2022年初中数学：新人教版八年级下册导学案

第十六章二次根式

第1课时二次根式的定义

学习目标:

了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的

取值范围。

理解二次根式的非负性

学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用

学法指导：小组合作交流一对一检查过关

导：

看书后填空：二次根式应满足两个条件：(1)形式上必须是右的形式。(2)被开方数必

须是数。

判断下列格式哪些是二次根式？

⑸+i(6)y/a+3(7)4a(8)7-2x(x<0)

学：

代数式有意义应考虑以下三个方面：(1)二次根式的被开方数为非负数。(2)分式的分母

不为0.(3)零指数累、负整数指数基的底数不能为0

当x是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？

y/x-2(2)-1(3)V3-X+Vx-1⑷必(5)7P-(6)

(。-1)。

(1)常见的非负数有：片,时,

(2)几个非负数之和等于0,则这几个非负数都为0.

已知：V2^+4+V^2=0,求a,b的值。

巩固练习：

已知j2a+l+0—3)2=0,求/用的值

2.已知,jx-2y-3+|2x-3y-5|=0则8y的值为

1.下列各式中：①一J/+5②同万③羽④表7⑤一2c⑥

J-x+3其中是二次根式的有。

2.若万M+J—有意义，则X的取值范围是_______

V2x-1

3.已知y=y/x-2+飞2-x+1,则Xy-

4.函数y=12+x中,自变量x的取值范围是（）

(A)X>2(B)X22(0X>-2(D)X2-2

5.若式子有意义，则P（a,b）在第（)象限

（A）一（B）二（C）三（D）四

6.若y/a+1+Vb—T=0,则a?。"+Z?2011=

7.方程|44_8|+=0,当y>0时，m的取值范围是

8.已知y2-4y+4+Jjv+y-l=0,求xy的值

展：小组展示成果，提出质疑

评：

1.组内互助，解决质疑并进行小组评价。

2.知识方法小结：（交流后填空）

（1）二次根式的定义：一

（2）二次根式有意义的条件：一

（3）二次根式的性质：右（〃20）是数，即—―0

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第2课时二次根式的性质

学习目标：理解二次根式的性质，并能运用性质

学习重难点：二次根式的性质的理解和综合运用

学法指导：先自学质疑，再小组互助，最后请求老师帮助

导：

♦看书完成填空：

1.6（a20）是一个_________数2.{jaJ=_（a20）

________（〃〉o）

3.Ja1=同=«（a=0）

________（。〈0）

4.代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把_____和表示数的

—连接起来的式子，叫做代数式。

学：

♦在二次根式的运算时，要熟练地利用公式（&）-=______(〃20)及(次02=//进

行计算

例1.计算：（1）（疝）2（2）（2石］（3）—)⑷g-(-3扃

例2.实数范围内分解因式：m2-3

________（。〉0）

♦二次根式化简：=|。|='________（a=。：

_______Q〈o）

例3.化简：（1）716（2）7（-5）2（3）后(4)/(&_份

练：

1计.算：（I）/1（2）（3V2）2（3）(4)-(Vii)2+(-2V5)2

2.实数范围内分解因式：2X2-4

3.说出下列各式的值：（1）TaF（2）|(3)(一万I

(4)710^(5)扃

4.已知0<x〈l时，化简忖一忒"1）2的结果是（）

A2X-1B1-2XC-1D1

5.若a+J（-a）2=0,则a的取值范围是（）

Aa=0Ba20CaWODa为任意实数

6.若血_好+/（〃—3）2=2,贴a的取值范围是（）

Aa23BaWlClWaW3Da=l或a=3

7.已知—=7,求/^~1—方•的值。

a

8.在/\ABC中,a,b,c是三角形的三边长,试化简扬工尸一2年一〃一司

展：小组展示成果，提出质疑

评：

知识方法小结：二次根式的性质:

(1)(2)(3)

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗?

