2024新题型01 新高考新结构二十一大考点（解析版）

新题型01新高考新结构二十一大考点汇总

命题趋势

高考数学全国卷的考查内容、考查范围和考查要求层次与比例均与课程标准保持致注重考查内容的全面

性的同时，突出主干、重点内容的考查，通过依标施考，引导中学教学依标施教。

调整布局，打破固化模式。高考数学坚持稳中有变，通过调整试卷结构，改变相对固化的试题布局优化

试题设计，减少学生反复刷题、机械训练的收益，竭力破除复习备考中题海战术和题型套路，发挥引导作

用。

热考题型解读

【题型1集合新考点】

【例I】(2024.浙江温州.高三期末)设集合U=R.A={耳2屹-2]<i}B=3y=in(l-x)),则图中阴

影部分表示的集合为()

13A.{.中却B.Ml<r<2}C.{x|0<x<l)

l"D.{AiA<0}

【答案】D

【分析】先求出集合A,B,再由弱可知阻影部分表示(Q4)nB,从而可求得答案

【详解】因为2x(x-2)<1等价于武工-2)<0,解得0<x<2f

所以A={x|0<x<2],所以={x\x<0或x>2},

要使得函数y=ln(l-x)有意义，只需1一%>0,解得x<1,

所以B=[x\x<1}

则由韦恩图可知阴影部分表示(CM)CB=(x\x<0}.

故选：D.

【变式I1】(2024.安徽省.高三模拟)(多选)下列选项中的两个集合相等的有().

A.P={xIx=2n,n^Z},Q={xI%=2(n+l),nEZ]

B.P=[xIx=2〃/,n£N+},Q={xIx=2n+l,neN+)

2K(n

C.P=[xIX-X=0],Q=Ix=2,nEZj

D.P={xIy=%+l},Q={Qv,y)Iy=x+\}

【答案】AC

【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断.

【详解】解：对于A：集合P={x%=2九,n£Z}表示偶数集，集合Q={xI%=2(n+1),九£Z}也表示偶数集，所

以「二。，故A正确；

对于B：P=(xIx=2n-l,neN+}={l,3,5,7,---),

Q=\xIx=2n+l,neN+M3,5,7,9,-),所以P#2,故B错误；

l,n为偶数

对于C：P={xIx2-x=0}={0J},又(-1)71。

・1.,为奇数

所叱竽J'为偶数

,即Q={xIx=嗒,n£Z卜{0,1},所以P=Q,故C正确；

(0,九为奇数

对于D：集合P={xIyr+l}=R为数集，集合Q={Q,y)|产X+1}为点集，所以PrQ,故D错误；

故选：AC

【变式1-2](2024.江苏四校联合高三期末)设全集为U定义集合力与B的运算：4*B={x|xC力U8且

x^AC\B],则(A*8)*4=()

A.AB.BC.AClQBD.BClQA

【答案】B

【解析】根据定义用交并补依次化简集合，即得结果.

【详解】；A*8={x\xwAuB且xcnnB}=(BnQ力)uG4nQB)

(4*B)*4=HnCu(A*B)]U[(A*B)nCu川=(An8)u(BnQA)=B

故选：B

【点睛】本题考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力，属中档题.

【变式1-3](2024.江苏南通高三期末)定义集合运算4OB=[z\z=xy(x+y\xeA.yeB},集合A=

{0,1},8={2,3},则集合力OB所有元素之和为

【答案】18

【分析】由题意可得z=0,6,12,进而可得结果.

【详解】当X=0,y=2,z=0

当x=l,y=2,二z=6

当x=0,y=3,二2=0

当x=l,y=3,二z=12

和为0+6+12=18

故答案为：18

【变式1-4](2024.江苏南通高三期末)已知X为包含v个元素的集合(ueN'/N3).设力为由X的一

些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯

一的一个三元子集中，则称区力)组成一个V阶的Steiner三元系.若(X,A)为一个7阶的Steiner三元系,则

集合A中元素的个数为.

【答案】7

【分析】令X=｛a,瓦c,d,e,fg｝,列举出所有三元子集，结合(X,/1)组成丫阶的Steiner三元系定义，确定人中

元素个数.

