2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.如图，该几何体的主视图、左视图和俯视图正确的是（

主视图左视图

主视图左视图

rn

A.W®B,俯视图

主视图左视图

主视图左视图

ri

C,俯视图D.Wg

2.如图，在中，ZACB=90°，BC=1,AB=2,则下列结论正确的是（）

A.sinA=上^B.tanA=-lC.cosB=^-^.D.tanB=J^

222

3.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太

阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最

长的时刻为（）

A.上午12时B.上午10时

C.上午9时30分D.上午8时

4.二次函数y=f+b尤-1的图象与x轴的交点个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.无法判断

5.在平面直角坐标系中，已知点E（-4,2）,F（-2,-2）,以原点O为位似中心，相

似比为2：1,把缩小，则点E的对应点E'的坐标是（）

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(-8,4)或(8,-4)

6.如图，将矩形A8CQ折叠，使点C和点A重合，折痕为EF.若AF=5,BE=3,则EF

的长为()

C.2A/5D.375

7.如图，将△ABC沿2C方向平移得到△£）跖,AC与。E相交于点G.已知△ABC的面积

为18,EC=2BE,则△ABC与△。所重叠部分（即△CEG）的面积为（）

8.已知点A（xi,yi）,B（%2,>2）是反比例函数>=上（人力0）的图象上的两点，且当xi

x

<x2<0时，yi<yi,则函数、=依2-左与>=-四（ZW0）在同一平面直角坐标系中的图

象可能是（）

V

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

9.计算：2COS230°+tan45°=.

10.一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球,这些球除颜色外都相同.将

口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复

这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则估计口袋中红球的数量为

个.

11.如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P(3a,a)

是正方形与反比例函数图象的一个交点.已知图中阴影部分的面积等于18,则这个反比

例函数的表达式为.

12.为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合

理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件,

而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.则该工艺

厂将每件的销售价定为元时，可使每天所获销售利润最大.

13.如图，在菱形ABC。中，AB=13cm,AC=24c〃z,E,尸分别是C£＞和的中点，连

接EF并延长与的延长线相交于点G,则EG的长度为cm.

14.如图，四边形ABC。是矩形，延长D4到点E,使AE=ZM,连接仍，点乃是C。的

中点，连接所1,BF1,得到△£/出点尸2是CQ的中点，连接EF2,BF2,得到△所2&

点尸3是CF2的中点，连接£后，BF3,得到△EF3&…；按照此规律继续进行下去，若

矩形ABCD的面积等于2,则△EE山的面积为.（用含正整数n

的式子表示）

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.（4分）已知：线段a.求作：正方形ABC。，使其对角线AC=a.

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16.（8分）（1）解方程：/=4-2x；

（2）求二次函数y=7-x-5的图象与一次函数y=2x-1的图象的交点坐标.

17.（6分）祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败，女排精神代代流传.中国女排一

路都在创造奇迹，书写中国人的传奇….2020年9月，电影《夺冠》正式上映后，好评

不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球

的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1,

2,3的三个小球（除编号外都相同）.从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸

出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则小亮胜，若两次数字之和为偶数，则

小丽胜.

（1）请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果;

（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

18.（6分）为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场

地建成绿化广场.如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平

行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积

的80%,小路的宽应为多少米？

19.（6分）为增强身体素质，小明和爸爸绕着小区广场锻炼.如图，在矩形广场48C。边

的中点M处有一座雕塑.在某一时刻，小明到达点P处，爸爸到达点。处，此时雕

塑在小明的南偏东42°方向，爸爸在小明的北偏东67°方向，若小明离开A点的距离

AP=30m,求小明与爸爸的距离尸。.（参考数据：sin67°七」2,cos67°-_3_,tan67°

1313

七卫,sin42°七互,cos42°^―,tan42°心且）

540410

20.（8分）如图，一次函数>=-」孑+6的图象与x轴，y轴分别交于A,8两点，与反比例

-2

函数y=K（x<0）的图象交于点C（-2,2）.

x

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）过点8作x轴的平行线交反比例函数的图象于点。，连接CZX求的面积.

21.（8分）如图，在nABCD中，对角线AC与8。相交于点O,点、E,尸在BD上，且BE

=DF,连接AE并延长，交于点G,连接CF并延长，交于点

（1）求证：AE=CF；

（2）若AC平分NHAG,判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论.