（五）作业

（六）反思

第3课时二次根式的乘法

学习目标：掌握二次根式乘法法则的运用，会把二次根号外的因式移到根号内

学习重难点：二次根式的乘法运算和化简及二次根号外的因式移到根号内

学法指导：利用类比，由一般到特殊，再由特殊到一般的思维方式

导：

♦二次根式乘法法则：8•氏=(a20,b20)

例1：计算：(1)V3xV5(2)gx炳(3)4历xzR

学：

♦利用4ab=4a•\[b(a>0,b>0)及7^=a(a>0)进行化简

例2.化简(1)716x81(2)府齐(3)J(-5八(—3)2(4)^(-16)x(-49)

♦二次根式的被开方数不含开得尽方的因数或因式

例3.计算：(1)V14xV7(2)3后x2屈(3)伤

♦运用公式。=巾(。20)和族=&•扬(。之0,力之0)进行解答，解答时注意符号

例4.把下列各式中根号外的因式移到根号里面

(1)2J-(2)lOVOJ(3)a

一、选择题:1.化简二次根式J(—5)x3=()

A-573B5^3C±5百DV75

2.下列计算正确的是()

AJ(-4卜(-9)=V-4x=-6B712x27=V4XV8T=18

C716+4=716+74=4+2=6

3.化简^(-16)x49x(-121)得()

B±22C±308

4.如果一10〃7+24=yJm-4•\lm-6,则实数m的取值范围是()

A11124Bm26C4WmW6I）m一切实数取

二、填空题

5.计算：V5xV6==y/5（）x4y=iV90=

6.已知一个三角形的底边长为屈cm,底边上的高为acm,则此三角形的面积为:

7.点P（x,y）在第二象限，化简正7=

三、解答题

8.计算：（1）-V12x5V3

2

⑶2限屈x后（4）792-42

展：小组展示成果，提出质疑

评：1.解决质疑：组内交流后仍不明白，向老师请教。

2.知识方法小结：二次根式乘法法则：

二次根式法则逆用：__________________________

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第4课时二次根式的除法

学习目标：掌握二次根式除法法则的运用及法则逆用，训练逆向思维能力。

学习重难点：理解和运用事=、号（心0,力o）和

、和（W）

学法指导：利用类比，由般到特殊，再由特殊到•般的思维方式

学:

运用NO,3。）计算或化简

例2.计算：（1）巨

V100

练:

1.下列计算正确的是（）

CV32+42=3+4=7

2.等式J上=-?丝成立的条件是()

U-3

Ax六3Bx20Cx20且xW3Dx>3

3.计算+的结果为()A2V2xB|xC6岳n2也

D----x

3

4.计算:⑴噂

5.在4ABC中，BC边上的面h=60cm,它的面积恰好等于边长为3行的正方形面

积。则BC的长为

6.计算：J18+8x

7.计算：(1)+yj2xy(2)46灯同

展：小组展示成果，提出质疑

评：

L组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。

2.知识归纳：

二次根式除法法则及逆用：四＞（）/〉0）和加=0,加0）

VbNb\by/b

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第5课时最简二次根式

学习目标：理解最简二次根式的概念，并运用其化简，能检验计算结果是否是最简二次根式

学习重难点：最简二次根式的运用和判断结果是否是最简二次根式。

学法指导：小组合作交流一对一结对子检查过关。

导：

♦最简二次根式有如下两个特点：

（1）被开方数不含（2）被开方数中不含开得尽方的我们把上述

两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

♦二次根式的计算和化简结果，一般都要化成二次根式。

例1.计算：（1）W露）退（3）卷

V5A/2742a

学：

♦分式化简：（1）分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式进行化简

（2）分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘以适当的二次根式，二是根据题目的

特点，把分母或分子当地分解因式，再约分。

例2.化去下列各式分母中的二次根式

⑴竽⑵旧⑶仁⑷口。/〉。）

例3.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=2.5cmBC=6cm,求AB长。

练：1.下列各式中，最简二次根式的是（）

AV64B坐C2qD

2.将小；化成最简二次根式为（）

A-V3OB6730C-V5D6后

66

3.已知a=V24-1,b=则a与b的关系是（)

