山东省枣庄市市中区2024-2025学年高二上学期期末阶段性质量监测数学试题（解析版）

第页，共页第17页，共17页2024—2025学年度第一学期市中区阶段性质量监测高二数学试题考试范围：选择性必修一：考试时间：120分钟：第1卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案．【详解】因为A，B在直线l上，所以，与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线.故选：B2.过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出两直线交点坐标，求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由，解得，得直线与的交点为点．因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率，因此，所求直线的方程为，即．故选：B.3.椭圆的焦点坐标为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，直接求出椭圆焦点坐标作答.【详解】椭圆的长短半轴长分别为a，b，有，则椭圆半焦距，显然，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为.故选：A4.在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（）A. B.夹角的余弦值为C.A，B，C，D共面 D.点O到直线AB的距离是【答案】B【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D.【详解】因为，所以，A正确；夹角的余弦值为，所以B错误；因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确；因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确．故选:B．5.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将圆方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围.【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径，则表示圆上的点与点的连线的斜率，过点作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为，即．则k+2−kk2+1所以的取值范围为．故选：C．6.已知，向量，，，且，，则的值为（）A.－1 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案.【详解】因为向量，，，由，则，解得，由，则，解得，则.故选：A.7.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解.【详解】圆的圆心为O0,0，设对称圆的圆心为，依题意得，解得，又圆的半径与对称圆的半径相等都为2，所以对称圆的方程为.故选：B.8.已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率．【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上．设，则，，．在中，，得，则，.在中，，即，得．所以双曲线C的离心率为.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列结论正确的是（）A.椭圆的焦点坐标是B.双曲线的顶点坐标是C.抛物线的准线方程是D.直线与圆相交【答案】AC【解析】【分析】由圆锥曲线的焦点坐标、顶点坐标以及准线的定义即可判断ABC，由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断D.【详解】在椭圆中，因为，，则，且焦点在轴上，A正确．双曲线的顶点在轴上，B错误．抛物线开口向左，，准线为，C正确．圆心到直线的距离，则直线与圆相切，D错误．故选：AC.10.已知直线，下列说法正确的是（）A.直线过定点B.点到直线的最大距离为C.直线一定经过第四象限D.当时，直线关于直线的对称直线为【答案】ABD【解析】【分析】求出直线恒过的定点可判断A；当时，点到直线的距离最大，求出最大距离可判断B；直线不一定经过第四象限可判断C；先求出直线与直线的交点，再求出直线上一点关于直线的对称点，由两点式即可求出，可判断D.【详解】对于A，，令，可得：，所以直线过定点，故A正确；对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大，且最大距离为，故B正确；对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误；对于D，当时，直线，设直线关于直线的对称直线为，一定经过直线和直线交点，设为，由可得：，所以，在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上，所以，解得：，所以，在直线上，所以，化简可得：，故D正确.故选：ACD.11.在正方形中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.B.当点为中点时，与相交于一点，且C.存在点，使得平面D.异面直线与所成角的余弦值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，直接证明平面即可判断A；对于B，设和相交于点E，则，所以，即可判断B；对于C，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用共线向量，即可判断C；对于D，由和进行求解，可判断D.【详解】对于A选项，在正方体中，易知，由平面，得，而，故平面，所以，同理可得，又因为，所以平面，又平面，∴，故A正确；对于B选项，当为中点时，根据题意可得，为中点，设和相交于点E，连接和，如图所示：，因为，所以，故B正确；对于C选项，设正方体的边长为，建立如图所示直角坐标系，则,，设平面的法向量，则,则，令，则，故，设，则，则，由平面，则，所以，则不存在,即不存在使得平面，故C错误；对于D选项，由，，则，此时，即为中点，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点，，则AB的中点坐标为______，=______.【答案】①.②.【解析】【分析】直接利用中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值.【详解】设线段的中点坐标为，由中点坐标公式可得，即线段的中点坐标为，所以．故答案为：；.13.抛物线的焦点坐标为________．【答案】【解析】【分析】将抛物线方程化为标准形式后可得结果.【详解】由得，所以，，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：14.已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．【详解】，，的夹角为锐角，，且不能同向共线．解得，．则的取值范围为．故答案为:．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知点为坐标原点，向量，计算：（1）求向量同向的单位向量；（2）若，求的值；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据单位向量定义求向量同向的单位向量；（2）应用向量的线性运算和垂直的坐标表示列方程求参数.【小问1详解】因为，，所以，与同向的单位向量为.【小问2详解】因为，，又，所以，即.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，PD⊥平面ABCD，且，．（1）求证：平面PCD；（2）求AP与平面CMB所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中点为，分别连接，利用中位线性质得，再根据线面平行的判定即可.（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．【小问1详解】取中点为，分别连接，又因为是PA的中点，N是BC的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面PCD.【小问2详解】以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示则，，设平面的法向量，则，即，令，则，.设直线与平面所成的角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】.设平面的法向量m=x,y,z，即，令，则..又平面的法向量.设二面角的大小为，则为锐角，，所以二面角的余弦值为．17.已知椭圆E：的离心率，左焦点，（1）求椭圆E的标准方程；（2）过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，若，求直线l的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求出即可；（2）当k不存在时，弦长不符，当k存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式列列方程求出斜率，则直线方程可得.【小问1详解】，，∴，，所以椭圆方程为；【小问2详解】设，当k不存在时，通径（舍）；当k存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立消去得：，，∴；解得，故直线方程为：.18.若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.（1）求圆的标准方程.（2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.（i）求的方程.（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）直线过定点【解析】【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程；（2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可.【小问1详解】因为圆心在直线上，设，且点，均在圆上，则，可得，解得，即圆心为，半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】（i）因为，由题意可得：，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆，所以的方程为；（ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，，联立方程，消去y可得，则，且，因为，整理可得，则可得，即或，当，直线过定点；当，直线过定点，不合题意；可知直线过定点；若直线l的斜率不存在，设，则，即，且在圆上，则，即，解得，不合题意；综上所述：直线过定点.【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点；2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．19.已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．（1）当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程：（2）对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值．【答案