22.（10分）为促进经济发展，方便居民出行.某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路

隧道.抛物线的最高点尸离路面的距离为6加，宽度OM为12〃葭

（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；

（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4加，宽为35”.如果该隧道内设双向行车道（正

中间是一条宽1根的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？

（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”A8CD,使A,。点在抛物线上.B,

C点在地面线上（如图2所示）.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆A8,

AD,0c的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.

在由mXn（机Xw>l）个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角

线所穿过的小正方形个数与m,n有何关系？

【问题探究】

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手,

再逐次递进，从中找出解决问题的方法.

探究一：

当他，〃互质（机，〃除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：

2x13x1

5x2

图1

矩形横长m233545

矩形纵长W112233

矩形一条对角线所穿过的小正方形个数/23466—

结论：当机，〃互质时，在mXw的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的

个数了与处"之间的关系式是.

探究二：

当相，"不互质时，不妨设m=ka,n=kb（a,b,左为正整数，且a,6互质），观察图2

并完成下表：

4x26x2

filialIIIIaIII।।

―—卜T-+TTLT-卜—++T

t।।।।I*IIIIaIIIII

-I------I--------I--------I-------J--------1

6x410x4

图2

a233523•••

b112211•••

k222233•••

矩形一条对角线所穿过的小正方4686.・・

形个数/

结论：当机，〃不互质时，若m=ka,n=kb（a,b,左为正整数，且a,6互质）.在加

X”的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数/与a,6,左之间的关系

式是.

【模型应用】

一个由边长为1的小正方形组成的长为630,宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角

线所穿过的小正方形个数是个.

【模型拓展】

如图3,在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A,B的直线穿

过的小正方体的个数是个.

图3

24.（12分）如图，在矩形A3CD中，AB^6cm,BC=8cm,对角线AC,2。交于点O.动

点P从点B开始沿边以2cMs的速度运动，动点。从点A开始沿边以\cmls的

速度运动，过点。作QM交CD于点M,交BD于点N,点E,F分别是PQ,

与AC的交点.点尸和点。同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止

运动.设动点的运动时间为'解答下列问题：

（1）当/为何值时，MP//BD?

（2）设△PQM的面积为SS?,写出S与/的关系式；

（3）是否存在某一时刻，使AC将△产◊〃分成尸和四边形面积比为4：5?

若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由；

（4）是否存在某一时刻力使N尸平分/BMW?若存在，求出f的值；若不存在，请说明

理由.

2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.如图，该几何体的主视图、左视图和俯视图正确的是（）

主视图左视图

J"!

A.B.俯视图

主视图左视图

主视图左视图

rn

U

C,俯视图D.俯视图

【分析】根据该几何体的三视图可逐一判断.

【解答】解：根据三视图的定义可知，该几何体的三视图为:

主视图左视图

故选：D.

2.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是（)

A.sinA=^-3.B.tanA=AC.cosB=^-5.D.tanB=y/2

222

【分析】根据三角函数的定义求解.

［解答］解：：在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2.

;MC=VAB^BC2=V2^P=^3,

sinA=—tanA=—=-1==2^,CosB=-=-l,tanB=&=«.

AB2ACV33AB2BC

故选：D.

3.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太

阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最

长的时刻为（）

A.上午12时B.上午10时

C.上午9时30分D.上午8时

【分析】根据从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，

再变长可知.

【解答】解：根据从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变

短，再变长.

可知影子最长的时刻为上午8时.

故选：D.

4.二次函数y=/+b尤-1的图象与x轴的交点个数有()

A.0个B.1个C.2个D.无法判断

【分析】二次函数y=cur+bx+c(a/0)与x轴交点的个数与b2-4ac有关，当/-4ac

>0时，有两交点；当廿-4ac=0时，有一个交点；当d-4团<0时，无交点.

【解答】解：由二次函数y=?+6x-1,

矢口a=―1,6=6,c=='-1,

：.b2-4ac^b2-4X1X(-1)=庐+4>0,

抛物线与无轴有两个交点，

故选：C.

5.在平面直角坐标系中，己知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点。为位似中心，相

似比为2：1,把△£改?缩小，则点E的对应点£'的坐标是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(-8,4)或(8,-4)

【分析】由在直角坐标系中，点E(-4,2),F(-2,-2),以。为位似中心，按2：

1的相似比把△EF。缩小为AE'F'O,利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点£'

的坐标.