Aa=bBab=lCa+b=0Dab=-l

4.下列各式中，变形正确的是()

①晤=a8②3凤闹③5=(@®^==b4^b

=472©­!-==2+^3

2-V3

A.5个B4个C3个D2个

5.化成最简二次根式为

6.观察下列各式:请将猜

想到的规律用含自然数n（n^l）的等式表示出来

7.计算：（1）奈⑵3疝V2-1

(3)「

8.计算:

9.如图，在RtAABC中，NO90°,ZA=30°,AC=2cm,求斜边的长

展：小组展示成果，提出质疑

评：1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。

2.知识归纳：分式化简：（1）分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式进行化简

（2）分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘以适当的二次根式，二是根据题目的

特点，把分母或分子当地分解因式，再约分。

补：【拓展】已知＞=£一噂，+.求Y—4盯+心的值。

V5+V3V5-V3

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第6课时二次根式的加减

学习目标：理解和掌握二次根式加减的方法。先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗

透对二次根式进行加减的方法的理解

学习重难点：二次根式化简为最简根式；会判定是否是最简二次根式。

学法指导：类比整式加减，注意思维方式的训练。

导：

1.几个根式中，根指数是()，并且被开方数()的根式叫做同类二次根式。

2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成()再将被开方数相同的二次根

式进行().

3.计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

4.计算下列各式.

(1)2>/2+3V2(2)2-3y/s+5y/S

(3)5/7+2yjl+35/7(4)35/3-2y/3+y/2,

学：

♦二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次

根式进行合并

例1、(1).>/9a+V25a；(2).V80-V45

例2、⑴2阮-6.+3屈(2)(712+V20)+(石一6)；

练：

1.以下二次根式：①屈；②岳;③岛④厉中，与G是同类二次根式的是

().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3=6；②一\/1=1；③=5^=2；

7

④矍=2a,其中错误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

5、在武，巫，J万，M中与百是同类二次根式有

6、4-718%=10,则x等于.

7、若6的整数部分是a,小数部分是b,则岳-6=.

8、已知a=3+2&,b;3-2夜，则a%-ab邑

9、M+(&+l)T+(-2产10、2屈+3旧-旧-1屈

展：小组展示成果，提出质疑

评：1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。

2.知识归纳：

♦同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被升方数相同，那么它们

就叫做同类二次根式。

♦同类二次根式可以像同类项那样进行合并。［本概念了解即可】

二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的根式。有

括号时，要先去括号。

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第7课时二次根式的加减

学习目标：利用二次根式加减法解决一些实际问题.培养学生将实除问题抽象为数学问题

的能力.获得把实际问题转化为数学问题的体验。

学习重难点：将实际问题抽象为数学问题和二次根式的混合运算，被开方式中含有字母、

被开方式中含有分母的二次根式的化简。

学法指导：利用转化思想，细心计算，注意提升计算能力。

导：

♦将实际问题转化为（）。

♦二次根式的混合运算法则：（口答）

♦复习巩固：（1）厢一幅十方；⑵3历一左一2偌

学：

♦数学来源于生活,应用于生活，因此我们应该热爱生活,热爱数学;将实际问题转化为数

学问题，只要审清题意弄明白，就一定可以做出来

例3.要焊接一个如图21.3-1所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0.01m）?

[75»2.2361B

021.3-1

♦二次根式仍然满足整式的运算律，故可直接用整式的运算律。

例4、计算：【讲解完成后类比完成书上例题】

(1)(y/6+>/8)x>/3(2)(4>/6-3>/2)+2及

练：1、计算:

(2)(5加一6厉+4厉)+«§

⑶唔-2X4）+3石⑷弓手一弓笠

2.【20分】如图，RtZ\AMC中，ZC=90°,ZAMC=30°,厢BN,MN=2cm,

BC=lc制则AC的长度为（）

A、cmB、3cmC、3.2cm^l^cm

2

3.解答题：【每小题40分】/JB

(1).己知RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=2&cm,

BC=V10cm,求AB上的高CD长度.