【详解】由题设,令集合X=｛a,b,c,d,e,f,g｝,共有7个元素，

所以X的三元子集，如下共有35个：

｛a,b,c｝、｛a,b,d｝.｛a,b,e｝x｛a,b.f｝.｛a,b,g｝、｛a,c,d｝、｛a,c,e｝、｛a,c,f｝、｛a,c,g｝、｛a,d,e｝、｛a,d,f｝、

｛a,d,g｝、｛a,ej｝、｛a,e,g｝、｛aj,g｝、｛瓦c,d｝、｛b,c,e｝、｛瓦c,f｝、｛b,c,g｝、｛b,d,e｝、｛b,d,/｝、｛b,d,g｝、

｛b,e,f],｛b,e,g｝、｛b,fg｝、｛c,d,e〕、｛c,dJ｝、(c,d,g｝、｛c,e,/｝、｛c,e,g｝、｛c,fg｝、｛d,e,/｝、｛d,e,g｝、｛d/g｝、

｛e，f，g｝,

因为4中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以A中元素满足

要求的有：

｛a,b,c｝、｛a,d,e｝、｛aj，。｝、｛dd,f｝、｛b,e,g｝、｛c,d,g｝、共有7个;

｛a,b,c｝、｛a,d,/｝、｛Q，e，。｝、｛8,d,e｝、｛"g｝、｛c,d,g｝、共有7个；

｛a,b,c｝、｛a,d,g｝、｛a,e,f｝、｛b,d,e｝、｛"g｝、｛c,d,f｝、｛c,e,g],共有7个；

｛a,仇叫、｛a,c,e｝、｛"g｝、｛b，af｝、｛b，e,g｝、｛c,d,g｝、｛d,e,f｝，共有7个；

｛a,b,d｝、｛a,c,g｝、｛a，e,f｝、｛b,c,e｝、｛"g｝、｛c,dj｝、｛d,e,g｝,共有7个;

｛a,b,d｝、｛a,c,f｝、｛a，e,g｝、｛b,c.e｝、｛"g｝、｛c,d,g｝、｛d,e,f｝,共有7个；

｛a,①e｝、｛u,c,"｝、w，/■，办—｝、吃办｛d.e.f｝，共有7个；

｛a,b,e｝、｛a，G/｝、｛a,d,g｝、｛瓦c,d｝、也f，g｝、｛c,e,g｝、共有7个；

｛a,b,e｝、｛a，c，g｝、｛a.d.fY｛仇ad｝、｛瓦/⑼、｛c，e，/｝、｛d.e.g｝，共有7个；

｛。，匕力、｛a,c,d｝、｛a，e，g｝、｛b,c,e).(b.d.g).｛c/g｝、｛d,e,f｝,共有7个;

｛皿｝、｛a,c,e｝、®d,g｝、也加吗、｛瓦e,g｝、｛c/g｝、｛d,e,f｝,共有7个;

｛a，b,f｝、｛a，c,g｝、｛a,d,e｝、｛瓦ad｝、(瓦巴办｛c,e,f｝、[d,f,3｝，共有7个；

｛a,b,g｝、｛a,c,d｝、｛a,e,f｝、｛瓦c,e｝、｛b,d,f｝、｛c/g｝、｛d,e,g｝,共有7个;

｛a,b,g｝、｛a,c,e｝、｛a,d,f｝、［b,c,d｝x｛瓦e,f｝、｛c,/,g｝、｛d,e,g｝,共有7个；

｛a,b,g｝、｛a,c,/｝、｛a,d,e｝,｛b,c,d｝、｛瓦e,f｝、｛c,e,g｝、｛d,/,g｝,共有7个；

共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.

故答案为：7

【题型2复数新考点】

［例2］（2023•全国•统考模拟预测）已知复数z=Q+争）"，neN♦且z>0,则n的最小值为（）

A.1B.3C.6D.9

c

计算出C+,i）n（n=234,5,6）的值，即可得解.

9

+V3

/1一

一2

\2

/19

一+V3T

\2

斤

当

，n=6时,z>0.故n的最小值为6.

故选：C.