【解答】解：：点E(-4,2),以O为位似中心，按2：1的相似比把△斯(?缩小为△

E'F'O,

.•.点E的对应点E'的坐标为：(2,-1)或(-2,1).

故选：C.

6.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EE若AP=5,BE=3,则跖

的长为()

Dr

【分析】过点尸作尸于〃，由翻折和平行线的性质可证出NAEF=NAM,从而

AF=AE,勾股定理得AB=4,在中，利由勾股定理可求出跖的长度.

【解答】解：如图，过点尸作尸于H,

•・,将矩形A5CD折叠，使点。和点A重合,

:・CE=AE,ZCEF=ZAEF,

・・•四边形A3CD是矩形，

J.AD//CD,

：.NAFE=NCEF,

：.ZAEF=NAFE,

：.AF=AE,

VAF=5,

：.AE=CE=5,EH=2,

在中，由勾股定理得：

BA=VAE2-EB2=752-32=1

VZBAF=ZB=ZFHB=90°,

・•・四边形A5H厂是矩形，

：.AB=FH=4,

在中，由勾股定理得：

EF=VEH2+FH2=722+42=2V5,

故选：c.

7.如图，将△ABC沿2C方向平移得到△£）跖,AC与。E相交于点G.已知△ABC的面积

为18,EC=2BE,则△ABC与△£>£1〃重叠部分（即△（7或7）的面积为（）

A.6B.8C.9D.12

【分析】由平移可得GE〃AB,从而判定△CEGs^CBA,相似比为2,面积比为名,从

39

而由△ABC的面积可求ACEG的面积.

【解答】解：由平移可知，GE//AB,

故可得△CEGs△CBA,

••-E-C-~-2-,

BC3

.•△CEG=心）2=曳

SACBA39

又△ABC的面积为18,

SACEG=18XA=8.

9

故选：B.

8.已知点A（xi,yi）,B（%2,y2）是反比例函数y=K（%=0）的图象上的两点，且当

<l2<0时，yi<y2,则函数了二日2-左与y=-K（ZWO）在同一平面直角坐标系中的图

A.B.

V

【分析】根据题意得出无VO,结合两个函数的图象及其性质即可判断.

【解答】解：：点A（xi,ji）,B（尤2,”）是反比例函数y=—（左WO）的图象上的两

x

点，且当xi<x2<0时，yi<y2,

：.k<0,反比例函数y=K在二、四象限，

x

函数y=/-左的图象开口向下，与y轴交点在原点上方，反比例函数y=-K在一、

x

三象限，O符合.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.计算：2COS230°+tan45°=—.

一2一

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案.

【解答】解：2cos230°+tan45°

=2X（返）2+]

2

=2X2+1

4

=3+1

2

=5

T

故答案为：

2

10.一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球,这些球除颜色外都相同.将

口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复

这一过程后发现,摸到黑球的频率稳定在0.4左右,则估计口袋中红球的数量为15个.

【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.4左右列出关于x的方程，

求出尤的值，从而得出答案.

【解答】解：•••不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，

估计摸到黑球的概率为0.4,

设袋中红球的个数为X,

根据题意，得：二^=0.4,

10+x

解得尤=15,

经检验x=15是分式方程的解，

所以袋中红球的个数约为15,

故答案为：15.

11.如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a,a）

是正方形与反比例函数图象的一个交点.已知图中阴影部分的面积等于18,则这个反比

例函数的表达式为_y工.

【分析】利用正方形的性质得四边形AE。尸为正方形，则由点P（3a,a）可得点A的坐

标为（3a,3a）,根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得正方形AEOF的面积=阴

影部分的面积=36,贝U3a・3a=18,解得亚或a=-&（舍去），所以尸（3血，血）,

然后根据反比例函数图象的坐标特征可求出k的值.

【解答】解：如图，•.,正方形ABCD的中心在原点0,且AO〃x轴，

...四边形AEOP为正方形，

•点P（3〃,a）,

・••点A的坐标为（3〃，3〃），

•・,正方形AEO/的面积=阴影部分的面积=18,

3。・3。=18,

解得4=0或〃=-V2（舍去），

（3血，血），

.,.左=3X6.

