2020-2024年高考数学试题分类汇编：三角函数（解析版）

专题04三含备救

■

5年考情•探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

2024天津卷：函数奇偶性的定义与判断判断指

考点1三角函数型函数的图象形状识别三角函数的图象（含

数的奇偶性正、余弦，正切）柜据函数图象选择解析式；

（5年2考）2023天津卷：函数奇偶性的定义与判断求含

COSX的函数的奇偶性；

考点2三角函2023天津卷：求正弦（型）函数的最小正周期求1.三角函数的奇偶性在高考中主要

数的周期性与正弦（型）函数的对称轴及对称中心求含COSX的考查了函数奇偶性的定义，通过定

对称性函数的最小正周期求COSX（型）函数的对称轴及义与三角函数的函数特征判断函

（5年1考）对称中心；数的奇偶性。

考点3三角函2022天津卷：程求sinx型三角函数的单调性2.三角函数的周期性与对称性在

数的平移与伸求含sinx（型）函数的值域和最值求正弦（型）函数高考中主要考查周期性与对称性

缩变换的最小正周期描述正（余）弦型函数图象的变换的应用，包括判断函数的周期性与

（5年1考）过；对称性，通过对称性求解含参问题

考点4三角函2024天津卷:求含sinx（型）函数的值域和最值由等

数的值域与最正弦（型）函数的周期性求值；3.三角函数的平移与伸缩变换在

值2022天津卷:结合三角函数的图象变换求三角函高考中通常用来求解函数的解析

（5年2考）数的性质；式，判断函数的单调性、最值与值

2024天津卷：用和、差角的余弦公式化简、求值域等

二倍角的正弦公式正弦定理解三角形余弦定4.三角恒等变换与解三角形在高考

理解三角形中通常结合在一起进行考察，通过

2023天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值两角和差与二倍角公式求解凑角

考点5三角函

正弦定理解三角形余弦定理解三角形求值问题，通过正余弦定理求解三

恒等变换与解

2022天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值角形中的边角问题

三角形

二倍角的余弦公式正弦定理解三角形余弦定

（5年5考）

理解三角形

2021天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值

正弦定理边角互化的应用余弦定理解三角形

2020天津卷：正弦定理解三角形余弦定理解三

角形

5年真题•分点精准练

考点01三角函数的奇偶性

1.(2024•天津•高考真题)下列函数是偶函数的是()

ex-x2nCOSX+%2ex-xsinx+4x

A.y=B・y=­；—C.y=---D.y=

x2+lJx2+lJx+1elM

【答案】B

(祥解I根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详析】对A,设/0)=集^,函数定义域为R,但〃-1)=1二，"1)=与1,贝仔(_1)力/(1),故A

错误;

对B,设9(%)=零等，函数定义域为R,

cos(-x)+(-x)2_cosx+x2

且=g(%)，则g(无)为偶函数，故B正确;

g(-x)=(-x)2+lx2+l

对C,设h(x)=3,函数定义域为{x|x片-1},不关于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误;

sinx+4x

对D,设w(%)=，函数定义域为R，因为9(1)=四詈，0(—1)=曰詈

e因

则0(1)。9(一1),则9(%)不是偶函数，故D错误.

故选：B.

2.(2023•天津•高考真题)已知函数/(%)的部分图象如下图所示，则/(%)的解析式可能为()

5ex+5e-xn5cosx

C.

X2+2■x2+l

【答案】D

(祥解I由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+8)上的

函数符号排除选项，即得答案.

【详析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且/(-2)=/(2)<0,

由普?=一等且定义域为R,即B中函数为奇函数，排除；

(-x)z+lx2+l

当x>0时5：；[)>0、5；：；)>0,即A、c中(0,+8)上函数值为正，排除；

故选：D

考点02三角函数的周期性与对称性

3.(2023•天津•高考真题)已知函数y=/(%)的图象关于直线x=2对称，且/(%)的一个周期为4,则/(%)

的解析式可以是()

A.sinB.cos(]x)

C.sinC久)D.cos(")

【答案】B

K祥解》由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足

题意的函数解析式.