•2023

【变式2-1］（多选）（2024上云南高三校联考阶段练习）若复数z=%，则（）

A.z的共期复数2=三2B.|z|=y

C.复数z的虚部为.iD.复数是复平面内对应的点在第四象限

【答案】ABD

【分析】首先化简复数z,再根据复数的相关概念，即可判断选项.

【详解匕，=昌瑞=|七，则人等，故A正确；

0=J（|）2+（-T,故B正确；复数Z的虚部为一】故C错误；

复数Z在复平面内对应的点为（I,-0,在第四象限，故D正确.

故选：ABD

【变式2-2X多选I2024上•江西宜春高三上高二中校考阶段练习股z为复数，则下列命题中正确的是：）

A.|z|2=zzB.若z=（1-2i）2,则复平面内5对应的点位于第二象限

C.z2=|z|2D.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2

【答案】ABD

【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可.

22

【详解】对于A，设z=a+b\/故2=a-bi,则|zF=a+b,zz=（a4-bi）（a-bi）=Q?+/,故=zz

成立，故A正确，

对于B,z=(1-2i)2=-4i-3,z=4i-3,显然复平面内建t应的点位于第二象限，故B正确，

22

对于C,易知口2=小+匕2,z2=+匕2+2ab\,当Q/)H0时,ZH\z\,故C错误,

对于D,若|z|=1,则小+b2=1,而|z+i|=J。？+3+1)2=>12b+2,易得当b=1时，|z+i|最大,

此时|z+i|=2,故D正确.

故选：ABD

【变式2-3](多选X2024上云南德宏•高三统考期末)已知之是复数z的共轨复数，则下列说法正确的是()

A.z-z=z2B.若|z|=1,则z=±1

C.|z-z|=|z|•\z\D.若忆十1|=1,则忆-1|的最小值为1

【答案】CD

【分析】结合复数的四则运算，共甄复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合

复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.

【详解】对于A,设z=a+bi(a,bGR),则z-z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=\z\2,但z?=(a+bi)2=

(a+bi)(a+bi)=a2+2abi-b?,故A错误;

对于B,令2=i,满足|z|=|i|=1,故B错误；

对于C,设z=a+bi(a,bGR)，则5=a-历所以z-z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,则|z-z\=\a2+b2\=

a2+b2\z\•\z\=Va2+b2-Va2+b2=a2+b2,所以|z•z\=|z|•|2|,故C正确；

对于D,设z=a+bi(a,bWR),则|z+1|=|a+1+bi|=7(a+l)2+b2=1,

即(a+I/+中=1,表示以(一1,0)为圆心，半径为1的圆,

\z-l\=J(a-I]+炉表示圆上的点至1(」1,0)的距离,故|z-1|的最小值为旧一1=1,故D正确.

故选：CD

【变式2-4](多选)(2024上•河南南阳•高三统考期末)设复数z=-苧i的共匏复数为2,则下列结论正

确的有()

A.z=cos—+isin—R.-=-

C.HI=1D.z24-z2=2

【答案】AC

【分析】根据已知条件，结合共轮复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解.

【详解】对于A,z=-1+yi=cosy+isiny,故A正确；

对于8,套=蔚=署=1,故B错误;

2J+争(一1豹1V3.

,所以用=1，故C正确；

2

对于D/2=(十争)+z=(-1+yi)=-»争，所以z2+%2=—l,故D错误.

故选：AC

【题型3函数选图题新考点】

【例312024.浙江.高三期末圮知函数对任意的xeR有/'(%)+/(-x)==0月当3>0时f(x)=ln(x+1),

则函数f(x)的图象大致为()

【答案】D

【解析】由/⑶+f(r)=0得f(r)=~fW，得到函数是奇函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系

即可得到结论.

【详解】由f(幻+/(-%)=0得/(t)=-/(x),则函数是奇函数,排除A、C

••・当＞0时，f(x)=ln(x+1),，对应的图象为D,

古烟：D.

C.D.

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.

【详解】首先/'(T)=-/(X),所以函数是奇函数，故排除DJ(2TT)=27r,故排除B,

当x6(0?)时，/(%)>0,故排除A,只有C满足条件.

故选：C

【变式3-2](2024.安徽省.高三博以)函数f(%)=aln|x|+:的图象不可能是()

【答案】D

【分析】分Q=0,Q>0和a<0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.