.•.这个反比例函数的解析式为：y=旦,

X

12.为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合

理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，

而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.则该工艺

厂将每件的销售价定为80元时,可使每天所获销售利润最大.

【分析】设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，由题意得：y=-5?+800x-27500

=-5(x-80)2+4500,即可求解.

【解答】解：设销售单价为尤元时，每天的销售利润为y元，

由题意得：y=(尤-50)[50+5(100-x)]=(%-50)(-5x+550)=-5?+800x-27500

=-5(x-80)2+4500,

-5<0,

抛物线开口向下，

,.”250,对称轴是直线尤=80,

.,.当x=80时，y最大值=4500(元)，

即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，

故答案为：80.

13.如图，在菱形A8CQ中，AB=\3cm,AC=24cm,E,尸分别是CZ)和8c的中点，连

接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG的长度为10cm-

【分析】连接对角线2。，交AC于点。，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD,

利用勾股定理求出。。的长，BD=2OD,即可求出EG.

【解答】解：连接5。，交AC于点0,如图:

DEC

ABG

,菱形ABC。的边长为13cm,点£、尸分别是边CD、BC的中点，

：.AB//CD,AB=BC=CD=DA=13cm,EF//BD,

VAC>BD是菱形的对角线，AC=24CMJ,

：.AC±BD,AO=CO=12cm,OB=OD,

JL'：AB//CD,EF//BD,

J.DE//BG,BD//EG,

四边形BDEG是平行四边形，

：.BD=EG,

•"OB=0D=皿2_卜。2="169-144=5(cm),

80=20。=10(cm),

：.EG=BD=10(cm),

故答案为：10.

14.如图，四边形ABC。是矩形，延长ZM到点E,使AE=ZM,连接即，点乃是8的

中点，连接BF1,得到△EF1B；点或是CF1的中点，连接所2,BF1,得到△所2以

点P3是CE的中点，连接ER,BF3,得到△£△&•••；按照此规律继续进行下去，若

矩形ABC。的面积等于2,则△EAB的面积为_2&_.(用含正整数”的式子表示)

nn

D%尸2尸3J…

【分析】先求得△£为£»的面积为1,再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得△

£为八的面积，用的面积，…，△EE-iE?的面积，以及△BCE,的面积，再根据

面积的和差关系即可求解.

【解答】解：：A£=D4,点八是8的中点，矩形ABC。的面积等于2,

AEFiD和△EAB的面积都等于1,

:点/2是CF1的中点，

△所诟2的面积等于工

同理可得1后的面积为一二，

2n-1

,:ABCW的面积为2XL+2=」-,

，小EFnB的面积为2+1-1--1-------二--工=2-（1-工）=止11

22n-12n2n2n

故答案为：叫L.

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.（4分）已知：线段a.求作：正方形ABC。，使其对角线AC=cz.

【分析】作AC=a,再作AC的垂直平分线/交AC于。，然后在直线/上截取02=

OD=OA,则四边形ABC。为正方形.

【解答】解：如图，正方形ABCD为所作.

4VO

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16.（8分）（1）解方程：/=4-2x；

（2）求二次函数y=7-尤-5的图象与一次函数y=2x-1的图象的交点坐标.

【分析】（1）利用配方法求解即可;

（2）令x2-x-5=2%-1,解方程求得xi=-l,%2=4,然后分别代入y=2x-1求得yi

=-3,y?=7,从而得出两函数图象的交点坐标.

【解答】解：（1）?=4-2x,

7+2%=4,

/+2X+1=5,即G+1）2=5,

解得X[=-l+述，X2=-1-V5'

（2）解根据题意得：JC-x-5=2x-1,

解得：XI=-1,X2=4,

把无1=-1,%2=4别代入y=2r-1得yi=-3,y2=7,

...二次函数y=/-x-5的图象与一次函数y=2尤-1的图象的交点坐标为（-1,-3）,

（4,7）.

17.（6分）祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败，女排精神代代流传.中国女排一

路都在创造奇迹，书写中国人的传奇….2020年9月，电影《夺冠》正式上映后，好评

不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球

的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1.

2,3的三个小球（除编号外都相同）.从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸

出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则小亮胜，若两次数字之和为偶数，则

小丽胜.

（1）请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果；

（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可；

（2）根据概率公式求出小亮和小丽分别获胜的概率，再进行比较即可得出答案.