【详析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：

A选项中7=答=4,B选项中T=等=4,

22

C选项中7=要=8,D选项中『=普=8,

44

排除选项CD,

对于A选项，当％=2时，函数值sincX2)=0,故(2,0)是函数的一个对称中心，排除选项A,

对于B选项，当％=2时，函数值cos6x2)=—l,故％=2是函数的一条对称轴，

故选：B.

考点03三角函数的平移与伸缩变换

4.(2022•天津•高考真题)已知f(x)=1in2x,关于该函数有下列四个说法：

①/(%)的最小正周期为2兀；

②/(%)在[-9总上单调递增；

③当％e[—看时，/(%)的取值范围为卜今月；

④f(%)的图象可由9。)=?sin(2%+少的图象向左平移g个单位长度得到.

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

(祥解』根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假.

【详析】因为f(%)=］in2x,所以f(x)的最小正周期为T=?=",①不正确；

=而y=［sint在［-；,引上递增，所以f⑺在［-十,总上单调递增，②正确；因为t=2x€

［一1■看］,sinte［-今1］,所以/(久)e［-彳,斗③不正确;

由于g(x)=|sin(2x+-^-)=］访［2(%+总］,所以/'(久)的图象可由g(x)=］sin(2x+十)的图象向右平移;

个单位长度得到，④不正确.

故选：A.

考点04三角函数的值域与最值

5.(2024•天津•高考真题)已知函数外久)=sin3(o>久+］)(3>0)的最小正周期为口.则fO)在卜套，高

的最小值是()

A.--B.--C.0D.-

222

【答案】A

(祥解』先由诱导公式化简，结合周期公式求出3,得/(x)=-Sin2x,再整体求出xe《总时，2x的

范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.

【详析】/(%)=sin3(a)x+三)=sin(3o>x+n)=-sin3tox,由T=—=n得3=

\3/3co3

即f(%)=-sin2%,当久^［一套5］时，2%c［-?T，

画出/(%)=-sin2%图象，如下图，

由图可知，/(%)=-sin2%在［一!总上递减，

所以，当久时，/(%)min=-sin?=一日

O5N

故选：A

6.(2020•天津•高考真题)已知函数/(x)=sin(x+§.给出下列结论：

①f(%)的最小正周期为2TT；

②/(9是/(X)的最大值；

③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移;个单位长度，可得到函数y=/(%)的图象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

K祥解》对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详析】因为/(%)=sin(%+»所以周期丁=詈=2向故①正确；

/(g)=sinG+3)=sin^=；H1,故②不正确；

ZZ3o2

将函数y=sin%的图象上所有点向左平移g个单位长度，得到y=sin。+$的图象，

故③正确.

故选：B.

【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是

一道容易题.

考点05三角恒等变换与解三角形

7.(2024•天津•高考真题)在AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=2,b=5,-=

16c3

⑴求G；

⑵求sin/；

(3)求cos(8—2/)的值.

【答案】⑴4

4

⑶幺

64

(祥解』(1)a=2t,c=3t,利用余弦定理即可得到方程，解出即可；

(2)法一：求出sinB,再利用正弦定理即可；法二；利用余弦定理求出cos4则得到sinA；

(3)法一：根据大边对大角确定4为锐角，则得到cosA,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法

二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.

【详析】(1)设a=2t,c=33t>0,则根据余弦定理得炉=42+c2-2accosB,

即25=4t2+9t2-2x2tx3tx—,解得t=2(负舍)；

16

则a=4,c=6.

(2)法一：因为B为三角形内角，所以sinB=71-COS2B=/—仁丫二笠,

再根据正弦定理得号=段，即*=l，解得sin力=¥，

sin4smBsmAz*?4

16

法二：由余弦定理得cos4=喀也=注丁=；，

因为力e(O,n),则sin4=Jl—(J=?