【详解】①当Q=0时，/(外=]此时A选项符合；

1(alnx+-,x>0

②当Q>0时，/'a)=aln|x|+!=1、,

Ialn(-x)+-,x<0

当x<0时,fM=aln(-x)+：,

因为由数y=aln(-x),y=:在(一8,0)上都是减函数，

所以函数f(x)在在(-8,0)上是减函数,

如图，作出函数y=aln(-x),y=一;在(一8,0)上的图象，

由图可知,函数y=aln(-x),y=一§的图象在(-8,0)上有一个交点，

即函数“外在在(-8,0)上有一个零点，

当x>0时，/'(%)=alnx+：,则/(%)=?-妥QX-1

由，(x)>0,得x>［由/''a)<0,得0<xV)

所以函数人外在(0,J上单调递减，在(9+8)上单调递增，

当a=1时，f(，)=alnj+a=1,故B选项符合；

alnx+-,x>0

③当a<0时，/1(x)=aln|x|+：=

aln(—x)+<0

当x>0时,/(x)=a\nx+1,

因为函数y=alnxfy=:在(0,+8)上都是减函数,

所以函数人外在(0,+8)上是减函数，

-纸(0,+8)上的图象,

由图可知,函数y=a\nx,y=一:的图象在(0,+<»)上有一个交点，

即函数/(X)在在(0,+8)上有一个零点,

当x<0时，f(x)=aln(-x)+:,则/(无)=£一妥二等,

由厂(工)>0,得％V?,由/(%)<0,得5VxV0,

所以函数f(x)在(，0)上单调递减，在(-8,£)上单调递增，

当a=-1时，/弓)=Qin(—：)+Q=-1,故C选项符合，D选项不可能.

故选：D.

【变式3-312024.安徽.高三期末若将Iny=Inx+ln(y-%)确定的两个变量y与x之间的关系看成y=/(x),

)

【答案】C

【分析】利用对数的运算及排除法即可求解.

【详解】由Iny=Inx+ln(y-%)得y=x(y-x)=xy-x2

显然所以、=三

由x>0,y>0得％>1,

所以/(%)=^―(x>1),排除AB,

X—1

由/(%)=M=%-1+止7+222+2=4,当且仅当％=2时取等号,可排除D.

故选：C.

【变式3-4](2023上湖北•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)的定义域为(-8,0)u(0,+8),满足八⑶)=

/W.当x＜。时/'(%)=Q-x)Inx2,则/(外的大致图象为()

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性，及特殊位置结合排除法即可判定选项.

【详解】因为函数FG)的定义域为(-8,0)u(0,+8),满足/TM)=/(%),

所以/(%)是偶函数，所以八外的图象关于y轴对称，故排除A;

当一1VxV0时,x<0,Inx2<0，所以f(x)=(^-x)Inx2>0,故排除B,C.

故选:D

【题型4比较大小新考点】

[例4](2024.辽宁重点高中•模拟预测)设Q=cosO.l,b=lOsinO.l,c=—^―，则()

lutonu.i

A..a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】先根据sin。V6<tan。，0G(0,9，得到b>a,cAa,再构造函数,比较出c<黑黑

\Z//JYbUloUU

得到结论.

