第05讲 导数的应用（15种题型）-冲刺2025年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（原卷版）

第05讲导数的应用（15种题型）题型一：利用导数证明或求解函数的单调区间（不含参）1．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知函数．(1)当a=1时，求函数的单调区间；(2)若在定义域内恒成立，求a的取值范围．2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若在区间上的最大值为，求的值.3．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）在中，，是边上一点，．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围．4．（2023·山东潍坊·统考一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.5．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)若，判断的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，是的导函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，若函数在上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围．7．（2023·全国·模拟预测）已知函数，(1)若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值；(2)当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）求证：①；②.8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对于任意的，恒成立，求证：．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，讨论函数的零点个数.10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中且．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；(3)若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．11．（2023·福建福州·统考二模）已知函数．(1)若，试判断的单调性，并证明你的结论；(2)若恒成立．①求的取值范围：②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：）12．（2023·全国·高三专题练习）现定义：为函数在区间上的立方变化率.已知函数，(1)若存在区间，使得的值域为，且函数在区间上的立方变化率为大于0，求实数的取值范围；(2)若对任意区间的立方变化率均大于的立方变化率，求实数的取值范围.题型二：分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参）1．（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值；(2)求的单调区间；(3)若对成立，求b的取值范围．2．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．4．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数，.(1)若，求的最小值；(2)若有且只有两个零点，求实数的取值范围.7．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围.8．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若存在极小值，求的极小值的最大值．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求证：当时，对，恒有．题型三：已知函数单调区间求参数范围1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，是其导函数，其中．(1)若在上单调递减，求a的取值范围；(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数．(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)设函数，若，求的值．4．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知函数，且．(1)若，且在R上单调递增，求的取值范围(2)若图像上存在两条互相垂直的切线，求的最大值5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；(2)若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.6．（2022·天津·二模）已知为的导函数.(1)求在的切线方程；(2)讨论在定义域内的极值；(3)若在内单调递减，求实数的取值范围.7．（2022·全国·高三专题练习）设函数．(1)若函数在上单调递增，求的值；(2)当时，①证明：函数有两个极值点，，且随着的增大而增大；②证明：．题型四：构造函数并利用函数的单调性判断函数值的大小一、解答题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若关于x的不等式在恒成立，求实数a的取值范围.2．（2022春·天津西青·高三校考阶段练习）已知实数，函数.(1)（i）若函数在上恰有一个零点，求实数的值；（ⅱ）当时，证明：对任意的，恒有.(2)当时，方程有两个不同的实数根，证明：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数的值；(2)若对，恒成立，求实数的取值范围.4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求a的值；(2)若恒成立，求a的取值范围5．（2022春·浙江温州·高三统考开学考试）已知函数（e为自然对数的底数）.(1)求证：时，；(2)设的解为（，2，…），.①当时，求的取值范围；②判断是否存在，使得成立，并说明理由.6．（2022·河南·统考三模）已知函数，.(1)判断函数的零点个数；(2)比较，，的大小，并说明理由.题型五：利用导数求解函数的极值1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在与时，都取得极值．(1)求，的值；(2)若，求的单调增区间和极值．2．（2022·全国·高三专题练习）设函数.(1)求的极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，证明：.3．（2022·全国·高三专题练习）设函数.(1)若，求的极值；(2)讨论函数的单调性.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性．5．（2022·河北衡水·统考二模）已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若曲线有，两个零点.（i）求的取值范围；（ii）证明：存在一组，（），使得的定义域和值域均为.6．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．(1)求函数的极值；(2)若方程有两个不相等的实数根，．①证明：；②证明：．题型六:利用函数的极值求参数值1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若在，上是减函数，求实数的取值范围．(2)若的最大值为6，求实数的值．2．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）已知函数在处有极值.（1）求实数、的值；（2）判断函数的单调区间，并求极值.3．（2018·北京·高考真题）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围；(2)记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立.5．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数（）．(1)若a=1，讨论的单调性；(2)若函数存在两个极小值点，，求实数a的取值范围；(3)当时，设，求证：．6．（2017·全国·高考真题）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.题型七：利用导数求解函数的最值1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：；（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.4．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．题型八：利用导数解决函数的极值点问题1．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线三、填空题3．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．四、解答题4．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．题型九：利用导数解决恒成立问题一、单选题1．（2019·天津·高考真题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．二、解答题3．（2020·海南·高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．4．（2022秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，.(1)讨论f（x）的单调性；(2)若时，都有，求实数a的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.题型十：利用导数解决函数零点、交点或方程根的问题一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．5．（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．题型十一：利用导数证明不等式一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．二、解答题2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．4．（2022·天津·统考高考真题）已知，函数(1)求函数在处的切线方程；(2)若和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．5．（2022·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，为的导数.(1)证明：当时，；(2)设，证明：有且仅有2个零点.题型十二：利用导数解决双变量问题一、解答题1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）2．（2022秋·福建宁德·高三校考期中）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．3．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）已知.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.题型十三：参变分离解决导数问题一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．二、解答题4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．题型十四：构造函数法解决导数问题一、单选题1．（2022秋·广西桂林·高三桂林市中山中学校考阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．二、解答题3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．4．（2023·全国·高三专题练习）