(3)法一：因为cosB=V>0,且8C(0,n),所以BC(。，1)，

由(2)法一知sinB,

16

因为Q<b,则/<B,所以cos/=Jl—(9)=4J

则sin2Z=2sinZcosZ=2x—x-=—,cos2/=2cos2i4-1=2x信)—1=

448\478

、

cos(,BC—2C4d)=cosnBcos2A+smBsm2A=—9x-1H,--5-V-7X——3V7=—57.

、,16816864

法二：sin2X=2sinZcos/=2x—x-=—,

448

则COS2A=2cos2%-1=2xf-V-1=-,

\478

因为8为三角形内角，所以sinB=71—COS2B=J1—舄丫=乎,

所以cos(B—2Z)=cosBcos2A+sinBsin2Z=—x-+—x—=—

、J16816864

8.(2023•天津•高考真题)在△ABC中，角4所对的边分别是小瓦c.已知a=回b=2,乙4=120°.

(1)求sinB的值；

⑵求c的值；

(3)求sin(B-C)的值.

【答案】(1)等

(2)5

⑶T

26

(祥解H(1)根据正弦定理即可解出;

(2)根据余弦定理即可解出;

(3)由正弦定理求出sinC,再由平方关系求出cosB,cosC,即可由两角差的正弦公式求出.

【详析】(1)由正弦定理可得，三b即熹，解得：sinB=^

sinB'sinl20°

2222

(2)由余弦定理可得，a=b+c—2bccosAf即39=4+c—2x2xcx^—0,

解得：。=5或。=一7(舍去).

⑶由正弦定理可得，急=肃，即急=熹，解得:sinC=啜，而4=12。。,

2-/39

所以民C都为锐角，因此cosC=cosB=

13

sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=晋*鬻一甯x嘿=7y/3

26

9.(2022•天津•高考真题)在AABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a=遥,b=2c,cos力=

4

(1)求C的值;

⑵求sinB的值;

(3)求sin(22-B)的值.

【答案】(l)c=1

(2)sinB=—

4

⑶sin(24-B)=手

R祥解》(1)根据余弦定理a?=+©2—26ccos4以及b=2c解方程组即可求出；

(2)由(1)可求出b=2,再根据正弦定理即可解出；

(3)先根据二倍角公式求出sin24cos24再根据两角差的正弦公式即可求出.

【详析】(1)因为a?=匕2+©2-2bccos4,即6=炉+c?+jbe,而b=2c,代入得6=4c?+c?+c?,

解得：c=1.

(2)由(1)可求出b=2,而0</<兀，所以sinZ=V1—cos2i4=—,又,所以sinB=bsinA=

4sin/sinBa

2)督_V10

V64

(3)因为cosA=--,所以三V/<兀，故0<8<巴，又sinA=V1—cos2i4=—，所以sin24=

4224

2sirh4cos/=2x(--)x—=——,cos2/=2cos2i4—l=2x——1=-而sinB=—,所以8sB=

\47481684

V1—sin2B=—,

4

故sin(24-B)=sin2/cosB—cos2/sinB=(——)x—+-x—=—.

10.(2021•天津•高考真题)在△ABC,角4B,C所对的边分别为a,6,c,已知sinAsinB:sinC=2:1:企,

b=&.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C—§的值.

【答案】(I)2V2；(II)-；(III)

416

K祥解工(I)由正弦定理可得a:b:c=2:1:鱼，即可求出；

(II)由余弦定理即可计算；

(III)利用二倍角公式求出2c的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.

【详析】(I)因为sinAsinB:sinC=2:1:由正弦定理可得a:6:c=2:1:企，

b=V2，a=2V2,c=2；

(II)由余弦定理可得COSC=可丁=:惠4斤=1

2ab2X2V2XV24

(III)vcosC=，sinC=V1—cos2C=—,

44

••・sin2c=2sinfcosC=2x—x-=—,cos2C=2cos2c—l=2x——1=-,

448168

所以sin(2C—-)=sin2Ccos--cos2Csin-=—x——-x-=3^-1.

V6/66828216

11.(2020•天津•高考真题)在△ZBC中，角所对的边分别为见瓦c.已知a=272,6=5^=713.

(I)求角C的大小；

(II)求sinA的值；

(III)求sin卜A+7)的值.