【详解】a=cosO.l1OsinO.1>0,c=——-——>0；

>0,b=lOtanO.l

3=lOtanO.l,/=lOtanO.l-cosO.l=lOsinO.l,

下证9G(°片)时，tan®>0>sin®,

>1

设/A08=8W(0,9,射线OB与单位圆。相交于点C,过点C作C/)_Lx轴于点D,

单位圆与%轴正半轴交于点力，过点>1作轴，交射线0B于点B,连接4c,

贝卜。=sin0,AR=tan。,

设扇形40C的面积为S,因为SAAOC<S<SXAOB，

所以CD<^0<^OA-AB,即sing<8<tan6»,

故tanO.l>0.1>sinO.l,所以£=lOtanO.l>10x0.1=1,=lOsinO.l<10x0.1=1,

所以b>a,c>a,

因为b=1OsinO.1,令f(x)=sinx-%+高，xG(。j)，

则/'(X)=COSX-1+y,其中尸(0)=0,

令g(x)=fix'),则g'(x)=-sinx+x,g'(0)=0,

令/i(x)=g'M,则“(%)=-cosx+1>0在x€(o,：)上恒成立，

则Mx)=g'(x)在xw(o,9上单调递增，又g'(o)=o,

故/;(r)=g'M=-sinr+r>。在YF上恒成立，

所以g(x)=f(x)=cos%-1+4生”G(0,9上单调递增，又/(0)=0,

故g(%)=fix')=COSX-1+y>0在Xe(0,：)上恒成立,

所以f(x)=sinx-x+?在％6(0,上单调递增，又/XO)=0,

所以sinO.l-0,1+^->0,BPsinO.l>0,1一等二2一氤=赢，

则b=1OsinO.1>7—

cosO.l

因为c=砒而=永而

令q(x)=COSX-l+y-^-,XG(0,；),

4/睛\LJ

33

贝！Jq'(无)=—sinx+x――,令w(x)=q'(x)=-sinx+x——

66

则w'(%)=—cosx4-1—y,令e(x)=w'(x)=-cosx+1-y

贝!Je'(x)=sinx—x,令r(x)=e'(x)=sinx—x,

则y(x)=cosx-1<。在x€(0,3上恒成立，

所以r(x)=e'(x)=sinx-x在x€(0,；)单调递减,

又r(0)=0,故r(x)=ez(x)=sinx-x<0在xW(0,：)上恒成立,

所以e(x)=w'(%)=—cosx+1-yffixe(0弓)上单调递减,

又e(0)=0,故e(x)=w'(x)=-cosx+1-y<0在xG(0,：)上恒成立，

所以w(x)=q'(x)=-sinx+x-器在无E(0,])上单调递减,

又w(0)=0,故w(x)=qrw=-sinx+x-<。在xG(04)上恒成立,

故q(x)=cosx-1+y-盘在xw(o,上单调递减,

又q(0)=0,故q(0.1)<0,即cosO.lv1-等+等=瑞黑

238801

的_]_COS0.14240000_238801乂600_238801

必一lOtanO.l-lOsinO.l'%一240000乂599—239600

600

,238801599,,

其中CV-----<一<b,

239600600

则aVcVb,D正确.

故选：D

【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：

e”二1十X十第十…十5十”才")，sinx=%一片十差一…十(-l)n十八1+2),

2丫4寸6丫2n

cosx=1---v-+-----+•••+(-l)n---+o(x2n),

2!4!6!''(271)!'''

ln(l+幻=无一?+?—…+(-1尸三+。(£吐1),

=1+x+x24----Fxn+o(xr),(1+x)n=1+nx++。(/)

【变式4-1】(2024•江苏四校联合•高三期末)设0=：,匕=21rl(sing+cosJ,c=讪：，则()

A..a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用%>sinx和％>ln(x+1)以及InQ4-1)>,再进行合理赋值即可.

【详解】b=In(sin+cos=ln(l+sin》,c=(1+In(1+,

设Mx)=x-sinx,%G(0,4-oo),则1(%)=1-cosx>0,

则/i(x)在(0,+s)上单调递增，则h(x)>/i(0)=0，则3>sinx在［0,+8)上恒成立，则；>sin：，即a>sin；,

444

设g(%)=x-ln(x+1),x6(0,4-co),贝!Jg'O)=1-W=W>。在(°，+8)上恒成立,

则g(x)>g(0)=0,贝>ln(x+1)在(0,+8)上恒成立，

令x=sin：,则In(1+sin；)<sin：<：,则a>b,

设/⑺=ma+1)一喜，(出=W一卷=品>°在(。川上恒成立，

则/(%)在(0,1］上单调递增，则f(x)>/-(0)=0,即ln(x+1)>W在(0,1］上恒成立,

令X=；,则足>：,则:后>；，即c>a,故c>a>匕，

445444

故选：B.

【变式4-2】(2024.吉林.高三期末)已知a=sin1,b=^cos^,c=ln|，则()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，从而比较大小.