(2).y=：1—8工+5/8工一1+1,求代数式/2+£+2-」二+「一2的值

2\yx\yA

展：小组展示成果，提出质疑

评：1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。

2.体会数学中的转化思想：

3.理解二次根式四则运算：

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗?

（五）作业

（六）反思

第8课时二次根式的加减

学习目标：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用；

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算

学习重难点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；由整式运算知识迁移到含二次根式的运

算。

学法指导：类比整式运算中乘法公式进行二次根式的运算。

导：

♦二次根式的混合运算法则：。

.二次根式性质和化简的内容：O

♦计算

(1)(2x+y)•zx(2)(2x2y+3xy2)-rxy

♦计算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

学：

♦整式中的运算规律也适用于二次根式

例1.计算【讲解完成后类比完成书上例题】

(1)(石+6)(3-逐)(2)(VW+V7)(V10-V7)

♦巩固练习【师生共同分析思路，学生再思考完成】

1.(7+4>/3)(7-4>/3)-(3>/5-1)2

2222

3.(1+V2)(1+V3)(1-^)(1-V3)a-ba+b—lyfab

4a-4b4a-\[b

练:

1

1.当其，时，式子有意义.

\fx-3

2.a—7«2-1的有理化因式是—

3.当1V/V4时，|>一4|+Jd-2x+l=.

4.若Jx+1+Jy-3=0,则(A—1)24-(y+3)2=.

5.x,y分别为8—JIT的整数部分和小数部分，则2灯一/=_

6.已知Jd+Bf=—x/x+3,则.........()

(A)后0(B)后一3(C)42—3(D)-3WW0

7.若xVy<0，则yjx2-2xy+y2+yjx2-^-2xy+y2.()

(A)2x(B)2y(C)-2x(D)-2y

8..化简——(a<0)得.............()

a

(A)yPa(B)-4a(C)-4^a(D)4a

1/T1

9、已知x+-=J5,那么x--的值是()

Xx

A、1B、-1C、±1D、4

回必-+l层1)°+-zJ—

10.计算：V2-1

11.已知

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第9课时二次根式的复习

学习目标：二次根式的概念及其性质；二次根式的化简及运算；二次根式的相关运用。

学习重难点：二次根式的双重非负性的理解；二次根式的化简。

学法指导：小组合作交流一对一结对子检查过关。

导：知识点回顾

1、二次根式：（1）定义：0（。之°）（2）两个公式：①（、6）2=N0）②

=\a\

2、积、商的算术平方根:

(a之O,Z?>O)

二&■巫（心0,

3、二次根式的乘除法：

4a•\/b=>/ab(a20,b20)(a20,b>0)

4、积、商的算术平方根的性质与二次根式的乘除法法则是一个统一的整体,

如：旧•«=J14X7=J2X72=肝*血=他

学:

例1：x是什么实数时，下列各式在实数范围内有意义:

力X—3，J1+.2

例2：化简:

(1)|4x|(x<0)⑵\a-3\(a<3)

x

I(X>1)

\-x(4)

例3、计算（4屈-5叵）+6

1J_____1_

例4、化简：（1）百一2⑵V541-\

542

例5.；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根

4-VTTVTT-V73+A/7

式.

练:

1.下列式子中，是二次根式的是()A.-y/7B.用C.6D.X

2.下列根式中，是最简二次根式的是()

A.\l0.2bB.Jl2a-126C.y]x2—y1D.\j5ab2

3.若O〈¥V1,则'(1--)2+4—J(x+g)2-4等于……()

22

(A)-(B)--(C)-2x(D)2x

xx

4.下列根式中，与百是同类二次根式的是()

A.V24B.y[\2C.4I).M

5.把(a-l)J一一、中根号外的(a-1)移入根号内得().