【答案】(I)C=2(II)sinX=—；(III)sin(271+-).

413\4/26

(祥解I(I)直接利用余弦定理运算即可；

(II)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先计算出sinA,cos4进一步求出sin24cos24,再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详析】(I)在AABC中，由。=2&,/?=5,©=旧及余弦定理得

ca2+b2-c28+25-13V2

COSC=-----------=-----F—=—，

2ab2X2V2X52

又因为ce(o,?r),所以c=2；

(II)在中，由。=巴，a=2VXc=及正弦定理，可得sin4=竺上=等享=空道；

4cV1313

(III)由a<c知角”为锐角，由sinZ=3p,可得cosA=V1—sin2?l=

、■125

进而sin24=2sin/cos4=—,cos2/=2cos2A—1=—,

1313

FJChl-rn4,"n71।0人•兀12五、S、，五17y/2

所以sm(2Z+—)=sin2iA4cos-+cos2/sin—=—x----1——x—=-----.

'4，4413213226

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学

运算能力，是一道容易题.

1年模拟•精选模考题

12.(2024•天津河北•二模)函数/(%)=tan]+二一，则y=/(%)的部分图象大致是()

A.B.

K祥解工根据奇偶性排除AB；根据特殊值的函数值排除D,即可得解.

【详析】函数/（X）的定义域为{小力等+kn,kez},

因为/'（一久）=—tan%-=—/（x）,

所以函数/（x）为奇函数，故排除AB；

又因为/（£）=2>0,故排除D.

故选：C.

13.（2024•天津北辰•三模）已知函数/（久）=V3sin2xcos2x+cos22x,则下列结论不正确的是（）

A./（%）的最小正周期为:

B./（%）的图象关于点（篝彳）对称

C.若八久+t）是偶函数，贝亚=白+?，fcez

124

D.f（x）在区间［0,中上的值域为［0,1］

【答案】D

（祥解FA项，化简函数求出3,即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函

数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出t的取值范围；D项，计算出xe引时4x+?的

范围，即可得出值域.

【详析】由题意，

在f（久）=V3sin2xcos2x+cos22%中，

/（%）=-ysin4x+1cos4x+1=sin（4%+勺+%

A项，o）=4,T=—=—,A正确；

32

B项，令4%+g=k兀，得％=?一±，

6424

当k=1时,%=771

24

所以/（%）的图象关于点（篝1）对称，故B正确；

C项，/（%+t）=sin（4%+4t+看）+:是偶函数，

4tH———卜k工，kEZ,

62

解得：t=2+*,kez,故c正确；

D项，当xe［o，m时，4%+看6t,勺，

所以sin(4x+—e卜T，11

所以“X)在区间［0,引上的值域为［。,|］,故D错误.

故选：D.

14.(2024•天津红桥•二模)已知(g,0)是函数/(久)=2sin(2久+0)(0<0<口)图象的一个对称中心，

则()

A.函数/⑺的图象可由y=2cos2x向左平移看个单位长度得到

B.函数f(x)在区间(一卷,詈)上有两个极值点

C.直线x是函数/(久)图象的对称轴

6

D.函数/(久)在区间(0,工)上单调递减

【答案】D

K祥解U先由正弦函数的对称中心解出0=|n,再由图象平移得到A错误；整体代入结合正弦函数图象

可得B错误；整体代入可得C错误；整体代入结合正弦函数的单调性可得D正确.

【详析】由已知可得2sin(2x|it+s)=0,可得？+<p=kw,k€Z,

因为0<(P〈立，所以0=-Ji,

所以/(%)=2sin(2x+1兀)，

对于A：由y=2cos2%向左平移看个单位长度得到y=2cos2(%+?)=2cos(2x+:］故A错误；

对于B当久e(七，詈)时，2x+|ne(H)，

设U=2x+|n,则由正弦函数图像y=sinu可知，只有一个极值点，故B错误；

对于C：/(?)=2sin(2xg+|m)=2sin3Ji=0,所以直线x=(不是函数/(x)图象的对称轴，故C

错误；

对于D：当xe(0,箸)时，2x+|由正弦函数的单调性可得久支)在此区间内单调递减，故D

正确；

故选：D.

