河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期末教学质量检测试卷（含答案）

河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期末教学质量检测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．直线2x+2y−2023=0的倾斜角为（）A．−π4 B．π4 C．π2．已知数列{an}为等比数列，若a2>0A．－4 B．2 C．4 D．±43．焦点坐标为(0，A．x2=−4y B．x2=−2y C．4．直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是（）A．若l⊥α，则l·m=0 B．若C．若α⊥β，则m·n=0 D．若5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A．14π B．18π C．24π D．30π6．方程mxA．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线7．直线y=2x−1与圆x2+yA．2 B．5 C．4 D．28．已知正三棱柱ABC−A1B1CA．3913 B．13013 C．229．过点P(1，1)作直线l与双曲线A．0 B．1 C．2 D．不能确定10．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|=2|PA．150° B．120° C．90° D．60°11．直线y=a(x+3)与曲线x2A．(−24，1) B．(−2212．如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若|AF|=23|CF|A．956 B．1007 C．18二、填空题13．若向量a=(−3，1，−18m)与向量14．双曲线x23−15．引江济淮是一项大型跨流域调水工程，2022年底试通航.如图是某段新开河渠的示意图.在二面角α−l−β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=2，AC=3，BD=4，CD=41，则该二面角的大小为16．“雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为；第n个图形的周长为.三、解答题17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若（1）求{an（2）求Sn18．已知抛物线C：y2=−2px(p>0)的焦点为F，点Q(−2，t)在C上，（1）求C与M的标准方程；（2）过C上的点P作圆M的切线l，当l的倾斜角为120°时，求点P的坐标.19．如图，四棱锥P−ABCD中，△PAB为等边三角形，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=2，E为CD的中点，平面PAB⊥平面ABCD.（1）求点E到平面PBC的距离；（2）求平面PBC与平面PBE的夹角.20．已知双曲线C与双曲线x24−y2（1）求C的方程；（2）求直线l的斜率.21．已知数列{an}前n项和为Sn，（1）证明数列{ann（2）若bn=12(22．已知椭圆C：x2a2+y（1）求曲线C的方程；（2）设P(−1，

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】直线2x+2y−2023=0化为斜截式为y=−x+2023斜率为－1，倾斜角为34故答案为：D.

【分析】根据直线方程求得斜率为-1，进而求得直线的倾斜角.2．【答案】C【解析】【解答】a62=a4a8=16，∴a故答案为：C

【分析】根据题意，结合等比数列的性质a6=±4，结合3．【答案】B【解析】【解答】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为x2由−p2=−所以，抛物线方程为x2故答案为：B.

【分析】设抛物线的标准方程为x2=−2py，根据题意求得4．【答案】C【解析】【解答】若l⊥α，则l与m共线，A错误；若l∥β，则l⊥n，即l·若α⊥β，则m与n垂直，即m·n=0若α∥β，则m与n共线，D错误，故答案为：C.

【分析】由l⊥α，得到l与m共线，可判定A错误；由l∥β，得到l⊥n，可判定B错误；由α⊥β，得到m与n垂直，可判定C正确；由α∥β，得到m与n共线，可判定5．【答案】D【解析】【解答】依题意，每段圆弧的圆心角为23所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为2π3故答案为：D.

【分析】根据题意得到第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列1，2，3，…，n，结合等差数列的求和公式，即可求解.6．【答案】D【解析】【解答】解：若m=0，n≥0，方程y2若m>0，n>0，方程表示椭圆或圆；若m<0，n≠0，方程表示双曲线；由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线.故答案为：D.

【分析】根据m=0，n≥0和m>0，n>0，以及m<0，n≠0，结合直线、圆、椭圆和双曲线的方程，即可求解.7．【答案】C【解析】【解答】由x2+y所以圆心为(−1，2)，半径为3，圆心(−1，2)到直线所以，|AB|=2r故答案为：C.

【分析】求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解法1：如图，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则由正三棱柱的性质可知B1D⊥平面ACC1A1，解法2：取A1C1的中点D1，连接B1D1，则由正三棱柱的性质可知B1D1⊥平面ACC1A1.设AC的中点为D，分别以D设AB1与平面ACC1A故答案为：A.

【分析】解法1：取A1C1的中点D，连接AD，B1D，得到∠DAB1为直线A解法2：取A1C1的中点D1，连接B1D1，分别以D1B1，9．【答案】A【解析】【解答】设直线l：y−1=k(x−1)，由x2得(2−k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故答案为：A

【分析】设直线l：y−1=k(x−1)，联立方程组，结合根与系数的关系和x1+x2210．【答案】B【解析】【解答】解：记r1=|PF1|，r2=|PF2|，由r1由e=ca=73，得c2∵0°<∠F1PF故答案为：B

【分析】由余弦定理化简得20a29−16a29⋅11．【答案】A【解析】【解答】解：由曲线x2−y|y|=1得，当y≥0时，当y<0时，x2+y2=1所以直线与曲线的图象如图.当直线y=a(x+3)与x2此时a<0，得3|a|a2+1当直线y=a(x+3)与y=x平行时，a=1，直线y=a(x+3)与曲线x2−y|y|=1要恰有2个公共点，可得故答案为：A.