Va-1

A.y/a—1B.y/1—ciC.-Ja—1D.~yj\~ci

6.若的整数部分为x,小数部分为y,则6—y的值是（）

A.373-3B.6C.1D.3

二.填空题

7.已知：Jx+2+（x+a=0,则不?一肛=o

8.三角形的一边长是J石cm,这边上的高是病cm,则这个三角形的面积是

1

9.计算：3+6的结果为

10.已知贝=

X=75+LJ=A/3-1,

11.化简①)5-2«二②J7_2n=【两个题选做一个即可】

12.已知]，那么1的值是

三.解答通+片,5

1.计算：（:）-2一|1一15]2P2.当x一时，求V-2尸1的值

2V2-1

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第十七章勾股定理

第1课时一一勾股定理（1）

一、教学目标：

1、能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理；

2、知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示;

3、能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题。

二、教学重点：知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用

式子表示。

教学难点：能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理；

三、学习过程：

（一）导入：勾股定理的探究：

1、利用几何图形的性质探索勾股定理：

探索一：剪4个与图1完全相同的直角三角形,

再将它们拼成如图2所示的图形。

大正方形的面积可以表示为：

又可以表示为__________________

•・•两种方法都是表示同一个图形的面积

即=

.・・>:（用字母表示）

2、将图2沿中间的正方形的对角线剪开，

得到如图所示的梯形：

直角梯形的面积可以表示为：

三个直角三角形的面积和可以表示为：；

利用“直角梯形的面积”与“三个直角三角形的面积和”的关系，可以得到:

++

即=

'・；（用字母表示）

3、利用代数的计算方法探索勾股定理:

探索一：如图一，观察图中用阴影画出的三个正方形（每一个

小方格的边长为1）

b

⑴

⑵

V5,+S2=,S3=；

•*•二

即：+=(用字母表示)

探索二：利用右图画出一个两条直角边分别为AC=3厘米、BO4厘米的直角三

角形，

(1)用刻度尺量出斜边的长AB二厘米，

(2)计算：AC2+BC2==

AB2==

即：+=(用字母表示)-------------

3、勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为。，b,斜边长为c,那

么。

公式变形：c2=,a2=,b2=

(二)讲授新课：勾股定理的应用：

例1.在RtZ\ABC中，ZC=90°.

(1)己知a=6,b=8,求c；(2)己知a=2,c=5,求b.

解：(1)在R/AA/C中，根据勾股定理,

Ac=

(2)在RAA8C中，根据勾股定理,

b2==

・・・b二

(三)课堂练习：

1、在RtAABC中，NC=90°.

(1)已知a=3,b=4,求c；(2)已知c=10,a=6,求b.

解：⑴在中，根据勾股定理,(2)在R/AA3C中，根据勾股定

理，

・2

.・C二__________________________

/.C二__________________________

3、在，ZC=90°,

(1)若a=6,b=8,则c=；(2)若c=13,b=12,则

(3)若a=4,c=6,贝！Ib=。

4、在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长

为。

5、在一个直角三角形中，若斜边长为17cm,—条直角边的长为5cm,则另一条

直角边的长为o

6、如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角

形的斜边长为,周长为。

7、已知aABC中，NB=90°,AC=25cm,BC=24cm,求AB的长.、

解：由NB=900知，直角边是，斜边是

LX

根据勾股定理得，AB2=

AAB=

8、如图,ZXABC中，AB=AC,BC=8,中线AD=3。求AB的长度。

解：••・△ABC中，AB=AC,AD是中线A

・・・ZADB=

BD=_______=________=

在RAAND中，1人序二

AAB=

9、等边三角形的边长为2,求这个等边三角形的高和面积。

10、己知等腰直角三角形的斜边长为2厘米，求这个三角形的周长。

解：如图，在等腰直角三角形ABC中，设AC=BC=x

在RtN\BC中，Z=90°

根据勾股定理得：+=

11、如果一个如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，求这个

三角形的周长。

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗?