【解答】解：（1）根据题意列表如下；

和123

1234

2345

3456

由图表知，共有9种等可能的情况数.

（2）共有9种等可能的情况数，两次数字之和为奇数的有4种情况，两次数字之和为偶

数的有5种情况，

则p（小亮胜）=生P（小丽胜）=2

99

••415

•--2ZZ------,

9^9

，游戏对双方不公平.

18.（6分）为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场

地建成绿化广场.如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平

行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积

的80%,小路的宽应为多少米?

【分析】设小路的宽为x米，则绿化区域可合成长为（18-2x）米，宽为（10-尤）米的

矩形，根据绿化区域的面积为广场总面积的80%,即可得出关于x的一元二次方程，解

之取其符合题意的值即可得出结论.

【解答】解：设小路的宽为无米，则绿化区域可合成长为（18-2尤）米，宽为（10-x）

米的矩形，

依题意得：（18-2x）（10-x）=18X10X80%,

整理得：X?-19无+18=0,

解得:无1=1,%2=18（不合题意，舍去）.

答：小路的宽为1米.

19.（6分）为增强身体素质，小明和爸爸绕着小区广场锻炼.如图，在矩形广场ABC。边

的中点M处有一座雕塑.在某一时刻，小明到达点尸处，爸爸到达点。处，此时雕

塑在小明的南偏东42°方向，爸爸在小明的北偏东67°方向，若小明离开A点的距离

AP=30加，求小明与爸爸的距离尸。.（参考数据：sin67°七£,cos67°tan67°

1313

七丝，sin42°心红，cos42°^―,tan42°）

540410

【分析】过点。作。于点E,先证四边形ABQE是矩形，得QE=AB,再由锐角

三角函数定义求出AM^27,则。£=54,然后由锐角三角函数定义求出尸。的长即可.

【解答】解：过点。作。E_LA。于点E,如图所示：

则NQEA=90°,

•.•四边形ABC。是矩形，

ZA=ZB=90°,

四边形ABQE是矩形，

C.QE=AB,

在RtZiAPM中，：tan42°=瞿，

AP

.•.AM=APXtan42°心30x2=27,

10

是的中点，

，AB=54,

：.QE=5A,

在RtAPQE中，：sin67°=--

：.PQ=QE。-兽58.5,

sin67

13

答:小明与爸爸的距离尸。约为58.5m.

20.（8分）如图，一次函数y=-1+b的图象与1轴，y轴分别交于A,B两点,与反比例

2

函数y=K(x<0)的图象交于点C(-2,2).

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)过点8作x轴的平行线交反比例函数的图象于点。，连接CD.求△BCD的面积.

【分析】(1)把C点坐标分别代入丫=-1+b和y=K中求出鼠b,从而得到两函数解

2x

析式；

(2)利用8、。的纵坐标相同和反比例函数图象上点的坐标特征确定。点坐标，从而得

到BD的长，然后根据三角形面积公式求解.

【解答】解：⑴把C(-2,2)代入y=-L+b得1+6=2,解得6=1,

2

...一次函数解析式为>=-Ax+1；

2

把C(-2,2)代入y=K得左=-2X2=-4,

X

反比例函数解析式y=-4；

x

(2)无轴，

点的纵坐标为1,

当y=l时，-_£=1,解得x=-4,则。(-4,1),

x

：.BD=O-(-4)=4,

.•.△BCZ)的面积=1X4X(2-1)=2.

2

21.(8分)如图，在口42。1)中，对角线AC与80相交于点0,点、E,尸在3。上，且8E

=DF,连接AE并延长，交BC于点G,连接CF并延长，交于点"

(1)求证：AE=CF；

(2)若AC平分/HAG,判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论.

【分析】(1)根据四边形ABC。是平行四边形证明△AOEg^COR即可得结论；

(2)结合(1)证明四边形AGCH是平行四边形，再根据已知条件证明GA=GC,即可

得结论.

【解答】(1)证明：,••四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

；BE=DF,

：.OB-BE=OD-DF,

即OE=OF,

又：ZAOE=ZCOF,

：.(SAS),

：.AE=CF.

(2)四边形AGCH是菱形.理由如下：

,/AAOE^ACOF,

/EAO=ZFCO,

：.AG//CH,

,/四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,

...四边形AGCH是平行四边形，

"."AD//BC,

：.NHAC=ZACB,

：AC平分NHAG,

：.ZHAC^ZGAC,

'：ZGAC^ZACB,

；.GA=GC,

平行四边形AGC”是菱形.