【详解】设/(%)=sinx-xcosx,xG(0,^),则，-xsinx,

在x6(0j)时，/'(%)>0,所以/(%)在(04)上单调递增，

所以/(%)>/(0)=0,则居)=sin|-|cos|>0,

即sin：>^cos1,则a>b,

设g(x)=lnx+［则g<%)=受,%>0/

则当x6(0,1),g<x)<0,所以g(x)为减函数,

则当x6(1,+8),g，(x)>0,所以g(%)为增函数，

所以弱)=吗+：>。⑴=1,则叫冶；

设A(x)=x-sinx,xe(0,0,则//(%)=1-cosx>0,

所以h(外在(0,3为增函数，则/I©)=^-sini>h(0)=0,

BP^>sin|,则吗,sing,所以c>Q；

所以c>a>b.

故选：D.

【点睛】思路点睛：两个常用不等式

(1)x>sinx,xe

(2)sinx>xcosx,x6(0,：)

【变式4-3](2024.全国.模拟预测)已知Q=,b=1+sin^,c=l.l6,则a,b，。的大小关系为()

A..a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【分析】先利用常见不等式放缩得到Q,b的大小关系，再利用黑函数的单调性比较Q,C的大小关系即可得

到答案.

【详解】令f(%)=cx-X-1(%>0),则广(x)=cx-1>0恒成立，

所以八外在(0,+8)单调递增，

所以当尢>。时,/(A.)>/(0)=0,即c*>x+l(x>0)；

令g(x)=x-sinx(x>0),则g，(x)=1-cosx>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)单调递增，

所以当x>0时，g(x)>g(0)=0,即sinx<x(x>0)；

由诱导公式得匕=1+sin^=1+sin^,

所以b=1+si咤V1+卜Ve石,因此a>b；

因为a=eio<eio=e04,c=l.l6=(l.l15)0,4,

故只需比较。与1.M5的大小，

1512

由二项式定理得，Ll】s=(1+0.1)>1+c}5x(0.1)+C?5x(0.1)>3>e,

所以c>a.

综上，c>a>b.

故选：C

【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：

(1)中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；

(2)构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进

而比较大小；

(3)放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.

【变式4-4】(2023•山东临沂•统考一模)已知无=Jogiy=Vx,x=logxz，则()

A.x<y<zB.y<x<zC.z<x<yD.z<y<x

【答案】B

【分析】构造f(x)=X-C)',由零点存在定理求得零点X的范围,即可结合指数函数、导函数的性质比

较x=G)*，y=00，z=好的大小.

【详解】令/'(X)=X(；)',则f(x)在R上单调递增，

由/(I)>0,fC)<0,则XeQ,1)时TO)=0,即％=G)x,[filogiy=a=y=04,

♦：X<Vx,

・・・x-y=G)x-G)">0=>x>y.

=x

X=logxZ=Z=X*>G)-

综上：yvxvz.

故选：B.

【题型5数列小题新考点】

【例5X2024上•北京房山•高三统考期末威学家祖冲之曾给出圆周率"的两个近似值：，约率,弓与“密率”篙.

它们可用.调日法'得到称小于3.1415926的近似值为弱率大于3.1415927的近似值为强率.由于:V兀<"

取3为弱率，4为强率，计算得4=击=[故的为强率,与上一次的弱率3计算得a2=震=?,故Q2为

强率，继续计算，.…若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值，:若某次得到

的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知=得，则m=()

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【分析】根据题意不断计算即可解出.

【详解】因为。2为强率，由:<兀<—可得，的=篝=号,3.1415927,即th为强率；

由兀V,可得，4=富=3.1415927,即明为强率；

由：V兀V4可得,。5=~7TT=白>3.1415927,即g为强率；

由兀<?可得，Q6=鳖=一,3.1415927,即。6为强率；

1ol+o/

由:V兀V-可得，劭=等=日=3.125<3.1415926,即a?为弱率，所以m=7,

171+7o

故选：B.

