数学-课件-第四章 习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合

习题课指数型函数、对数型函数的性质的综合问1：你能熟练说出指数、对数函数的图象和性质吗？问2：你能求指数型、对数型函数的单调性和值域吗？问3：你会判断指数型、对数型函数的单调性吗？一指数型函数的单调性问题

例

1

延伸探究

2.若本例不变,求f(x)的值域.

(1)求指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f(φ(x))的单调性.(2)关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0<a<1;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.

反思感悟

跟踪训练

1

√二对数型函数的单调性问题

例

2

(2)求函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调区间.令t=log0.4x,则它在(0,+∞)上单调递减.y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.由t=log0.4x>1得0<x<0.4;由t=log0.4x<1得x>0.4,故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4).

反思感悟函数单调性的判定方法与策略(1)定义法:一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法:如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间.(3)y=f(g(x))型函数:先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.

跟踪训练

2

三函数的综合应用

例

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若把本例改为y=4x-2x+1-3.求函数的值域和单调区间.延伸探究函数y=4x-2x+1-3的定义域为R,设t=2x,则t>0.因为y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4,所以函数y=4x-2x+1-3的值域为[-4,+∞).因为y=t2-2t-3在(-∞,1]上单调递减,此时由t≤1得x≤0.又指数函数t=2x在(-∞,0]上单调递增,所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞,0].同理,因为y=t2-2t-3在[1,+∞)上单调递增,此时由t≥1得x≥0.又指数函数t=2x在[0,+∞)上单调递增,所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为[0,+∞).

反思感悟对于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数；(2)求f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y=logau的单调性求解.

求下列函数的值域:(1)f(x)=log2(3x+1);跟踪训练

3f(x)的定义域为R.∵3x>0,∴3x+1>1.∵y=log2x在(0,+∞)上单调递增,∴log2(3x+1)>log21=0,∴f(x)的值域为(0,+∞).

1.知识清单:(1)指数型函数的单调性.(2)对数型函数的单调性.(3)函数的综合应用.2.方法归纳:换元法.3.常见误区:求对数型函数的单调性易忽视定义域.随堂演练四1.函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,那么f(x)在(1,+∞)上A.单调递增且无最大值 B.单调递减且无最小值C.单调递增且有最大值 D.单调递减且有最小值设u=|x-1|,∵u在(0,1)上单调递减,且函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,则a>1,∵u在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值.√1234