22.(10分)为促进经济发展，方便居民出行.某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路

隧道.抛物线的最高点P离路面0M的距离为6m,宽度为12m.

（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；

（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4%，宽为3.5如果该隧道内设双向行车道（正

中间是一条宽的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？

（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”A8C。，使A,。点在抛物线上.B,

C点在地面线上（如图2所示）.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆A8,

AD,0c的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.

【分析】（1）根据图象的顶点坐标先把函数解析书设为顶点式，再把原点坐标代入解析

式求出a即可；

（2）根据隧道隧道是双向车道，把尤=6-0.5-3.5代入（1）中解析式求出y的值与4

进行比较即可；

（3）设点M的坐标为（m,-L（x-6）2+6），从而求出。2，A3的长度，再根据二次

6

函数的对称性求出CM,的长度，则A3,AD,OC的长度之和是关于根的二次函数,

再根据函数的性质求最值.

【解答】解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6,6）,

设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6,

把点O（0,0）代入得：36。+6=0,

解得：

6

即所求抛物线的解析式为：y=-l（x_6）2+6（0—W12）；

6

（2）根据题意，当％=6-0.5-3.5=2时（或者当％=6+0.5+3.5=10）时，

y=-r（2-6）2/

63

这辆货车不能安全通过；

⑶设A点的坐标为(m,-^-(m-6)2+6);

6

则。2=如AB=-^(m-6)2+6-

根据抛物线的对称性可得CM=OB=m,

.,.BC=12-2m,

•.•四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC=U-2m,CD=AB=-^(m-6)2+6，

0

二三根支杆AB,AD,DC的长度之和：l=12-2m-7-(m-6)2+6-7-(m-6)2+6=

66

1O1o

-77m+2m+12=-^-(in-3)+15，

当初=3,即。8=3米时，三根支杆A2,AD,DC的长度之和的最大值为15.

23.(10分)【问题提出】

在由mXn(mX«>l)个小正方形(边长为1)组成的矩形网格中，该矩形的一条对角

线所穿过的小正方形个数与陆〃有何关系？

【问题探究】

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手,

再逐次递进，从中找出解决问题的方法.

探究一：

当根，w互质(相，"除1外无其他公因数)时，观察图1并完成下表：

3x25x2

图1

矩形横长m233545

矩形纵长〃112233

矩形一条对角线所穿过的小正方形个数/234667

结论：当机，〃互质时，在机义”的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的

个数/与相，及之间的关系式是f=m+n-1.

探究二：

当机，〃不互质时，不妨设m=ka,n=kb(a,b,左为正整数，且。,6互质)，观察图2

并完成下表：

■lit,III

■ill'iii

4x26x2

-------■-----1-----1----1-----1---,«1111111iT-R

।।।।a।1111111iii

iiiiii1111111iii

■iiiii1111111iii

*■-1111li:""I11II1111i

iiii■i।।।।।a।iii

d-FT-卜+・»+TT

iiiiiiiiiiiaiiii

L.j-.u-j-.u.j.-i............................................

6x410x4

图2

a233523…

b112211•••

k222233…

矩形一条对角线所穿过的小正方4681269...

形个数/

结论：当相，力不互质时，若m=ka,n—kb(a,b,左为正整数，且a,b互质).在m

X”的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数/与,,b,左之间的关系

式是f=k(a+b-1).

【模型应用】

一个由边长为1的小正方形组成的长为630,宽为490的矩形网格中,该矩形的一条对角

线所穿过的小正方形个数是1050个.

【模型拓展】

如图3,在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A,B的直线穿

过的小正方体的个数是6个.

图3

【分析】探究一：通过观察即可得出当机、w互质时，在机义〃的矩形网格中，一条对角

线所穿过的小正方形的个数/与相、〃的关系式；

探究二：当机、〃不互质时，根据。、b、4的值求出机、”的值，计算/的值，即可得到

规律；

【模型应用】利用630与490求出a、b、左的值，计算/的值，即可得到规律；

【模型拓展】如图，连接长方体上下两个底面的对角线，得到矩形ACBD,利用勾股定

理求出AC=^AE24<：E2=4