（五）作业

（六）反思

第2课时一一勾股定理（2）

一、教学目标：

掌握勾股定理，能用勾股定理解决某些简单的实际问题。

二、教学重点：掌握勾股定理，能用勾股定理解决某些简单的实际问题。

教学难点：熟练勾股定理，并利用它们的特征解决问题。

三、教学过程

（一）复习导入：1、如图①在RTZ\ABC中，ZC=90°,由勾股定理，

得=,c二

2、在RtZ\ABC中，ZC=90,>

①若a=l,b=2,贝!JcJ==/.c=

②若a=l,c=2,贝！JbJ==；.b=

③若c—10,b—6,则a2—==a=

（二）新课讲授：

例1:（1）在长方形力坑刀中/0、BC、47人小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示。

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过?

②若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

解：⑴____________________

（2）答：①:

②:_________廿1m

••,在RtZXABC中，由勾股定理，AC2=AB2+BC2=:

:.AC=______

因为AC木板的宽，所以木板从门框内通过。

（三）课堂练习：

1、己知要从电杆离地面5米处向地面拉一条长7米的电缆,

求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离。

解：由题意得，在RtZ\ABC中：二5米，二7米

根据勾股定理,得AB?二

AAB=

2、如图,一个圆锥的高A0=2.4cm,底面半径0B=0.7cm,

求AB的长。

解：

3、如图，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设

桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128

米.问从点A穿过湖到点B有多远？

解：由题意得：在R/A/WC中，ZB=9O

根据勾股定理得：

AB2二二二

AAB=

・•・从点A穿过湖到点B有

4、求下列阴影部分的面积：

（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是

半圆.

正方形的边长二

正方形的面积=______________

长方形的长二

长方形的面积为_______________

（3）

圆的半径二

半圆的面积为_________________

5、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆8米处，旗杆折断之前有多

少米？

（提示：折断前的长度应该是AB+BC的长）

解：

6、如图所示，求矩形零件上两孔中心A和B的距离。

（精确到0.1mm）（分析：求两孔中心A和B的距离即

求线段—的长度）

解：如图：AC=

BC=

VRtAABCZC=90°,

由勾股定理，得

AAB2==

AAB=

答：

7、在ZkABC中,ZC=90°,AB=10o

(1)若NB=30°,求BC、ACo

(2)若NA=45°,求BC、ACo

8、如图，一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙力。上，这时力。的距离为

2.5米。

①求梯子的底端5距墙角。多少米？

②如果梯子的顶端力沿墙角下滑0.5米至C,请同学们：

猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值是多少？（结果保留两位小数）

9、一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A向东南方向航行。另一艘轮船在同

时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距

多远？（自己画图，标字母，求解）。

北

西东

A

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？南

（五）作业

第3课时一一勾股定理的逆定理（1）

一、教学目标；

1、掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角

三角形。

2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、教学重点：掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角

形是直角三角形。

教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、教学过程

（一）复习巩固：

1、如图，在RtZ\ABC中，ZC=90',三边长为a,b,c

（1）两锐角关系Z___+N____=90"/

（2）三边之间的关系（勾股定理）：2+J/

2、求出下列直角三角形的未知边。B

AC=BC=BC=

（二）讲授新课；

1、已知：在RtZXABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且I+b?=c?。

求证：ZC=90°o

分析：①思考：证明一个角是90”有何方法？

②按要求画出图形作△ABC,使BC=a,AC=b,NC=9（T。

③在RSA'BC中，ABZ=o

@AZBZAB,（填“二”或“W”）作图：

⑤4（）

®ZC___ZCz（填“二”或“W”）

2、小结：如果三角形的三边长a,b,c满足______________,

那么这个三角形是三角形。>

3、定理的应用：

例：判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？若是，指出哪一

条边所对的角是直角。

(1)a=15,b=20,c=25

(2)a=40,b=50,c=60

(3)a=l,b=2,c=V3

(三)课堂练习：

1、用勾股定理的逆定理判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角

形？

53

(1)a=1.5>b=2,c=2.5(2)a=—，b=l,c=—

44

2、古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果〃z表示大于1的整数，a=2m,

22

b=m-\fc=m+\f那么为勾股数。你认为对吗？如果对，你能利用

这个结论写出三组勾股数吗？

证明：(1)Va2+b2=()2+()2=+

c2=()2二

Aa+b2c2(填“二”或“W”)