【分析】根据题意，画出曲线x2−y|y|=1和直线y=a(x+3)的图象，分别求得直线y=a(x+3)与x2+y2=1(y<012．【答案】B【解析】【解答】设准线l与x轴交于点M，过A作AD⊥l，垂足为D，由抛物线定义知，|AD|=|AF|=10，由|AF|=23|CF|因为MF//AD，所以|MF||AD|=|CF|所以抛物线方程为y2设A(x1，y1)，设直线AB：y=k(x−3)，联立y2则x1∴x2∴|AB|=x故答案为：B.

【分析】过A作AD⊥l，垂足为D，根据题意求得p=6，得到抛物线方程，根据|AF|=x1+p2=10，设直线13．【答案】1【解析】【解答】当m=0时，此时a=(−3，1，0)当m≠0时，向量a，b共线，所以−31∴m=1故答案为：1

【分析】当m=0时，得到a，b不共线；当m≠0时，根据题意得到14．【答案】y=±【解析】【解答】因为双曲线为x23−故答案为：y=±3

【分析】根据双曲线的几何性质，即可求解.15．【答案】120°【解析】【解答】解：设二面角为α，由CD=CA==3∴cosα=−12，∵0<α<180°，故答案为：120°.

【分析】设二面角为α，根据CD=CA+16．【答案】163；【解析】【解答】记第n个图形为Pn，边长为an，边数bnP1有b1条边，边长a1；P2有P3有b3=42即an=(13当第1个图中的三角形的边长为1时，即a1=1，所以Ln当n=3时，L3故答案为：163，

【分析】记第n个图形为Pn，边长为an，边数bn，周长为Ln，利用归纳法得到17．【答案】（1）解：设数列{an}的公差为d，则a∴an（2）解：Sn当且仅当n=7或n=8时，Sn取最小值，Sn的最小值为【解析】【分析】（1）设数列{an}的公差为d，根据题意列出方程组，求得a1，d的值，即可求得{18．【答案】（1）解：由抛物线定义可知，|QF|=2+p2=3，∴p=2将x2+y圆心M(2，0)，即圆M的标准方程（2）解：设切线l：y=−3x+b，由d=|23−b|所以，切线l：y=−3x，或联立，y=−3xy2=−4x联立，y=−3x+43综上，所求点P的坐标为(0，0)或【解析】【分析】（1）由抛物线定义得到|QF|=2+p2=3，求得p=2，得到C的方程为y2=−4x，进而得到圆的标准方程；

（2）设切线l：y=−3x+b，根据圆心到直线的距离等于半径，求得b=019．【答案】（1）解：取AB的中点O，连接OP，因为，△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB.因为，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PO⊥平面ABCD.又AD∥BC，E为CD的中点，∴OE∥BC，∵∠ABC=90°，∴OE⊥AB.分别以OB，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，则B(1，0，0)，C(1，2，PB=(1，0设平面PBC的法向量为n=(xPB⋅n=0令z=1，得平面PBC的一个法向量为n=(又EC=(1所以点E到平面PBC的距离d=|（2）解：又PE=(0设平面PBE的一个法向量为m=(则PB⋅m=0令z1=3则|cos故平面PBC与平面PBE夹角为30°.【解析】【分析】（1）取AB的中点O，连接OP，根据题意证得PO⊥AB和OE⊥AB，以O建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量n=(3，0，1)和EC=(120．【答案】（1）解：设双曲线C的方程为x24−y2∴λ=−2，所以，双曲线C：x24−（2）解：易知直线l的斜率存在，设直线l：y=kx+m，设P(x1，联立y26−所以x1+xΔ=64k由直线AP，AQ关于直线x=2对称，知kAP可得y1即(x即2kx所以2k×4(化简得4k2−4k−3+m+2km=0所以k=−12或当m=3−2k时，直线l：y=kx+m=k(x−2)+3过点A(2，故k=−1【解析】【分析】（1）设双曲线C的方程为x24−y23=λ，将点A(2，3)的坐标代入方程，求得λ=−2，即可得到双曲线的方程；

（2）设直线l：y=kx+m，联立方程组求得x1+x221．【答案】（1）证明：由题知an+1即an+1即an+1n+1+2=2(ann+2)∴数列{a∴ann+2=4×2（2）解：bn∴Tn=1×2+2×∴2Tn①－②得，−=2(1−∴Tn【解析】【分析】（1）根据题意，利用an+1=Sn+1−Sn，