【变式5-1】(2023•山东烟台・统考二模)给定数列A,定义A上的加密算法力：当i为奇数时，将A中各奇

数项的值均增加i,各偶数项的值均减去1；当i为偶数时，将A中各偶数项的值均增加2i,各奇数项的值

均减去2，并记新得到的数列为力⑷(iWN*).设数列无：2,0,2,3,5,7,数列%=差(%),(nWAT),

则数列%为；数列82rl的所有项的和为

【答案】1,3,1,6,4,109n2-3n+19

【分析】由题意求出数列当，即可求解数列当；对于偶数项可得当”-B2n_2=4n-l,为等差数列，写出

第2,4,6项.对于奇数项可得-B2n_2=2n-3,为等差数列，写出第1,3,5项，相加即可求解.

【详解】由题意，

B1=A(B0),1为奇数，所以无:3,-1,326,6,

B2=仅当),2为偶数,所以2:1,3,1,6,4,10.

因为82n=f2n(82n-l)=An(/2n-l(^2n-2))12n为偶数,2n—1为奇数,

所以对于偶数项，-B2n.2=-1,B2n-/n-i=4n,得々n-B2n_2=4n-1z

则｛4n-％-2｝为等差数列，得数列B2n中：

⑶(4

第2项为：0+(3+7+…+4n—3+4n—1)=丁加=(2n+l)n,

第4项为：3+(3+7+…+4/7-3+4/—1)=(2n+1)九+3,

第6项为：7+(3+7+…+471-3十4九-1)二(2n十l)n+7；

对于奇数项t^2n-l~B2n-2=2/1—1,B271—^2n-l=-2，得为口-B2n-2=2M—3,

则｛B2n-々n-2｝为等差数列，得数列B2n中：

第I项为：2+(—1+…+2九-5+2n-3)=2+[-1+(2；-3-=(n-2)n+2,

第3项为：2+(—1+…+2〃-5+-3)=2+…歹))"=(n―2)几+2,

第5项为：5+(—1+…+2n—5+2九-3)=(n—2)九+5,

所以4八所有的项的和为

(2n+l)n+(2n+l)n+3+(2n+l)n+7+n(n-2)+2+n(n—2)4-24-n(n—2)+5=9n2—3n+

19.

故答案为：1,3,1,6,4,10；9n2—3n+19.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解新定义“数列A”的算法，以学习过的数列相关的知识为基础，

通过一类问题共同特征的''数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.

【变式5-2](2024江西省九师联盟)在1,3中间插入二者的乘积，得到1,3,3,称数列1,3,3为数列

1,3的第一次扩展数列，数列1,3,3,9,3为数列1,3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1,必，

%2，…，x2n_1,3为数列1,3的第n次扩展数列，令On=log3（lX%]xx2x•••xx2n-iX3）,QI擞列｛Q?J的

通项公式为.

【答案】册=婴

【分析】根据数列的定义找到即+1与册的关系，然后^用构造法结合等比数列的定义求解即可.

【详解】因为即=10g3（lX勺X。X…XX2n_iX3）,

23a

所以Q〃+l=IOg3[l•（1•无1）%（¥62）%2♦3）♦3]=l0g3（l.婢球…机2机1°=n-

1,

所以Q》+1-：=3（册一，

又臼=log3（lx3x3）=2,所以%-》

所以｛斯-目是以|为首项，3为公比的等比数列，

所以Q”一；|X3"T=y,所以册二号

故答案为：“=等

【变式5-3】(2023上广东深圳.)若系列椭圆的:册/+V=1(0<an<1,nGN*)的离心率en=g)",

则/=()

A.i-erc1nD1n

B.D-J-G)-J-G)

【答案】A

【分析】先化为标准方程，直接求出离心率列方程即可求解.

【详解】椭圆c，可化为：¥+?=L

-1

an

n

,解得：an=1-Q)

因为0<an<l,所以离心率分=£=

故选：A

【变式5-4](2024上・浙江温州•高三)汉诺塔(又称河内塔)I'巨题是源于印度一个古老传说的益智玩具.如

图所示目标柱起始柱辅助柱的汉诺塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三

根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有几个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把

圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆

盘不能放在较小的圆盘上面.规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将九个圆盘从起始

柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p(n),则p(3)=£与1p(i)=.

目标柱起始柱辅助柱

【答案】72n+1-n-2

【分析】根据题意可得p(l)=1,当n(n>2)时,求p(析分三步,从而可得p(n)=2p(n-1)+l(n>2),

则可求出PS),进而可求得答案.

【详解】显然p(l)=1.