(2)当m=2时，2m=,m2-1=—,m2+1=__,为一组勾

股数；

(3)当机二3时，2机=__,m2-\=_,m2+\=—,为一组勾股

数;(4)当相二_时，2tn=,m2-1=—,疗+1=,为

一组勾股数。

3、各组数中，以为边的三角形不是直角三角形的是()

A、a=\,b=2,c=3B、a=7,/?=24,c=25

C、a=6,Z?=8,c=10D、a=3,Z?=4,c=5

4、三角形的三边4,加0满足(〃+。2-。2=2"，则此三角形是()o

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形

5、已知是AABC的三边，且满足|a—3|+底4+(c—5)2=0,则此三角形

是。

2、一个三角形的三边长分别是6,8,10,求这个三角形最长边上的高。

6、己知在AABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm。

已知如图AD=4,AB=3,NA=90°,BC=13,CD=12。求四边形ABCD的面积。

提不：①S四边院SCO=^AABD+_

②AABD是RtZ\,ABDC

AD

7、若4ABC的三边满足42+/+。2+338=10々+2助+2&,试判断AABC

的形状。

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？

（五）作业

（六）反思

第4课时一一勾股定理的逆定理(2)

一、教学目标：

1、通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题

不一定成立；

3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、教学重点：了解逆命题、逆定理的概念。

教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、教学过程

(一)复习导入：1、求出下列直角三角形的未知边。

2、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线为

68cm,则这个桌面o(填“合格”或“不合格”)

(3)已知一个三角形的三边长分别为12、16、20,则这个三角形是三角

形，它的面积是。

(二)讲授新课：

1、逆命题、逆定理的概念：

命题1:若直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,则/+〃=/

题设：,结论：

命题2：若三角形的三边长满足/+〃=/,则这个三角形是直角三角形.

题设：,结论：

(1)：命题1与命题2的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做

，如果把其中一个叫做，那么另一个叫它的o

(2)：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，则它也是一个定理，那么称

这两个定理互为。

2、在数轴作出表示风的点。

分析：利用勾股定理，长为炳的线段是直角边为正整数_、—的直角三角形

的斜边。

作法：

(1)在数轴上找到点A,使OA=_,

(2)作直线/_L0A,在/上取点B,使AB二，

-2-1012345

（3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧,

弧与数轴的交点C即为表示相的点。

（三）课堂练习：

1、下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？

（1）同旁内角互补，两直线平行；

（2）如果两个角是直角，那么它们相等；

（3）全等三角形的对应边相等；

（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等。

2、命题“对顶角相等”和“相等的角是对顶角”是（）

A、互逆命题B、互逆定理C、都是真命题D、都是假命题

3、命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是

________________________，它是______命题。A[

4、李师傅在操场上女装倒单杠，要求单杠与地面平行，杠与11

两撑脚垂直，如图所示，撑脚长3m,两撑脚间距离BC为2nb

则AO,就可以符合要求。BII

5、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回

到原地。由此我们可以得出：小明向东走80米后，又向方向走的。

6、在数轴作出表示布的点。

提示：长为的线段是直角边为-2-1012345

正整数_、_的直角三角形的斜边。

7、在△ABC中，NA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,且

a3-ah2+ac2=0,贝必ABC是三角形，且N—=90°。

8、边长分别是a,。,c的ABC,下列命题是假命题的是（）。

A、在AABC中，若NB=NC-NA,则AABC是直角三角形；

B、若/=[+cX*c），则4ABC是直角三角形；

C、若NA：ZB:ZC=5：4：3,则4ABC是直角三角形；

D、若a:＞：c=5:4:3,则△ABC是直角三角形。

9、在△ABC中，ZC=90°,己知a:8=3:4,c=15,求人的值。

10、如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，4ABC的位置

如图所示，你能判断aABC是叶么三角形吗?请说明理由。

B

1k如图，ABJ_BC于点B,DC_LBC于点C,点E是BC上的点，

ZBAE=ZCED=60°,AB=3,CE=40

求：①A