，N的横坐标是函数g(x)的不动点;

②跖N的中点C在函数/z(x)=-2x+^^一的图象上，求