当有/5>2)个圆盘时，求pQ)分三步：

第一步，先将上面的n-1个圆盘移到辅助柱，至少需要p(〃-1)次；

第二步，将起始柱上最大的一个圆盘移动到目标柱子，需1次；

第二步，将辅助柱上的九-1个圆盘移动到目标柱至少需要p(n-1)次，

因此p(n)=2p(n-1)+l(n>2),

所以p(zi)4-1=2[p(n-1)+l](n>2)

因为P⑴=1,

所以数列｛pS)+1｝是以2为公比，2为首项的等比数列，

所以p(?i)+1=2x2n-1=271

所以p(n)=2n-1,所以「⑶=7,

fn+1

洋1P(i)=2-=1(2-1)=-^=2-n-2,

故答案为：7,2〃+】一九一2.

【变式5-5](2024上上海)已知等差数列｛Q,J(公差不为0)和等差数列｛九｝的前几项和分别为Sn、Tn,如

果关于％的实系数方程1003/-Sioo3X+Aoo3=0有实数解，那么以下1003个方程/—口/+仇=

0(i=1,2,…1003)中,有实数解的方程至少有()个.

A.499B.50CC.501D.502

【答案】D

2

【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到Q52-4b5”>0,要想无实根，需满足a：-4bi<0,

结合根的判别式与基本不等式得到Ai<0,A1003<0至多一个成立，同理可证：&<0,A1002<0至多一个成

立r，，，△501<。，ASO3<。至多一个成立，且%02—0，从而得到结论.

【详解】由题意得：S：003-4x1003T1003>o,其中S1003=1。。3(2+%。。3)=1003a502,

71003=幽竽32=1003坛02，代入上式得：磋02-也02>。，

要方程―-atx+瓦-0(i-1,2,3,…,1003)无支数解，则方-4bt<0,

显然第502个方程有解.

设方程/一axx+瓦=0与方程/一a1003x+d()03=0的判别式分别为△I，AIOO3，

则4+“003=(al-4瓦)+@oo3-4瓦003)=向+说)03-4(瓦+b1003)

之(%：ioos，4X2/)502=8b502=2(碎02—4^502)-0I

等号成立的条件是a1=a1003/所以A]<0,A1003<0至多一个成立，

同理可证：MV。泊1002<。至多一个成AZIA501VA503V。至多一个成AZ,且A502—。，

综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个，

故选：D.

【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解.

【题型6排列组合小题新考点】

[例6](2023•贵州•校联考模拟预测)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率冗的值的范围：3.1415926<兀<

3.1415927,为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为，,祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教

师为帮助同学们了解，祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，

那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有()

A.240B.36。C.60()D.720

【答案】A

【分析】分为3.11开头的以及3.12开头的，分别计算得出结果，根据分类加法计数原理加起来,即可得出

答案.

【详解】小于3.14的不同数字的个数有两类：

第一类：3.11开头的,剩余5个数字全排列有Ag=120种；

第二类：3.12开头的，剩余5个数字全俳列有Ag=120种.

根据分类加法计数原理可知，共120+120=240种.

故选：A.

【变式6-1](2023.宁夏银川・银川一中校考一模)图为一个开关阵列，每个开关只有“开讨「关’两种状态，

按其中一个开关1次)隆导致自身和所有相邻的开关改变状态例如按(2,2)将导致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,2)改变状态.如果要求只改变(1,1)的状态,则需按开关的最少次数为()

(1,1)(1,2)(1,3)

(2,1)(2,2)(2,3)

(3,1)(3,2)(3,3)

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】分析可知，要只改变(L1)的状态，则只有在(1,1)及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利

用表格分析即可.

【详解】根据题意可知：只有在(L1)及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下：

假设开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变(1,1)的状态，在按动(1,1)后，(1,2),(2,1)也改变，

下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动(2,2)，但会导致周边的(2,3),(3,2)也改变，因此会按动开

关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关3次；

这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动5次可以满足要求.

如下表所示：(按顺时针方向开关，逆时针也可以)

(14)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

按动(1,1)开开关开关关关关关

按动(1,3)开关开开关开关关关

按动(2,3)开关关开开关关关开

按动(3,2)开关关开开