15.(2024•天津河北•二模)已知函数/(%)=sin(a%+9)(a〉0,0<g<的最小正周期为T,若f(J)=

乎，X=看时函数/⑺取得最大值，则S=,3的最小值为.

【答案】|/|口|/1.5

"羊解』首先表示出7,根据〃T)=苧求出0=},再根据久=；时函数取得最小值，建立等式计算即可求

解.

【详析】函数/(%)=sin(3%+0)(3>0,0V0V的最小正周期为T=9

若f(T)=sin(aX"+0)=sincp=—,由。<(p<±,得。=—,

\(/)/223

所以/'(x)=Sin(3X+百)，

因为”=；时函数”X)有最大值，所以sin(%+9)=1,

故多+1=2kn+；(keZ),所以3=18k+|(keZ),

因为3>0,则3的最小值为|.

故答案为：?；|.

16.(2024•天津红桥•二模)在△ABC中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知a=6,cosB=

且bsinA=3csinB.

(1)求c的值；

⑵求b的值;

⑶求处93+看)的值.

【答案】(1)2

(2)472

(2)7用+4叵

K祥解』(1)利用正弦定理将角化边，即可得解；

(2)利用余弦定理计算可得；

(3)根据平方关系求出sinB,即可求出sin2B、cos2B,最后由两角和的余弦公式计算可得.

【详析】(1)因为bsinA=3csinB,由正弦定理可得ab=3cb,所以a=3c,

又a=6,所以c=2；

(2)由余弦定理Z?2=a2+c2-2accosB,

即〃=62+22-2X6X2X1=32,

所以b=4/(负值已舍去)；

(3)由cosB=1,BW(0,兀)，所以sinB=A/1—COS2B=手,

所以sin2B=2sin8cosB=2x工x—=—,

339

cos2B=2cos23-1=2xQ)2-1=一(

所以cos(28+5)=cos28cos十一sin2Bsin?

7V34V217V3+4V2

=----X--------------X——----------------.

929218

17.(2024•天津•二模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知b=4,a=3c,cos力=-y.

(1)求sinC的值;

⑵求c的值；

(3)求sin(22+C)的值.

【答案】⑴?

⑵百

小11V6

"羊解工(1)利用同角三角函数基本关系可求sin4进而利用正弦定理以及a=3c求得sinC的值；

(2)由题意利用余弦定理可得3c2-Wc-6=0,解得c的值；

(3)利用二倍角公式可求sin24cos24的值，利用同角三角函数基本关系可求cosC的值，进而利用两角

和的正弦公式求解即可.

【详析】⑴因为Ac(0,口)，所以sinA=—cos2Z=寺又a=3c,

所以由正弦定理可得：三=三，即叁=三，解得sinC=J

smAsmC也sinC9

3

(2)因为b=4,a=3c,cos2=X^=i6+c29c2=_l,

2bc8c3

化简可得：3c2-百c-6=o,解得C=W(负值舍去)，

(3)因为sin24=2sia4cos/=cos24=2cos24-1=

33

因为cVa,C为锐角，可得cosC=Jl-sin2c=手,

所以sin(2/+C)=sin224cosc+cos24sinC=—x—^―+(—-)xf=—^―

18.(2024•天津•二模)在△ABC中，角C所对的边分别为a,hc,且cosB(ccosB+bcosC)+1a=0.

⑴求角8的大小；

(2)若b=7,a+c=8,aVc,

①求a,c的值：

②求sin(2A+C)的值.

【答案】(1)8=号

⑵①{:X;②学

K祥解R(1)由正弦定理、两角和的正弦公式可得cosB=-5由此即可得解；

(2)①结合余弦定理可得ac=15,结合a+c=8,a<c即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得

sinX,cos?l,将sin(24+C)转换为sin(4+9，结合两角和的正弦公式即可得解.

【详析】(1)因为cosB(ccosB+bcosC)+(a=0,